數(shù)值分析第二章插值法

1、第二章第二章 插值插值 在生產(chǎn)實(shí)際及科學(xué)試驗(yàn)中，經(jīng)常要研究變量之間的在生產(chǎn)實(shí)際及科學(xué)試驗(yàn)中，經(jīng)常要研究變量之間的函數(shù)關(guān)系，但很多情況下很難找到具體的函數(shù)表達(dá)式，函數(shù)關(guān)系，但很多情況下很難找到具體的函數(shù)表達(dá)式，往往只能通過(guò)觀測(cè)或測(cè)量得到一張數(shù)據(jù)表：往往只能通過(guò)觀測(cè)或測(cè)量得到一張數(shù)據(jù)表：表中給出某個(gè)區(qū)間表中給出某個(gè)區(qū)間a,b上一系列點(diǎn)的函數(shù)值上一系列點(diǎn)的函數(shù)值yi=f(xi)。2.1 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出問(wèn)題：無(wú)法求出不在表中的點(diǎn)的函數(shù)值，也不能進(jìn)一問(wèn)題：無(wú)法求出不在表中的點(diǎn)的函數(shù)值，也不能進(jìn)一步研究函數(shù)的其他性質(zhì)，如函數(shù)的積分和導(dǎo)數(shù)等。為步研究函數(shù)的其他性質(zhì)，如函數(shù)的積分和導(dǎo)數(shù)等。為了解決這些問(wèn)

2、題，需要設(shè)法通過(guò)這張表格求出一個(gè)簡(jiǎn)了解決這些問(wèn)題，需要設(shè)法通過(guò)這張表格求出一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)單函數(shù)p(x)來(lái)來(lái)近似近似f(x)，使得，使得p(xi) = f(xi) (i = 0, n) 。y=f(x)y=p(x)插值問(wèn)題插值問(wèn)題已知精確函數(shù)已知精確函數(shù) y = f(x) 在一系列節(jié)點(diǎn)在一系列節(jié)點(diǎn) x0 xn 處測(cè)處測(cè)得函數(shù)值得函數(shù)值 y0 = f(x0), , yn = f(xn)，由此構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)，由此構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單易算的近似函數(shù)單易算的近似函數(shù) p(x) f(x)，滿足條件，滿足條件p(xi) = f(xi) (i = 0, n)。這里的。這里的 p(x) 稱為稱為f(x) 的的插值函數(shù)插值函數(shù)。

3、最。最常用的插值函數(shù)是常用的插值函數(shù)是 ?多項(xiàng)式多項(xiàng)式x0 x1x2x3x4xp(x) f(x)1 1、插值的基本概念、插值的基本概念設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 有定義，且在已知點(diǎn)：有定義，且在已知點(diǎn)： 上的函數(shù)值為：上的函數(shù)值為：如果存在一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)如果存在一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù) 使使則稱則稱 為為 的的插值函數(shù)插值函數(shù)；點(diǎn)；點(diǎn)稱稱為為插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)；包含插值點(diǎn)的區(qū)間；包含插值點(diǎn)的區(qū)間aa，bb稱稱為為插值區(qū)間；插值區(qū)間；求插值函數(shù)求插值函數(shù) 的方法稱為的方法稱為插值法。插值法。)(xfy ba,bxxxan 10nyyy,10)(xpy )(iixpy ni,210 )(xp)(xfbxxan 0

4、)(xp)(xp可以是多項(xiàng)式、分段函數(shù)、三角函數(shù)等等可以是多項(xiàng)式、分段函數(shù)、三角函數(shù)等等. .則稱之為插值多項(xiàng)式為多項(xiàng)式函數(shù)如果,)(xP如果為分段的多項(xiàng)式，則稱為分段插值。從幾如果為分段的多項(xiàng)式，則稱為分段插值。從幾何上看何上看, , 插值法就是求曲線插值法就是求曲線()yP x使其通過(guò)給定使其通過(guò)給定 n+1 n+1 個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)(,) ,0,1,2,iix yin 并用它近似已知曲線并用它近似已知曲線()yfx整體誤差的大小反映了插值函數(shù)的好壞整體誤差的大小反映了插值函數(shù)的好壞x0 x1x2x3x4xP(x) f(x)()(xPxf和插值函數(shù)對(duì)于被插函數(shù)處的函數(shù)值必然相等在節(jié)點(diǎn)ix)()(x

