第十一章無窮級(jí)數(shù)42267

1、第十一章 無窮級(jí)數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.基本概念（1）無窮級(jí)數(shù)的定義：（2）級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散如果，則稱無窮級(jí)數(shù)收斂,叫做級(jí)數(shù)的和，且；如果沒有極限，則稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散.（3）性質(zhì)性質(zhì)1線性性質(zhì)：設(shè)級(jí)數(shù)，為常數(shù)，則. 性質(zhì)2 （級(jí)數(shù)收斂的必要條件）級(jí)數(shù)收斂如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散。（4）柯西審斂原理級(jí)數(shù)收斂對(duì)任意給定的，總存在自然數(shù)，當(dāng)n>N時(shí)，對(duì)任意的自然數(shù)，有 成立（5）幾個(gè)典型常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 等比級(jí)數(shù) (幾何級(jí)數(shù)) 調(diào)和級(jí)數(shù)： (發(fā)散) P-級(jí)數(shù)：【例1】判別級(jí)數(shù)的收斂性，并求級(jí)數(shù)的和。解：由于，由定義所以原級(jí)數(shù)收斂，且和為1?！纠?】判斷級(jí)數(shù)的斂散性。解：因?yàn)?而所以 ，

2、由級(jí)數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)散?！纠?】 若，且收斂于，證明級(jí)數(shù)收斂.解 設(shè)級(jí)數(shù)的部分和為，級(jí)數(shù)的部分和為，因?yàn)樗?因?yàn)?，所以，且，從而所?，由級(jí)數(shù)收斂的定義知級(jí)數(shù)收斂.【例4】利用柯西審斂原理判定下列級(jí)數(shù)的收斂性(1)； (2) 解：（1）對(duì)任意給定的，要使取自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任何自然數(shù)有成立，由柯西審斂原理，級(jí)數(shù)收斂。（2）取，無論n多大，p=3n，有由柯西審斂原理，級(jí)數(shù)發(fā)散。2. 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法(1) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)類型正項(xiàng)級(jí)數(shù)： 交錯(cuò)級(jí)數(shù): 任意項(xiàng)級(jí)數(shù): （2）正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法充分條件：正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和所成的數(shù)列有界. 比較審斂法：設(shè)和均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且,a.若收斂,則收斂；b.若

3、發(fā)散，則發(fā)散.極限審斂法：設(shè)與都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則a. 當(dāng)時(shí)，與具有相同的斂散性；b.當(dāng)時(shí)，若收斂，則收斂；c.當(dāng)時(shí)，若發(fā)散，則發(fā)散；重要參考級(jí)數(shù):幾何級(jí)數(shù), P-級(jí)數(shù), 調(diào)和級(jí)數(shù).等價(jià)無窮小法：若（等價(jià)無窮?。?，則與具有相同的斂散性.比值審斂法(達(dá)朗貝爾判別法)：設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果,則時(shí)級(jí)數(shù)收斂;時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 時(shí)失效.根值審斂法(柯西判別法)：設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果,則時(shí)級(jí)數(shù)收斂;時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 時(shí)失效.（3）交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法(萊布尼茨定理) 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:；,則級(jí)數(shù)收斂,且其和,其余項(xiàng)的絕對(duì)值.（4）任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法絕對(duì)收斂：若收斂, 則稱為絕對(duì)收斂;條件收斂：若發(fā)散,而收斂, 則稱為條件收斂

4、.注：若級(jí)數(shù)發(fā)散，不能斷定級(jí)數(shù)也發(fā)散，但可利用比值法或根值法進(jìn)行判斷.做法如下：如果或，則發(fā)散。由可知，從而，因此，發(fā)散。【例5】判定級(jí)數(shù)的斂散性解當(dāng)時(shí)，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)時(shí)，而為公比為的等比級(jí)數(shù)收斂，由比較審斂法知級(jí)數(shù)收斂.【例6】判斷級(jí)數(shù)的斂散性。解：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，收斂，故由比較審斂法，原級(jí)數(shù)收斂。注：應(yīng)用比較法判斷一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，最關(guān)鍵問題是要熟練掌握一批已知正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性(如幾何級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)等), 然后根據(jù)的特點(diǎn)，進(jìn)行有針對(duì)性的放縮。【例7】 判別級(jí)數(shù)的斂散性。解： 因?yàn)?，所以，分別考慮和的斂散性。對(duì)于，由比值法 ，知收斂，所以，絕對(duì)收斂；同理得收

