可對(duì)角化矩陣的應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 可對(duì)角化矩陣的應(yīng)用矩陣可對(duì)角化問題是矩陣?yán)碚撝械囊粋€(gè)重要問題，可對(duì)角化矩陣作為一類，特殊的矩陣，在理論上和應(yīng)用上有著十分重要的意義。下面列舉幾個(gè)常見的可對(duì)角化矩陣的應(yīng)用的例子。1.求方陣的高次冪 例設(shè)V是數(shù)域P上的一個(gè)二維線性空間，是一組基，線性變換在下的矩陣A=，試計(jì)算。 解：首先計(jì)算在V的另一組基下的矩陣，這里，且在下的矩陣為顯然，再利用上面得到的關(guān)系我們可以得到2.利用特征值求行列式的值。例：設(shè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣=A滿足，且A的秩為r，試求行列式的值。 解：設(shè)AX=X，X0，是對(duì)應(yīng)特征值的特征向量，因?yàn)?，則，從而有，因?yàn)閄0，所以，即=1或0，又因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣

2、，所以A相似于對(duì)角矩陣，A的秩為r，故存在可逆矩陣P，使=B，其中是r階單位矩陣，從而3由特征值與特征向量反求矩陣。 若矩陣A可對(duì)角化，即存在可逆矩陣P使，其中B為對(duì)角矩陣，則 例 設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為，求矩陣A。 解：因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以A可以對(duì)角化，即A由三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，設(shè)對(duì)應(yīng)于的特征向量為，它應(yīng)與特征向量正交，即，該齊次方程組的基礎(chǔ)解系為，它們即是對(duì)應(yīng)于的特征向量。取，則，于是4判斷矩陣是否相似 例 下述矩陣是否相似 解：矩陣的特征值都是 (二重)，其中已是對(duì)角陣，所以只需判斷是否可對(duì)角化，先考查，對(duì)于特征值解齊次線性方程組得其基礎(chǔ)解系為，由于是的二

3、重特征值，卻只對(duì)應(yīng)于一個(gè)特征向量，故不可對(duì)角化或者說與不相似。 再考查，對(duì)于特征值，解齊次線性方程組得基礎(chǔ)解系，對(duì)于特征值解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系，對(duì)于特征值解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系，由于有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以可對(duì)角化，即與相似。 5求特殊矩陣的特征值 例 設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，且，又， 求（1）A的全部特征值，（2）行列式的值 解：（1）設(shè)為A的任一特征值，為A的對(duì)應(yīng)特征值的特征向量，所以，有，又因?yàn)?，所以，所以，由此可得?，因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以A必能對(duì)角化即，且，故2的個(gè)數(shù)為A的秩數(shù)，即A的特征值為r個(gè)2及(n-r)個(gè)0 （2）因?yàn)橛桑?）可得AB，即存在可逆矩陣C，使得，故有,=6在向量空間中的應(yīng)用 例 設(shè)是n使維列向量空間，A是n階復(fù)矩陣，是任一復(fù)數(shù)，令，則若A相似于對(duì)角陣，有證明：對(duì)任意，有和所以 又因?yàn)锳相似于對(duì)角陣，有與的解空間相同，所以和，所以。7在現(xiàn)行變換中的應(yīng)用 例 設(shè)為數(shù)域P上次數(shù)小于n多項(xiàng)式及零多項(xiàng)式的全體，則微分變換在的任何一組基下的矩陣不是對(duì)角形。 證明：取的一組基，則在這組基下的矩陣為，所以，若在某一組基下的矩陣B為對(duì)角矩陣，由知A可對(duì)角化，存在可逆矩陣T使