5、fxP的值可能就會(huì)偏離但在節(jié)點(diǎn)外必然存在著誤差近似代替因此)()(xfxP2 2、插值多項(xiàng)式的存在唯一性、插值多項(xiàng)式的存在唯一性已知數(shù)表已知數(shù)表 nnyyyxxx1010nnxaxaxaaxP 2210)(令多項(xiàng)式令多項(xiàng)式滿足滿足niyxPii,)(210 即方程組即方程組 nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010有唯一解有唯一解?)(1101111000010 nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa既有既有)(21111010212110200 nnnnnnnnyyyaaaxxxxxxxxx因?yàn)橐驗(yàn)?njiijnnnnnnxxxxxxxx

6、xxx02121102000111)(VandermondeVandermonde行列式行列式即方程組（即方程組（2）有唯一解）有唯一解),(naaa10nnxaxaxaaxP 2210)(所以插值多項(xiàng)式所以插值多項(xiàng)式存在且唯一存在且唯一 2.2 Lagrange插值插值oxy)(xp)(xf00(,)xy11( ,)x y首先考慮最簡(jiǎn)單的插值多項(xiàng)式：首先考慮最簡(jiǎn)單的插值多項(xiàng)式： 在在a,b 上有兩個(gè)插值節(jié)點(diǎn)上有兩個(gè)插值節(jié)點(diǎn)x0 , x1，且已知，且已知 f (x) 在節(jié)點(diǎn)上在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的函數(shù)值y0 , y1?，F(xiàn)在要求一個(gè)多項(xiàng)式?，F(xiàn)在要求一個(gè)多項(xiàng)式L1(x)，使得：，使得： ),()(10

7、1iyxLii若能夠找到這樣的函數(shù)若能夠找到這樣的函數(shù)li(x)，即，即 jijixlji01)(且次數(shù)不能超過(guò)且次數(shù)不能超過(guò)1。 則則 0100110001000101yyyxlyxlyxlyxLiii)()()()(1101111001011110yyyxlyxlyxlyxLiii)()()()(恰好滿足插值條件。恰好滿足插值條件。 1 1、線性插值、線性插值問(wèn)題問(wèn)題：怎樣求出這樣的：怎樣求出這樣的li(x) , i=0,1 不妨先求不妨先求l0(x) ，由于，由于l0(x)在在x1處函數(shù)值為處函數(shù)值為0，顯然應(yīng)包括，顯然應(yīng)包括x- -x1這個(gè)因子；又因它的次數(shù)不能超過(guò)這個(gè)因子；又因它的次

8、數(shù)不能超過(guò)1，則，則l0(x)=A(x- -x1) ，而而l0(x)在在x0處函數(shù)值為處函數(shù)值為1，故，故 A=1/(x0- -x1) ，即得：，即得： 1010 xxxxxl)()(同理可得同理可得 0101xxxxxl)()(則則 稱之為稱之為線性插值多項(xiàng)式線性插值多項(xiàng)式 。)()()()()(010110101xxxxyxxxxyxL其中，其中， 與與 稱為稱為線性插值基函數(shù)線性插值基函數(shù)。且有。且有 )(0 xl)(1xl例例1 1. . 已知已知 , , , , 求求 10100 11121 解解: : 這里這里 x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, , 利用線性插值

9、利用線性插值 1121100( )1011100121121100 xxL x714.10)115(115py115y2 2、拋物線插值、拋物線插值拋物插值又稱二次插值，它也是常用的代數(shù)插值之一。設(shè)拋物插值又稱二次插值，它也是常用的代數(shù)插值之一。設(shè)已知已知f(x)在三個(gè)互異點(diǎn)在三個(gè)互異點(diǎn)x0，x1，x2的函數(shù)值的函數(shù)值y0，y1，y2，要構(gòu)造次數(shù)不超過(guò)二要構(gòu)造次數(shù)不超過(guò)二次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式使?jié)M足二次插值條件：使?jié)M足二次插值條件：這就是二次插值問(wèn)題。其幾何意義是用經(jīng)過(guò)這就是二次插值問(wèn)題。其幾何意義是用經(jīng)過(guò)3 3個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn) 的拋物線的拋物線 近似代替曲線近似代替曲線如下圖所示。因此也稱之為如下圖所

