第8章 正交試驗設(shè)計的方差分析例題VIP

1、 考慮交互作用的三水平正交試驗的方差分析（因?qū)W時有限和正交表太大L27(313)，不講解！只講解二水平情況，因為二水平會，三水平自然也會?。├?-4 運動發(fā)酵單細胞菌是一種酒精生產(chǎn)菌。為了確定其發(fā)酵培養(yǎng)基的最佳配方，進行了四因素三水平正交試驗，試驗指標為酒精濃度（g/ml）。表8-12給出了因素水平表，要求考察交互作用A×B、A×C和A×D。查附表7可得，本試驗應(yīng)選用L27(313)正交表，表頭設(shè)計應(yīng)按照“L27(313)二列間的交互作用表”進行。本例只考慮一級交互作用（p=1），所以每個三水平交互作用應(yīng)占(m-1)P=(3-1)1=2列，即A×B、A&

2、#215;C，和A×D在L27(313)正交表中各占二列。表8-12 因素水平表 因素水平葡萄糖濃度A酵母膏濃度B培養(yǎng)溫度（）C培養(yǎng)基pHD1235152500.51.02530355.06.07.0表頭設(shè)計時應(yīng)避免混雜，試驗方案及試驗結(jié)果見表8-13。由交互作用表可知，將因素A、B安排在第1、2列之后，第3、4列為A×B交互作用列；再將C安排在第5列后，A×C交互作用在第6、7列；最后將D安排在第9列，則A×D交互作用類落在第8、10列（當然也可將D安排在第8列，則第9、10列為A×D交互作用列）。表8-13 試驗方案及結(jié)果分析 L27(31

3、3)試驗號ABA×BCA×CA×DDA×D試驗結(jié)果yi1234567891011121312345678910111213141516171819202122232425262711111111122222222233333333311122233311122233311122233311122233322233311133311122211122233333311122222233311112312312312312312312312312312312312323123123131231231212312312331231231223123123112

4、32313121232313121232313121232313122313121233121232311232313123121232312313121231233122311233122311233122311233122312311233123122311231233122313122311232311233120.200.500.501.501.101.201.601.601.200.400.500.206.302.704.205.907.706.150.400.300.301.754.755.302.907.302.80K1jK2jK3j9.4033.0525.803.3027.80

5、37.1532.7517.9017.6026.4024.5517.3019.9526.4521.8526.2023.2018.8522.6018.8026.8528.3020.0019.9516.6523.4528.1522.9025.0020.3519.7022.4026.1524.2021.9022.1522.4524.4521.3568.2588.361092.3665.6410.89772.841380.11072.6320.41309.76696.96602.70299.29398.00699.60477.42685.44538.24355.32510.76353.44720.928

6、00.89400.00398.00277.22549.90792.42524.41625.00414.12388.09501.76683.82585.64479.61490.62504.00597.80455.82Sj32.6267.9021.812.486.646.347.436.343.23一、計算（計算過程省略）1.計算各列各水平的Kij值(K1j,K2j,K3j)和K(K,K,K)各列各水平對應(yīng)的試驗數(shù)據(jù)之和K1j,K2j,K3j ,及其平方和K, K, K ,列于表8-13中,例如K1A =0.20+0.50*2+1.50+1.10+1.20*2+1.60*2=9.40=K11 ，

7、K= 88.36 K2A =0.40+0.50+6.15=33.05= K21 ， K=1092.30K3A =0.40+0.30+2.80=25.80= K31 ， K =665.64表示A×B的有兩列,即第3,4列,計算后可知K13 =32.75, K23 =17.90; K33 =17.60K14 =26.40; K24 =24.55, K34 =17.302.計算各列的偏差平方和(Sj)及其自由度(fj)由式(8-4),可知:Sj=r=n/m=27/3=9;CT=T2/n=1/27×68.252=172.52 所以 Sj=( K1j2+K2j2+K3j2)-172.

8、53SA=S1=(K112 +K212+K312)-172.52=(88.36+1092.30+665.64)-172.52=32.62SB=S2=67.90, S3=16.67 , S4=5.14所以SA×B=S3+S4=21.81Sc=S5=2.48, S6=3.04, S7=3.60所以SA×C =S6+S7=6.64S8=5.13 ; S10=1.21所以SA×D=S8+S10=6.34SD=S9=7.43S11=2.33,S12=0.35,S13=0.55所以Se=S11+S12+S13=3.23因為第j列的自由度為 fj=m-1=3-1=2,(j=1,

9、2,13)，所以fA = fB = fC =fD=2fA×B= f3 +f4=2+2=4, fA×C = f6 +f7 =2+2=4fA×D = f8 +f10 =2+2=4, fe= f11 +f12 +f13 =2×3=6驗算: ST的驗算QT=0.2²+0.5²+2.8²=320.98ST =QT CT=320.98-172.52=148.46另外ST=32.62+67.90+0.55=148.45 fT的驗算fT=n-1=27-1=26另外 fT =13fi =13×(m-1)=13×(3-1)=