5、斂，可知原級(jí)數(shù)收斂?！纠?】判斷級(jí)數(shù)的斂散性。解：由比值審斂法，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)時(shí)，比值審斂法失效，注意到，原級(jí)數(shù)發(fā)散。注：在級(jí)數(shù)一般項(xiàng)中，若含有形如的因子時(shí)，適于使用比值審斂法?！纠?】判斷級(jí)數(shù)的斂散性。解：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)， 故由根值審斂法，原級(jí)數(shù)收斂。注：在級(jí)數(shù)一般項(xiàng)中，若含有次方時(shí)，適于使用根值審斂法?！纠?0】設(shè)常數(shù)k>0 ，則級(jí)數(shù) (A) 發(fā)散 (B) 絕對(duì)收斂 (C) 條件收斂 (D) 收斂或發(fā)散與 的取值無關(guān) 【 】解： 因?yàn)槎?jí)數(shù)為絕對(duì)收斂；級(jí)數(shù)為條件收斂，因此原級(jí)數(shù)為條件收斂，(C)選項(xiàng)正確.【例11】判別級(jí)數(shù) 的斂散性。解：原級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，先

6、考慮級(jí)數(shù)的斂散性。由于當(dāng)時(shí)，而級(jí)數(shù)發(fā)散，由比較審斂法，級(jí)數(shù)發(fā)散，即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂。因?yàn)?，令，因?yàn)樗詅(x)在內(nèi)單調(diào)遞減，得于是由萊布尼茲判別法可得級(jí)數(shù)收斂，從而原級(jí)數(shù)條件收斂。注：在運(yùn)用萊布尼茲定理判別時(shí)，可引入函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判別單調(diào)性。【例12】若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)（A）收斂.（B）收斂.（C）收斂.（D）收斂. 【 】解 因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂，所以收斂，（D）選項(xiàng)正確。若，此級(jí)數(shù)收斂，但發(fā)散，所以(A)不正確；發(fā)散，所以(B)不正確。若，此級(jí)數(shù)收斂，但發(fā)散，所以(C)不正確。二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1基本概念（1）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，是定義在上的函數(shù)（2）收斂域函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為

7、收斂域.（3）和函數(shù) 在收斂域上,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)為 .函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和 且.2. 冪級(jí)數(shù)（1）形式：或（2）冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間收斂半徑：對(duì)冪級(jí)數(shù)，都存在唯一的實(shí)數(shù)（），當(dāng)時(shí)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，冪級(jí)數(shù)發(fā)散，稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑收斂區(qū)間為；冪級(jí)數(shù)的收斂域，需確定端點(diǎn)的收斂性. （3）收斂定理（阿貝爾(Abel)定理）：如果級(jí)數(shù)在處收斂，則它在滿足不等式的一切處絕對(duì)收斂；如果級(jí)數(shù)在處發(fā)散，則它在滿足不等式的一切處發(fā)散.（4）收斂半徑求法定理：冪級(jí)數(shù)，若（或），則（5）冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間（收斂域）的求法：求冪級(jí)數(shù)的收斂域，通常有三種基本類型，即型、型和缺冪型，還有一種特殊的非冪函數(shù)型

8、。解題方法見流程圖?！纠?】 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域：(1)(2)(1)解：，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，該級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，該級(jí)數(shù)收斂。故此冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤?(2) 解：缺少偶次冪的項(xiàng)，由比值審斂法當(dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂, 當(dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散,當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂,當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂,故此冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。【?】設(shè)冪級(jí)數(shù)與的收斂半徑分別為與，求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.解：因?yàn)閮缂?jí)數(shù)與的收斂半徑分別為與，有，【例3】設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為3，求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.解：因?yàn)閮缂?jí)數(shù)的收斂半徑為3，所以令，所以 =，即，所以 【例4】求冪級(jí)數(shù)的收斂域.解：令，則=因?yàn)?，所?，收斂區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為

9、，收斂. 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，發(fā)散.所以，即，解得或故此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?4冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)（1）冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的分析性質(zhì)：冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂域上連續(xù)。冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂域上可積，且收斂半徑不變冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且收斂半徑不變（2）冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法：求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，最常用的方法是首先對(duì)給定的冪級(jí)數(shù)進(jìn)行恒等變形，然后采用“先求導(dǎo)后積分”或“先積分后求導(dǎo)”等技巧，并利用與形如（或等）冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，求出其和函數(shù)。【例5】求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并求的和。解：記 求導(dǎo)得   積分得 令，則2【例6】 求冪級(jí)數(shù) 在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)。解：令 ，對(duì)冪級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)積分，得：其中，。再應(yīng)