10、示。因此也稱之為拋物線插值拋物線插值。 22210( )Lxa xa xa2( )(0,1,2)iiL xyi),(),(),(221100yxyxyx2( )yL x)(xfy y y=L2(x) y0 y1 y1 y=f(x) O x0 x1 x2 x 為了與下一節(jié)的為了與下一節(jié)的LagrangeLagrange插值公式比較插值公式比較, ,仿線性插值仿線性插值, ,用用基函數(shù)基函數(shù)的的方法求解方程組。先考察一個(gè)特殊的二次插值問(wèn)題：方法求解方程組。先考察一個(gè)特殊的二次插值問(wèn)題： 求求二次式二次式 , ,使其滿足條件：使其滿足條件： )(0 xl0)(,0)(, 1)(201000 xlxl

11、xl這個(gè)問(wèn)題容易求解。由上式的后兩個(gè)條件知這個(gè)問(wèn)題容易求解。由上式的后兩個(gè)條件知: : 是是 的兩個(gè)零點(diǎn)。于是的兩個(gè)零點(diǎn)。于是 21,xx)(0 xl)()(210 xxxxcxl再由另一條件再由另一條件 確定系數(shù)確定系數(shù) 1)(00 xl)(12010 xxxxc)()()(2010210 xxxxxxxxxl從而導(dǎo)出從而導(dǎo)出 類似地可以構(gòu)造出滿足條件：類似地可以構(gòu)造出滿足條件：的插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式 0)(, 0)(, 1)(210111xlxlxl)()()(2101201xxxxxxxxxl及滿足條件：及滿足條件： 的插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式 0)(,0)(, 1)(120222xlx

12、lxl)()()(1202102xxxxxxxxxl這樣構(gòu)造出來(lái)的這樣構(gòu)造出來(lái)的 稱為稱為拋物線插值的基函數(shù)拋物線插值的基函數(shù) 012( ), ( ), ( )lx l x lx)(),(),(210 xlxlxl0201122012010210122021()()()()()()( )()()()()()()x xx xx xx xx xx xL xyyyxxxxxxxxxxxx容易看出容易看出, ,L2(x)滿足條件滿足條件 )2 , 1 , 0()(iyxPii取已知數(shù)據(jù)取已知數(shù)據(jù) 作為線性組合系數(shù)作為線性組合系數(shù), ,將將基函數(shù)基函數(shù) 線性組合可得線性組合可得 210,yyy3 3、L

13、agrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式使使其其滿滿足足條條件件次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式求求), 1 ,0)(nixlni ),(,)(njijijxlji1010)()()()(110niiixxxxxxxxAxl 設(shè)設(shè).為為待待定定常常數(shù)數(shù)其其中中A可可得得由由1)( iixl)()()(1110niiiiiixxxxxxxxA (*), 1 ,0()()()()()()()()()(0110110nixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnijjjijniiiiiiniii 所所以以稱之為稱之為L(zhǎng)agrange插值基函數(shù)插值基函數(shù).利用拉格朗日基函數(shù)利用拉格朗日基函數(shù),可以構(gòu)造多項(xiàng)式可以構(gòu)造多項(xiàng)

14、式niiinnnxlyxlyxlyxlyxL01100)()()()()(.Lagrange)(.,)(,)(插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為稱稱解解故故其其為為拉拉格格朗朗日日問(wèn)問(wèn)題題的的且且滿滿足足插插值值條條件件的的多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為次次數(shù)數(shù)不不超超過(guò)過(guò)xLyxLnxLniinn插值多項(xiàng)式為插值多項(xiàng)式為：線性插值多項(xiàng)式線性插值多項(xiàng)式：n=1010110101xxxxyxxxxyxL)(),(,)(101iyxLii滿滿足足y=f (x)xyx0 x1y=L1(x).),(),()(的的直直線線為為過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)11001yxyxxLy 幾何意義：幾何意義：插值多項(xiàng)式為：插值多項(xiàng)式為：)()()()()(