10、26計算過程無誤. 3.計算方差Vj = VA=SA/fA=32.62/2=16.31同理可得 VB=33.95,VC=1.24,VD=3.72 VA×B=5.45,VA×C=1.66,VA×D=1.59 Ve=0.538 均大于2,且fe=61, 無需校正Ve!二、顯著性檢驗 （計算過程省略）1.計算 Fj FA= VA/Ve=16.31/0.538=30.32,Fj=Vj/Ve, 同理可得, FB=63.10, FA×B=10.13, FC=2.30, FA×C=3.092.查 FF(f因,fe)=f(2,6),F(f交,fe)=F(4,6

11、)當=0.05時,查得 F0.05(2,6)=5.14, F0.05(4,6)=4.53;當=0.01時,查得 F0.01(2,6)=10.92, F0.01(4,6)=9.15.3.顯著性檢驗FA=30.32和FB=63.10均大于F0.01(2,6)=5.14,因素A和B均高度顯著(用*表示);又FA×B=10.13F0.01(4,6)=9.15,交互作用A×B也高度顯著（用*表示）；又FD=6.91,介于F0.05(2,6)和F0.01(2,6)之間,因素D顯著(用*表示);又FC=2.30F0.05(2,6)=5.14,以及FA×C=3.09和FA

12、5;D=2.96均小于F0.05(4,6)=4.53,因素C及交互作用A×C和A×D均不顯著.根據(jù)F值大小,可知各因素及交互作用對試驗指標影響的主次順序為:B,A,A×B,D,A×C,A×D,C.4.列方差分析表 表8-14 方差分析表方差來源偏 差平方和自由度方差F值F顯著性ABA×BCA×CDA×D誤差e32.6267.9021.812.486.647.436.343.232242424616.5133.955.451.241.663.721.590.53830.3263.1010.132.303.096.91

13、2.96F0.05(2,6)=5.14F0.01(2,6)=10.92F0.05(4,6)=4.53F0.01(4,6)=9.15*總 和148.4526三、最優(yōu)工藝條件確定 因素A、B及交互作用A×B都高度顯著，但因在主次順序中，A×B排在A、B之后，因此應(yīng)優(yōu)先考慮A、B的優(yōu)水平。A和B的優(yōu)水平確定了，其搭配也就隨之確定，不必再通過A、B的二元表確定A與B搭配。通過比較試驗指標和K值大小，可知A和B的優(yōu)水平，分別為A2和B3。 因素D作用顯著，但D與A的交互作用A×D不顯著,故可不考慮交互作用,通過比較K值可知D的優(yōu)水平為D3。 因素C作用不顯著，可以降低成本和

14、操作方便等方面來考慮選取最適水平。對本例通過比較K值確定C的優(yōu)水平為C2。因此，最優(yōu)水平組合為A2B3C2D3，即最優(yōu)工藝條件為葡萄糖濃度15%，酵母膏濃度1.0%、培養(yǎng)溫度30和培養(yǎng)基pH值7.0。最后，最好能在最佳條件A2B3C2D3下，再實施一次試驗，測定試驗指標值（即酒精濃度），在L27（313）正交表中，沒有A2B3C2D3這一組試驗。在正常情況下，A2B3C2D3組合條件下的試驗指標值，應(yīng)大于表813中的最大xi值，即第17號試驗的x17=7.70。8.4 混合型正交表的方差分析 混合型正交表的方差分析與等水平正交表的方差分析無本質(zhì)的區(qū)別，只是用公式時，要注意各列水平數(shù)的差別。例8

15、-5 試對例7-2試驗數(shù)據(jù)進行方差分析。 課本中為簡化計算，對表7-5（p144）的試驗數(shù)據(jù)xi作了線性變換，實際上沒有必要。在不對xi作變換的情況，請同學們自己再做一次方差分析，作為課外作業(yè)去完成。且求Sj時，對二水平因素用通式和簡化式分別計算！ 總的偏差平方和 ST=-CT fT=n-1因素的偏差平方和Sj分兩種類型進行計算：1、對于四水平因素 Sj= (對二水平因素,也可用這一通式計算，建議全部用通式計算，以免產(chǎn)生混亂！) m=4,r=n/m=8/4=2fj=m-12、對于二水平因素，簡化計算公式為： Sj=(K1j-K2j)2 ， n=8 fj=m-1， m=2(方差分析和顯著性檢驗，