10、用逐項(xiàng)積分的方法得：對(duì)求導(dǎo)得 所以 對(duì)求導(dǎo)得 即 5. 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)（1）泰勒級(jí)數(shù)如果在點(diǎn)處任意階可導(dǎo)，則冪級(jí)數(shù)稱為在點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù). 時(shí)，稱為的麥克勞林級(jí)數(shù).（2）幾個(gè)重要函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)（3）將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)方法：直接法(泰勒級(jí)數(shù)法)：（1）求； （2）討論，則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收斂于間接法：利用常見展開式，通過變量代換，四則運(yùn)算，恒等變形，逐項(xiàng)求導(dǎo)，逐項(xiàng)積分等方法求展開式.注意：展開冪級(jí)數(shù)后，必須寫出收斂域?！纠?】將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)。解：（）【例8】 將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和。解：因?yàn)槎?，所以，又因?yàn)椋瑥亩e分得，因?yàn)閮缂?jí)數(shù)在處收斂，所以，收斂域?yàn)?。?dāng)時(shí)，=0，所以【例

11、9】將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù).解：積分得，再求導(dǎo)得 ，6. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性 （1）一致收斂定義：設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，對(duì)于任意給定的，總存在著一個(gè)只依賴于的自然數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，對(duì)區(qū)間I上的一切x有成立，則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間I上一致收斂于和s(x)，也稱函數(shù)序列在區(qū)間I上一致收斂于s(x).（2）一致收斂判定理（魏爾斯特拉斯判別法）如果函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間I上滿足條件：；正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間I上一致收斂.（3）一致收斂的基本性質(zhì)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)在a, b上都連續(xù)，且在區(qū)間a, b上一致收斂于s(x)，則s(x)在a, b上也連續(xù)。級(jí)數(shù)的各項(xiàng)在a, b上都連續(xù)，且在區(qū)間a, b上一致收斂

12、于s(x)，則級(jí)數(shù)在a, b上可以逐項(xiàng)積分，即其中，且級(jí)數(shù)在a, b上也一致連續(xù).級(jí)數(shù)在區(qū)間a, b上收斂于s(x)，它的各項(xiàng)都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且在區(qū)間a, b上一致收斂，則級(jí)數(shù)在a, b上也一致收斂，且可逐項(xiàng)求導(dǎo)，即【例10】討論級(jí)數(shù)在區(qū)間-1, 1上的一致收斂性.解：前n項(xiàng)和 要使 取，當(dāng)時(shí)，對(duì)于上的一切x，有成立，所以級(jí)數(shù)在區(qū)間上的一致收斂.【例11】利用維爾斯特拉斯判別法證明下列級(jí)數(shù)一致收斂(1) ； （2）解：(1) 因?yàn)?，而收斂，由維爾斯特拉斯判別法知在上一致收斂.(2) 因?yàn)? 而收斂，由維爾斯特拉斯判別法知在上一致收斂.7.傅里葉級(jí)數(shù)（1）傅里葉級(jí)數(shù)：設(shè)是以為周期的函數(shù)，且在上可

13、積，稱三角級(jí)數(shù)為傅里葉級(jí)數(shù)，其中或 稱為傅里葉系數(shù).（2）傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理(狄利克雷充分條件)：設(shè)是以為周期的周期函數(shù)，如果它滿足條件：在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，并且至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，并且：當(dāng)是的連續(xù)點(diǎn)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于；當(dāng)是的間斷點(diǎn)時(shí),收斂于；注意：對(duì)于非周期函數(shù),如果函數(shù)只在區(qū)間上有定義,并且滿足狄氏充分條件,也可展開成傅氏級(jí)數(shù).做法：對(duì)進(jìn)行周期延拓，得到周期為的函數(shù)，將展開成傅里葉級(jí)數(shù)，限制在內(nèi)，此時(shí)，在區(qū)間端點(diǎn)處收斂于.（3）奇偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)周期為的奇函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)為正弦級(jí)數(shù),它的傅里葉系數(shù)為周期為的偶函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù),它的傅

14、里葉系數(shù)為注：對(duì)于非周期函數(shù)，如果函數(shù)只在區(qū)間或上有定義，并且滿足狄氏充分條件，也可展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)。做法：對(duì)進(jìn)行奇延拓或偶延拓，將延拓后的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)，限制在上，此時(shí)，這樣便得到的正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)的展開式。（4）一般周期的傅里葉級(jí)數(shù)：設(shè)周期為的周期函數(shù)滿足收斂定理的條件，則它的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為其中系數(shù)為 【例12】將展開成傅里葉級(jí)數(shù)。解：所給函數(shù)在上滿足收斂定理，將函數(shù)進(jìn)行周期延拓，函數(shù)在每一點(diǎn)均連續(xù)。為偶函數(shù)，所以。傅立葉系數(shù)為： ()【例13】在上將函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)，并求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。解：將函數(shù)進(jìn)行奇延拓，則有函數(shù)的正弦級(jí)數(shù)為 ()令，則， 注：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和也可通過傅立葉級(jí)數(shù)展開式求得?！纠?4】設(shè)，其中 ( )，則= .解：因?yàn)闉橛嘞壹?jí)數(shù)，可見將進(jìn)行偶延拓。，為的和函數(shù)，為間斷點(diǎn)，所以=