15、)()(1202102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL),(,)(2102iyxLii滿滿足足xyy=L2 (x)x0y=f(x)x1x2.),(),(),()(的的一一條條拋拋物物線線和和為為過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)2211002yxyxyxxLy 幾何意義：幾何意義：x0 x1 xixi+1 xn-1 xny=f(x)y=Ln(x)ab在插值區(qū)間在插值區(qū)間 a, b 上用上用插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式p(x)近似代替近似代替f(x), 除了在插值節(jié)除了在插值節(jié)點(diǎn)點(diǎn)xi上沒(méi)有誤差外，在其它點(diǎn)上一般是存在誤差的。上沒(méi)有誤差外，在其它點(diǎn)上一般是存在誤差的。若記若

16、記Rn(x) = f(x) Ln(x), 則則 R(x) 就是用就是用 Ln(x)近似代替近似代替 f(x) 時(shí)的截時(shí)的截?cái)嗾`差斷誤差, 或稱或稱插值余項(xiàng)插值余項(xiàng), 我們可根據(jù)后面的定理來(lái)估計(jì)它的大小。我們可根據(jù)后面的定理來(lái)估計(jì)它的大小。4 4、Lagrange插值多項(xiàng)式的誤差分析插值多項(xiàng)式的誤差分析 定理定理 設(shè)設(shè) 在（在（a,b)內(nèi)存在，內(nèi)存在， 在插值節(jié)點(diǎn)在插值節(jié)點(diǎn) 上的函上的函 )(xf)(,)()()(xfbaCxfnn1 bxxxan 10為滿足條件為滿足條件),(,niyi10 數(shù)值為數(shù)值為 iniinyxlxL 0)()(),(,)(nkyxLkkn10 的的 次次Lagran

17、geLagrange插值多項(xiàng)式，則對(duì)任意插值多項(xiàng)式，則對(duì)任意n,bax 有有)()!()()()()()(xnfxLxfxRnnnn111 證明（略證明（略）其中其中),(ba niinxxx01)()( 12010111( )( )( )( )()(),22R xfxfxxxxxx 2012021( )( )()()(),6R xfxxxxxxxxn=2時(shí)插值余項(xiàng)為時(shí)插值余項(xiàng)為n=1時(shí)線性插值余項(xiàng)為時(shí)線性插值余項(xiàng)為余項(xiàng)表達(dá)式只有在余項(xiàng)表達(dá)式只有在f(x)的高階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能應(yīng)用。的高階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能應(yīng)用。( , )a b在內(nèi)的具體位置通常不可能給出，|)(|max)1(1xfMnbxan|)

18、(|)(|011niinnxxxN設(shè)設(shè)|)(|xRn則則)()!1()(1)1(xnfnn11)!1(1nnNMn例例2處處的的近近似似值值。在在公公式式求求，利利用用插插值值，的的值值分分別別為為：，在在設(shè)設(shè)2007408180778801086070809048370300250150100. . . . ,. ,. .)(xxexexf解：解： )()()()()()()()()()()()()()()()()(23130321033212023102312101320130201032103xxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxx

19、xxxyxL代代入入分分別別將將 .,.,.,.,. 3002501501002003210 xxxxx81873002003.).( L可可得得. . .52001081873080相比，誤差相比，誤差與準(zhǔn)確結(jié)果與準(zhǔn)確結(jié)果 e例例3 3 已知已知 sin0.32=0.314567，sin0.34=0.333487， sin0.36=0.352274，分別用一、二次，分別用一、二次Lagrange 插值計(jì)算插值計(jì)算sin0.3367的值，并估計(jì)截?cái)嗾`差。的值，并估計(jì)截?cái)嗾`差。（1 1）解解：3403203403203203403203401.sin.sin.)( xxxL34032034032

20、03367032034032034033670336701.sin.sin.).( L3303650. 得得).)(.(sin)(34032021 xxxR 510920 .)()!()()()()()(xnfxLxfxRnnnn111 由由于是于是|.|.|sin| ).(|34033670320336702336701 R3400000918920003300167023334870. （2 2）3603403603403403603403601.sin.sin.)( xxxL3603403603403367034036034036033670336701.sin.sin.).( L330

21、3870. 得得).)(.(sin)(36034021 xxxR )()!()()()()()(xnfxLxfxRnnnn111 由由于是于是|.|.|sin| ).(|36033670340336702336701 R700001354310023300033023522740. 700001354310023300033023522740. 510351 .由此可知由此可知 稍好于稍好于 ).(336701L).( 336701L（3 3）3603403603203603403203403603403203403603203203603203403203603402.sin).)(.().