16、見書上p181)討論：（1） 方差分析法與極差分析法得出的各因素主次順序相同，都是A、C、B;（2） 由方差分析可知，因素A顯著，因素C不顯著，而因素B對試驗結(jié)果無影響(即將SB并入Se中,及 Se+SB，fe+fB)；（3） 主要因素A的優(yōu)水平A3；不顯著因素C，可根據(jù)具體情況確定其水平，為縮短加工時間，可選C1水平，但從指標值看，還的選C2為好；對試驗結(jié)果無影響的因素B，選B1或B2均可，從試驗的指標可知，A3B1C2為最佳工藝條件，（即5號試驗）。因此，此時指標值最大。（251cm3/100g） （極差分析結(jié)果：A3B1C2或A3B2C2 方差分析結(jié)果：A3B1C2或A3B2C2）8.5

17、 重復試驗和重復取樣的方差分析（因時間有限，不講解?。?在實際工作中，用正交表安排試驗時，為了提高試驗及其統(tǒng)計分析的精確性和可靠性，往往采取重復試驗和重復取樣，在安排試驗時，將同號試驗重復做若干次，從而得到在同一條件下若干次試驗的數(shù)據(jù)，叫做重復試驗，若在一個試驗中，同時抽取若干個樣品進行測試，則叫做重復取樣。8.5.1 重復試驗的方差分析在用正交表安排試驗時，若表上各列已被因素及交互作用占滿，沒有空列，也無經(jīng)驗誤差。這時，為了估計試驗誤差，一般選用更大的正交表以外，還可以重復試驗，由于正交本身的需要，有時雖然正交表的所有列并未被因素及交互作用占滿，但也要做重復試驗。 重復試驗的方差分析與無重復

18、試驗的方差分析比較，有以下幾點不同：（1）假設(shè)每號試驗重復數(shù)為S，在計算K1j，K2jKmj時，是以各號試驗下“S個試驗指標數(shù)據(jù)之和”進行計算；（2）重復試驗時，總偏差平方和ST及其自由度fT按下式計算：ST=fT=ns-1式中：n-試驗條件數(shù)，即正交表的總試驗號；s-各號試驗重復數(shù)xit-第i號試驗第t次重復試驗數(shù)據(jù)（i=1，2，n；t=1，2，s）；T-所有試驗數(shù)據(jù)之和（包括重復試驗）； T=（3）重復試驗時，各列偏差平方和（Sj）計算公式中的“水平重復數(shù)”改為“水平重復數(shù)乘以試驗重復數(shù)”，修正項CT也有變化，Sj的自由度fj 仍為水平數(shù)減1。Sj= ， CT=， r=fj=m-1（4）重

19、復試驗時，總誤差平方和包括空列誤差Se1和重復試驗誤差Se2，即Se=Se1+Se2其總的自由度fe等于Se1的自由度fe1與Se2的自由度fe2之和，即：fe=fe1+fe2Se2及fe2的計算公式如下Se2=fe2=n(S-1)(5)重復試驗時，用Ve=Se/fe檢驗各因素及其交互作用的顯著性。當正交表的各列都已排滿因素及交互作用而無空列時（即Se1=0和fe1=0）用Ve2=Se2/fe2 來檢驗因素及交互作用的顯著性。例8-6（p183） 四因素四水平正交試驗，每號試驗重復三次，由附表7可知，對四因素四水平試驗，選L16（45）正交表最合適，本例不考慮因素間的交互作用，因素水平如表8-

20、17所示，而表8-18為試驗方案與試驗結(jié)果計算表。一、計算（簡略）1.計算各列水平Kij值（K1j，K2j，K3j，K4j）和K如 K11 =6+12.5+17.5+19.2=55.2 K =55.22=3047.04K45 =19.2+19.5+18.9+19.2=76.8K =76.82=5898.242計算各列偏差平方和（Sj）及其自由度（fj）Sj= ， CT=， r=如SA=S1=( K + K + K312 + K412)-1912.69=×(3047.04+6528.64+7656.25+6320.25)-1912.6=49.99同理可得 SB =S2=33.42 Sc

21、=S3=29.01 SD =S4=13.54 Se1=S5=9.65 Se2=(22+22+6.52 +6.92)-1/3×(62 +12.52+20.42)=2050.32-2048.31=2.01所以Se=Se1+Se2=9.65+2.01=11.66fj=m-1=4-1=3fA= fB= fC= fD=3 fe1=f5=4-1=3fe2=n(S-1)=16×(3-1)=32fe=fe1+fe2=3+32=35驗算： ST ST= = =2050.32-1912.69=137.62另外 ST= =49.99+33.42+29.01+13.54+9.65+2.01=137

