第二型曲線積分和曲面積分的計算方法

1、 第二型曲線積分與曲面積分的計算方法 摘 要： 本文主要利用化為參數(shù)的定積分法，格林公式，積分與路徑無關(guān)的方法解答第二型曲線積分的題目；以及利用曲面積分的聯(lián)系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面積分的題目. 關(guān)鍵詞： 曲面積分；曲線積分 1 引 言 第二型曲線積分與曲面積分是數(shù)學(xué)分析中的重要知識章節(jié)，是整本教材的重點(diǎn)和難點(diǎn).掌握其基本的計算方法具有很大的難度，給不少學(xué)習(xí)者帶來了困難.本文通過針對近年來考研試題中常見的第二型曲線積分與曲面積分的計算題目進(jìn)行了認(rèn)真分析，并結(jié)合具體實(shí)例以及教材總結(jié)出其特點(diǎn)，得出具體的計算方法.對廣大學(xué)生學(xué)習(xí)第二型曲線積分與第二型曲面積分具有重要的指導(dǎo)意義

2、.2 第二型曲線積分例1 求，其中a，b為正的常數(shù)，L為從點(diǎn)A（2a，0）沿曲線y=到點(diǎn)（0，0） 的弧.方法一：利用格林公式法，P(x，y)，Q（x，y）以及它們的一階偏導(dǎo)數(shù)在D 上連續(xù)，L是域D的邊界曲線，L是按正向取定的.解：添加從點(diǎn)（0，0）沿y=0到點(diǎn)A（2a,0）的有向直線段, 記為 ， 則由格林公式得： 其中D為所圍成的半圓域，直接計算,因?yàn)樵跁r，所以=0因而： ，從而 方法二：應(yīng)用積分與路徑無關(guān)化為參數(shù)的定積分法求解（1） 若 （與路徑無關(guān)的條件）， 則 （2） 是起點(diǎn) 是終點(diǎn) 解： 記為 , 對于，積分與路徑無關(guān)，所以 對于，取L的參數(shù)方程，t從0到，得 從而 對于空間第二曲

3、線一般的解題過程為： 若L閉合，P,Q,R對各元偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 若L非閉，其參數(shù)方程為 其中： ，分別為L的起點(diǎn)，終點(diǎn)參數(shù)值. 例2 計算空間曲線積分I=，其中曲線L為圓柱面與平面的交線，從X軸正向看，曲線是逆時針方向.方法一：化為參數(shù)的定積分計算，對于這種封閉的曲線要充分利用上三角函數(shù)的正交性. 解： 令 ， 則 于是I=方法二：解 ： 3 第二型曲面積分例3 計算曲面積分，其中為旋轉(zhuǎn)拋物面 介于平面z=0及z=1之間的部分的下側(cè).方法一：利用兩類曲面積分的聯(lián)系 其中是有向曲面上點(diǎn)（x，y，z）處的法向量的方向余弦. 解： ， 方法二：分面投影法 如果由給出，則 如果由給出，則 如果由給出，則

4、等式右端的符號這樣規(guī)定：如果積分曲面是由方程 所給出的曲面上（前，右）側(cè)，應(yīng)取“”，否則取“”. 解： 所以 方法三 ：合一投影法 前面我們看到，按分面投影發(fā)計算曲面積分時，對不同類型的積分項(xiàng)必須將曲面用不同的方程表示，然后轉(zhuǎn)化為不同坐標(biāo)面上的二重積分，這種方式形式上雖然簡單但計算比較繁瑣. 事實(shí)上，如果的方程， ，（是在面上的投影區(qū)域），函數(shù)在上連續(xù)時，則單位法向量為 由于投影元素 ， ，于是得到所以 等式右端的符號這樣確定：如果是由方程所給出的曲面上側(cè)，取“”，否則取“”. 當(dāng)可用顯示方程或表示時，只需注意到此時的法向 量為或，可得相應(yīng)公式. 上述方法將上式中的三種類型積分轉(zhuǎn)化為同一坐標(biāo)面

5、上的二重積分，故名為合一投影法. 解：，在面上的投影區(qū)域：=，又的下側(cè)，故由上式可得： 方法四：高斯公式 解：曲面不是封閉曲面，不能直接利用高斯公式，應(yīng)補(bǔ)面的上側(cè)，則用高斯公式 所以 又 所以 4 小結(jié) 從以上對試題的分析，發(fā)現(xiàn)不同年份的命題，多次考到相同的知識點(diǎn)，并且吻合于通用教材教學(xué)中的難點(diǎn)重點(diǎn)，雖然考試題目千變?nèi)f化，但教材的內(nèi)容相對穩(wěn)定，因此只有吃透教材，抓住重點(diǎn)難點(diǎn)，克服盲點(diǎn)復(fù)習(xí)，達(dá)到以靜制動.過本文的分析，希望對大家有一定的指導(dǎo)作用. （指導(dǎo)教師：呂國亮）參考文獻(xiàn)1 華東師大數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(下)M，第三版. 高等教育出版社，2001，224-231.2 劉玉璉，傅沛仁等.數(shù)學(xué)分析

6、講義(下)M，第四版. 高等教育出版社，2003， 375-388.3 林源渠，方企勤. 數(shù)學(xué)分析解題指南M. 北京大學(xué)出版社，2001，338-362.4 陳文燈. 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南M. 世界圖書出版社，2000，276-287.5 田勇.碩士研究生入學(xué)考試歷年真題解析M. 機(jī)械工業(yè)出版社，2002，175-188.6 華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系.考研特別快車數(shù)學(xué)M.華中科技大學(xué)出版社，2001. 204-212. 7 孫一生. 第二型曲線與曲面積分計算的基本方法與技巧J.哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，1989，5（2）：106-112. 8 陳少元. 第二型曲線積分計算方法與技巧J. 科技信息（學(xué)術(shù)版），2