22、)(.(.sin).)(.().)(.(.sin).)(.().)(.()( xxxxxxxL3303740336702.).( L因?yàn)橐驗(yàn)?.)(.)(.(!)()()(360340320332 xxxfxR )(xL1)(xL1則則|.|.|.|!|cos| ).(|3603403203336702 xxxR 0233000330016703320.!.cos 7101780 .oxyxsin)(xL2 2.3 Newton插值插值 拉格朗日插值多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)對(duì)稱，使用方便。但由于拉格朗日插值多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)對(duì)稱，使用方便。但由于是用基函數(shù)構(gòu)成的插值，這樣要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，所有是用基函數(shù)構(gòu)成的插值，

23、這樣要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，所有的基函數(shù)必須全部重新計(jì)算，不具備承襲性，還造成計(jì)的基函數(shù)必須全部重新計(jì)算，不具備承襲性，還造成計(jì)算量的浪費(fèi)。這就啟發(fā)我們構(gòu)造一種具有算量的浪費(fèi)。這就啟發(fā)我們構(gòu)造一種具有承襲性承襲性的插值的插值多項(xiàng)式來(lái)克服這個(gè)缺點(diǎn)，也就是說(shuō)，每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)多項(xiàng)式來(lái)克服這個(gè)缺點(diǎn)，也就是說(shuō)，每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí), ,只需增加相應(yīng)的一項(xiàng)即可，這就是只需增加相應(yīng)的一項(xiàng)即可，這就是牛頓插值多項(xiàng)式。牛頓插值多項(xiàng)式。 由線性代數(shù)知由線性代數(shù)知, ,任何一個(gè)不高于任何一個(gè)不高于n 次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式, ,都可以表示成都可以表示成函數(shù)：函數(shù)：)()( ,),)( , 1110100nxxxxxxxxxx

24、xx的線性組合的線性組合, , 也就是說(shuō)也就是說(shuō), , 可以把滿足插值條件可以把滿足插值條件p(xi)=yi(i=0,1,n)(i=0,1,n)的的 n 次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式, ,寫(xiě)成如下形式寫(xiě)成如下形式)()()()(110102010nnxxxxxxaxxxxaxxaa其中其中ak (k=0,1,2,n)為待定系數(shù)為待定系數(shù), ,這種形式的插值多項(xiàng)式稱為這種形式的插值多項(xiàng)式稱為Newton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式。我們把它記為。我們把它記為Nn(x)即即010201011( )()()()()() ()nnnN xa a x xa x x x xa x x x xx x （3） 可見(jiàn)，牛頓

25、插值多項(xiàng)式可見(jiàn)，牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x)是是插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式L(x)的另一種表示的另一種表示形式形式, , 與與Lagrange多項(xiàng)式相比它不僅克服了多項(xiàng)式相比它不僅克服了“增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)整增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)整個(gè)計(jì)算工作重新開(kāi)始個(gè)計(jì)算工作重新開(kāi)始”的缺點(diǎn)的缺點(diǎn), , 且可以節(jié)省乘除法運(yùn)算次數(shù)且可以節(jié)省乘除法運(yùn)算次數(shù), ,同時(shí)同時(shí)在在Newton插值多項(xiàng)式中用到差分與差商等概念，又與數(shù)值計(jì)算的插值多項(xiàng)式中用到差分與差商等概念，又與數(shù)值計(jì)算的其他方面有密切的關(guān)系其他方面有密切的關(guān)系. .它滿足如下條件：它滿足如下條件：其中其中ak (k=0,1,2,n)為待定系數(shù)，形如為待定系數(shù)，形如(3)的插值

26、多項(xiàng)式稱為的插值多項(xiàng)式稱為牛頓牛頓( (Newton) )插值多項(xiàng)式。插值多項(xiàng)式。 )()()()(1101nnnnxxxxxxaxNxN1 1、差商的定義、差商的定義稱稱000 xxxfxfxxfkkk )()(,為為 關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) 的的 一階差商一階差商( (均差）均差）。)(xfkxx ,0稱稱110010 xxxxfxxfxxxfkkk ,為為 關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) 的的 二階差商（均差）二階差商（均差）。)(xfkxxx,10一般，稱一般，稱111021010 kkkkkkxxxxxfxxxxfxxxf,為為 關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) 的的 k 階差商（均差）階差商（均差）。)(xfkxxx,102 2