22、.62fT fT=ns-1=16另外 fT= =3 3. 計算方差 VJ= VA= VB= VC= VD= Ve=二、顯著性檢驗1.計算F值 Fj 2.查F值 3.顯著性檢驗   因為，F(xiàn)A、FB、FC、FD均大于F0.01（3，35），所以，A、B、C、D四個因素均高度顯著，方差分析表如表8-19所示（P186）。三、確定最優(yōu)條件四個因素的作用均高度顯著，且由F值大小可知因素作用的主次順序為A、B、C、D通過比較Kij值，可知各因素的優(yōu)水平為A3、B4、C3、D3，故最優(yōu)水平組合為A3B4C3D3，表8-18的試驗方案中無該水平組合的試驗，所以應(yīng)在最優(yōu)水平組合下

23、，再安排實施一次試驗，并且其試驗指標值應(yīng)大于表8-18中的最大指標值。8.5.2重復取樣的方差分析    由于重復試驗使試驗次數(shù)成倍增加而增加試驗費用，故在實際工作中，更常用的是采用重復取樣方法來提高試驗的可靠性，重復取樣與重復試驗在誤差偏差平方和的計算上完全一樣，但重復取樣的誤差，反映的是原材料和產(chǎn)品的不均勻性與試樣的測量誤差，即局部（試驗）誤差；而重復試驗的誤差，反映的是整個試驗過程中的各種干擾引起的誤差，即整體誤差。通常，局部誤差比整體誤差要小，原則上不能用來檢驗各因素水平間是否存在差異，否則，會得到幾乎全部因素及交互作用都是顯著的不正確結(jié)論。但是

24、，若符合下面兩種情況，則可以把重復取樣得到的局部誤差Se2當作試驗誤差Se，進行統(tǒng)計檢驗。（1）正交表中各列已排滿，無空列提供一次誤差（Se1），這時，為了少做試驗而用重復取樣誤差（Se2）作為試驗誤差（Se），檢驗各因素交互作用的顯著性，若檢驗結(jié)果有一半左右的因素及交互作用不顯著，就可以認為這種檢驗是合理的；（2）若重復取樣得到的局部（試驗）誤差（Se2）與整體（試驗）誤差（Se1）相差不大，也就是說，要求兩類誤差的F值：  對于給定的信度，有F < F（fe1，fe2），說明Se1與Se2的誤差不顯著，這時，就可以將Se2和Se1合并作為試驗誤差，即 &

25、#160;          Se=Se1+Se2；            Fe=fe1+fe2但是，若FF(fe1，fe2)，則兩類誤差有顯著差異，不能合并使用。例8-7  三因素三水平正交試驗，不考慮交互作用，因此，選用L9（34）正交表最合適。因素水平表見表8-20，試驗方案見表8-21（see p188）。重復取樣三次，即s=3.解：一、計算1.計算

26、各列水平的Kij值（K1j，K2j和K3j）和Kij2如:K11=0.655+0.657+0.787=2.099,K=2.0992=4.406 K13=0.760+1.305+0.657=2.722,K=2.7222=7.409 K和K的計算結(jié)果,列于表8-21中.2.計算各列偏差平方和（Sj）及自由度（fj）檢驗： SA= S1=1/9×(7.684+15.413+4.406)-2.866=0.190 同理可得: SB= S2 =0.00889, Sc = S3 =0.0188 Se1 = S4 =0.00622 n=9,s=3=(0.2782+0.2512+0.2592)-1/3

27、*(0.7602+1.1622+0.7872) =3.100-3.089=0.0110fj = m-1=3-1=2 fA = fB=fC =2fe1 = f4 =3-1=2fe2= n(s-1)=9×(3-1)=18驗算：ST ST =3.100-2.866=0.234 SA+ SB + SC + Se1 + S e2=0.234fT fT =ns-1=9×3-1=26 fT = fA+fB +fC + fe1+ fe2 =26 所以計算無誤3.比較兩類誤差F=(Se1/fe1)/(Se2/fe2)=(0.00622/2)/(0.0110/18)=5.09因為 F0.01(

28、2,18)=6.015.09，所以兩類誤差可以合并使用。Se=Se1+Se2=0.00622+0.0110=0.01722Fe=fe1+fe2=2+18=204. 計算方差Vi=Si/fiVA=SA/fA =0.190/2=0.095同理,VB=0.00445, VC =0.0094 ,Ve=0.000861 二、顯著性檢驗 Fj=Vj/Ve1.求FjFA =VA /Ve=0.095/0.000861=110.34FB=VB/Ve=0.00445/0.000861=5.168FC=VC/Ve=0.0094/0.000861=10.922.查FF=( f因 ,fe)= F(2,20)=0.01 時,F0.01(2,20)=5.85=0.05時,F0.05(2,20)=3.493.顯著性檢驗因為 FAF0.01所以因素B高度顯著;又因為F0.05FBF0.01,所以B顯著;又因為FCF0.01所以因素C