27、、差商的性質(zhì)、差商的性質(zhì)一階一階kkkkxxxfxxxfxxf 0000)()(,二階二階110001100010 xxxxxfxxxfxxxfxxxfxxxfkkkkk )()()()(,110001100010 xxxxxfxxxfxxxfxxxfxxxfkkkkk )()()()(,)()()()()()()()(1100101110010 xxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfkkkkkkk )()()()()()(kkkkkxxxxxfxxxxxfxxxxxf 1011100100性質(zhì)性質(zhì)1 函數(shù)函數(shù) f(x) 的的 n 階差商階差商 f x0, x1 , , xn 可由函

28、數(shù)值可由函數(shù)值 f (x0), f (x1 ), , f (xn ) 的線性組合表示的線性組合表示, 即即 kjkjjjjjjjkxxxxxxxxxfxxxf011010)()()()(, kjkijiijjxxxf00)()(fx0 , x1=fx1 , x0f(x1)- f(x0)x1 x0f(x0)- f(x1)x0 x1=性質(zhì)性質(zhì)2 2 差商具有差商具有對(duì)稱性對(duì)稱性, ,即在即在 k 階差商中階差商中 任意交換任意交換兩個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn) 和和 的次序的次序, ,其值不變。其值不變。 例如例如kxxxf,10ixjx0110,xxfxxf120021210,xxxfxxxfxxxf,kij

29、kjixxxxxfxxxxxf1010 因此因此,kkkxxxxfxxxf01110 00121121xxxxxxfxxxxfkkkk ,01210121xxxxxxfxxxxfkkkk ,1x0 x1 kxkx性質(zhì)性質(zhì)3 3 n 階差商階差商 和和 n 階導(dǎo)數(shù)之間有下階導(dǎo)數(shù)之間有下 列關(guān)系列關(guān)系: :01,nfxxx這個(gè)性質(zhì)可直接用這個(gè)性質(zhì)可直接用羅爾（羅爾（RolleRolle）定理證明。定理證明。( )12( ) , , !nnff x xxa bn3 3、差商的計(jì)算、差商的計(jì)算010110 xxxfxfxxf )()(,232332xxxfxfxxf )()(,021021210 xx

30、xxfxxfxxxf ,243243432xxxxfxxfxxxf ,143214324321xxxxxfxxxfxxxxf ,043210432143210 xxxxxxfxxxxfxxxxxf ,baxxxxxnn 110考慮插值節(jié)點(diǎn)考慮插值節(jié)點(diǎn)4 4、Newton 插值插值xxxfxfxxf 000)()(,由由得得)(,)()(000 xxxxfxfxf 再由再由xxxxfxxfxxxf 101010,得得)(,110100 xxxxxfxxfxxf 于是于是)(,)()(0110100 xxxxxxxfxxfxfxf 則則)(,)(,)()(01100100 xxxxxxxfxxxx

31、fxfxf 又又xxxxxfxxxfxxxxf 210210210,)(,)(,)()(10100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf 則有則有)(,)()(0100 xxxxfxfxf )(,10210 xxxxxxxf )()(,210210 xxxxxxxxxxf 所以有所以有)(,)(,)()(102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf )()(,1010 nnxxxxxxxf)()(,nnxxxxxxxxf 010令令)()()(xRxNxfn )()(,)(nnxxxxxxxxfxR 010其中其中)(,)()(0100 xxxxfxfxNn )()(,1010

32、nnxxxxxxxf)(,10210 xxxxxxxf n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 為函數(shù)為函數(shù) 的的 Newton 插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式. . )(xNn)(xf注：注： 由由唯一性可知唯一性可知 拉格朗日插值多項(xiàng)式與牛頓插值多拉格朗日插值多項(xiàng)式與牛頓插值多項(xiàng)式等價(jià)項(xiàng)式等價(jià)， 只是算法不同，故其余項(xiàng)也相同，即只是算法不同，故其余項(xiàng)也相同，即()0minmax( ), . ,(,)!nnff xxxxn 實(shí)際計(jì)算過(guò)程中實(shí)際計(jì)算過(guò)程中,牛頓插值多項(xiàng)式常被寫(xiě)為如下形式：牛頓插值多項(xiàng)式常被寫(xiě)為如下形式：01( )()()()n+1nxxxxxxx 其其中中 當(dāng)需增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)當(dāng)需增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí), 只要在多計(jì)

33、算一行差商的基礎(chǔ)只要在多計(jì)算一行差商的基礎(chǔ)上增加一項(xiàng)即可上增加一項(xiàng)即可.事實(shí)上：事實(shí)上：01101( ),()()()nnnnnR xf xxxxxxxxxx )()!()()(,)(xnfxxxxfnnnn11101 )()(,)()(1001nnnnxxxxxxfxNxN例例4 4 給出給出f(x) 的函數(shù)表如下的函數(shù)表如下, , 求求4 4次牛頓插值多項(xiàng)式，并次牛頓插值多項(xiàng)式，并由此計(jì)算由此計(jì)算f(0.596)的近似值的近似值. .xi0.400.550.650.800.901.05f ( xi )0.410750.578150.696750.888111.026521.253821.1

34、16001.186001.275731.384101.515330.280000.358930.433480.524930.197330.213000.228630.031340.03126 -0.000121階均差階均差2階均差階均差 3階均差階均差 4階均差階均差5階均差階均差截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差955104106 . 3| )596. 0(,| )(| xxxfxR于是于是631950596059604.).().( Nf)(xN4).)(.(.).(.5504028000040116001410750 xxx).)(.)(.(.65055040197330 xxx).)(.)(.)(.(.

35、8065055040031340 xxxx例例5 5 求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)),(),(),(1126121210 ppp322 xxxf)(所以所以的二次插值多項(xiàng)式。的二次插值多項(xiàng)式。解一：解一：cbxaxxf 2)(令令由由 112462cbacbacba得得 321cba621112122111212 )()()()()(xxxxxL解二：解二：11121211 )()(xx621112122111212 )()()()()(xxxxxL11121211 )()(xx11316222623222 xxxxx62222361818462222 xxxxx)(3261812622 xxxx解三：解三：

36、1511222611210211 ,)(kkkkkkkxxxfxxfxfxk所以所以)(,)(,)()(1021001002xxxxxxxfxxxxfxfxN 32111222 xxxxx)()(已知等距節(jié)點(diǎn)已知等距節(jié)點(diǎn)nxxhnkkhxxnk00210 ,4.4 Newton4.4 Newton等距插值等距插值1 1、差分、差分定義定義)()()(kkkxfxfxf 1簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為kkkfff 11 kkkfff)()()(1 kkkxfxfxf簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 22hxfhxfxfkkk)( 22hkhkkfff 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為向前差分向前差分 向后差分向后差分 中心差分中心差分 前差算子前差算

37、子后差算子后差算子向前差分算子向前差分算子: : 向后差分算子向后差分算子: : 規(guī)定規(guī)定零零階差分：階差分： iiifff00 kmkmkmfff111 高階向前差分高階向前差分 111 kmkmkmfff高階向后差分高階向后差分 如如)()(kkkkkkkfffffff 11212kkkfff 122)()(21112 kkkkkkkfffffff212 kkkfff2、高階差分、高階差分 )()()()(kkkkkkkkffffffff 1121223kkkkffff 12333)()(kkkkkkkfffffff 1122123又如又如 3、前差與后差的關(guān)系、前差與后差的關(guān)系 11 k

38、kkkffff)()(kkkkkkkfffffff 112122212 kkkfffmkmkmff 一般有一般有再定義再定義1 kkfEf前移算子前移算子kkffI 不變算子不變算子11 kkffE后移算子后移算子則有則有kkkkkkfIEIfEffff)( 1因此因此knknfIEf)( inkniinikniiininifCfIEC 0011)()(knknknfIEfEIf)()( 11nikniininkniniininfCfEC 0011)()( knnniniininnnfICIECEC0011)()( knnnniinininnnnfICIECIECEC)()(11110 4、差

39、商與差分的關(guān)系、差商與差分的關(guān)系hfxxxfxfxxfkkkkkkk 111)()(,hhfhfxxxxfxxfxxxfkkkkkkkkkkk21211221 ,kfh2221 kmmmkkkfhmxxxf 111!,m階向前階向前差商差商與與m階向前階向前差分差分的關(guān)系的關(guān)系m階向后階向后差商差商與與m階向后階向后差分差分的關(guān)系的關(guān)系kmmmkkkfhmxxxf 111!,又又!)(,)(mfxxxfmmkkk 1所以所以)(,!)( mmmkkkmkmfhxxxfmhf 15、差分的計(jì)算、差分的計(jì)算6、等距節(jié)點(diǎn)的、等距節(jié)點(diǎn)的Newton插值插值已知等距節(jié)點(diǎn)已知等距節(jié)點(diǎn)nxxhnkkhxxn

40、k00210 ,)(,)()(0100 xxxxfxfxNn )()(,1010 nnxxxxxxxf)(,10210 xxxxxxxf 得得)()(000001xthxfhfthxNn )(!hxthxxthxfh 000002221)()(!hnxthxxthxfhnnn1100000 令令 由由Newton插值公式插值公式thxx 0其中其中)(00 xff kmmmkkkfhmxxxf 111!,參參照照)()(000001xthxfhfthxNn )(!hxthxxthxfh 000002221)()(!hnxthxxthxfhnnn1100000 即即htthfhthfhfthxN

41、n)(!)(1211022000 hntthfhnnn)(! 110002001121fnntttfttftfn !)()(!)(前插公式前插公式同理可得后插公式同理可得后插公式)(thxNnn 0021121fnntttfttftfnnn !)()(!)(解解 函數(shù)函數(shù) x3 3 的差分表如下的差分表如下 當(dāng)當(dāng)50105050./ ).(.tx時(shí)，時(shí)，根據(jù)根據(jù)Newton向前插值公式，分別求得向前插值公式，分別求得 例例6 給出給出 330:1:40.5xx 在的值，計(jì)算505010150001.!).(tffN 250150502650101215002002.).(. )(!).(ttf

42、tffN 12502501505036250213500323.).)(.(. )(!)().(tttfxNN 1250012503214500434.)()(!)().(ttttfxNN .)(),()( )( 00334xRxNxNxf即即，則則有有的的四四階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為上上例例中中由由于于注注意意：.)( 就是精確結(jié)果就是精確結(jié)果故故12503xN例例7 已知已知f (x)=sinx的數(shù)值如下表中前兩列，分別用二次的數(shù)值如下表中前兩列，分別用二次Newton向向前、向后插值公式求前、向后插值公式求sin0.57891的近似值。的近似值。x sinx 0.5 0.47943 0.6 0.

43、56464 0.7 0.644220.4 0.38942 解解 作差分表，見(jiàn)上表作差分表，見(jiàn)上表 0.090010.085210.079582- -0.00480- -0.005633- -0.00083 使用二次使用二次Newton向前插值公式，取向前插值公式，取x0=0.5， x1=0.6， x2=0.7，h=0.1，x=0.57891，則，則789100.hxxt)(!).(12157891002002ttftffN ).()(.005630121085210479430ttt547140. 使用二次使用二次Newton向后插值公式，取向后插值公式，取x0=0.4， x1=0.5， x2

44、=0.6，h=0.1，x=0.57891，則，則210902.hxxt)(!).(12157891022222ttftffN).()(.004800121085210564640ttt547070. Hermite插值插值已知數(shù)表已知數(shù)表)( )( )( )()()(nnnnnxfmxfmxfmxfyxfyxfyxxx 1100110010求多項(xiàng)式求多項(xiàng)式 滿足滿足)(xH iiiimxHyxH)( )(則則 稱為稱為Hermite插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式)(xH因?yàn)閿?shù)表中有因?yàn)閿?shù)表中有 個(gè)已知數(shù)，可確定一個(gè)個(gè)已知數(shù)，可確定一個(gè) 次次多項(xiàng)式。多項(xiàng)式。22 n12 n2 2.5 .5 其他插值其他插值 當(dāng)當(dāng) 較大時(shí)用待定系數(shù)法求較大時(shí)用待定系數(shù)法求 是困難的是困難的 12012niiinxaxH)(n令令),()(),(njxxjj210 為為 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式12 n 0)( )(kjjkkjxx nkjxxjkkjkj,)( )(100 且滿足且滿足 kjkjjk,10 其中其中且滿足且滿足),()( ,)(nkmxH