山東省武城縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級數(shù)學(xué)24.3《正多邊形和圓》教案

1、.九年級數(shù)學(xué)24.3?正多邊形和圓?復(fù)習(xí)教案【教學(xué)目的】1.復(fù)習(xí)正多邊形和圓的有關(guān)概念及對稱性；2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識畫正多邊形；3.會進(jìn)展正多邊形的有關(guān)計算.【教學(xué)重難點(diǎn)】正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系【教學(xué)過程】要點(diǎn)梳理：要點(diǎn)一、正多邊形的概念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形要點(diǎn)詮釋：判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：1各邊相等；2各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形正方形是正多邊形.要點(diǎn)二、正多邊形的重要元素1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正

2、多邊形和圓的關(guān)系非常親密，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓2.正多邊形的有關(guān)概念1一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心2正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑3正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角4正多邊形的中心到正多邊形的一邊的間隔 叫做正多邊形的邊心距3.正多邊形的有關(guān)計算1正邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是；2正邊形每個中心角的度數(shù)是；3正邊形每個外角的度數(shù)是.要點(diǎn)詮釋：要熟悉正多邊形的根本概念和根本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.要點(diǎn)三、正多邊形的性質(zhì)1.正多邊形都只有一個外接圓，圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形.2.

3、正邊形的半徑和邊心距把正邊形分成2個全等的直角三角形.3.正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)一樣，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心. 4.邊數(shù)一樣的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方5.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓要點(diǎn)詮釋：1各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；2各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.要點(diǎn)四、正多邊形的畫法1.用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角即等分頂點(diǎn)在圓心的周角可以等分圓；根據(jù)

4、同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫出相應(yīng)的正n邊形.2.用尺規(guī)等分圓對于一些特殊的正邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.正四、八邊形.在O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形. 再逐次平分各邊所對的弧即作AOB的平分線交于 E 就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形.正六、三、十二邊形的作法.通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以O(shè)的半徑為半徑畫弧與O相交于C、D和E、F，那么A、C、E、B、F、D是O的6等分點(diǎn). 顯然，A、E、F或C、B、D是O的3等分點(diǎn).同樣，在圖3中平分每條邊

5、所對的弧，就可把O 12等分.要點(diǎn)詮釋：畫正n邊形的方法：1將一個圓n等份，2順次連結(jié)各等分點(diǎn).【典型例題】類型一、正多邊形的概念例1. 如下圖，正五邊形的對角線AC和BE相交于點(diǎn)M1求證：ACED；2求證：MEAE【解析與答案】 1正多邊形必有外接圓，作出正五邊形的外接O，那么的度數(shù)為， EAC的度數(shù)等于的度數(shù)的一半， EAC，同理，AED×72°×3108°， EAC+AED180°， EDAC2 EMA180AEBEAC72°， EAMEMA72°， EAEM【點(diǎn)評】輔助圓是特殊的輔助線，一般用得很少，當(dāng)有共圓條件時可

6、作出輔助圓后利用圓的特殊性去解決直線型的問題要證ACED和MEAE，都可用角的關(guān)系去證，而假如作出正五邊形的外接圓，那么用圓中角的關(guān)系去證比較容易例2.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于O，E為DC的中點(diǎn)，直線BE交O于點(diǎn)F，假設(shè)O的半徑為2，那么BF的長為 【答案】.【解析】解：連接BD，DF，過點(diǎn)C作CNBF于點(diǎn)F，正方形ABCD內(nèi)接于O，O的半徑為2，BD=22，AD=AB=BC=CD=2，E為DC的中點(diǎn)，CE=1，BE=5，CN×BE=EC×BC，CN×5=2，CN=25/5，BN=45/5，EN=BEBN=5/5，BD為O的直徑，BFD=90°，CEN

7、DEF，EF=EN，BF=BE+EF=65/5，故答案為65/5【點(diǎn)評】此題主要考察了正多邊形和圓以及勾股定理以及三角形面積等知識，根據(jù)圓周角定理得出正多邊形邊長是解題關(guān)鍵舉一反三：【變式】同一個圓的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形的周長的比等于A3：4 B：2 C2： D1：2【答案】B；【解析】設(shè)圓的半徑為1，如圖1，連接OA、OB過O作OGAB；六邊形ABCDE為正六邊形，AOB=60°；OA=OB，OGAB，AOG=30°，AG=OAsin30°=1×0.5=0.5，或由勾股定理求AB=2AG=2×0.5=1，C六邊形ABCD=6AB=6如圖

8、2連接OA、OB過O作OGAB；六邊形ABCDE為正六邊形，AOB=60°，OA=OB，OFAB，AOF=30°，AG=OGtan30°=，或由勾股定理求AB=2AG=2×=，C六邊形ABCD=6AB=6×=4cm圓的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形的周長的比=6：4=：2類型二、正多邊形和圓的有關(guān)計算例3.如圖，AG是正八邊形ABCDEFGH的一條對角線1在剩余的頂點(diǎn)B、C、D、E、F、H中，連接兩個頂點(diǎn)，使連接的線段與AG平行，并說明理由；2兩邊延長AB、CD、EF、GH，使延長線分別交于點(diǎn)P、Q、M、N，假設(shè)AB=2，求四邊形PQMN的面積【答

9、案與解析】解：1連接BF，那么有BFAG理由如下：ABCDEFGH是正八邊形，它的內(nèi)角都為135°又HA=HG，1=22.5°，從而2=135°1=112.5°由于正八邊形ABCDEFGH關(guān)于直線BF對稱，即2+3=180°，故BFAG2根據(jù)題設(shè)可知PHA=PAH=45°，P=90°，同理可得Q=M=90°，四邊形PQMN是矩形又PHA=PAH=QBC=QCB=MDE=MED=45°，AH=BC=DE，PAHQCBMDE，PA=QB=QC=MD即PQ=QM，故四邊形PQMN是正方形在RtPAH中，PAH=

10、45°，AH=2，PA=【點(diǎn)評】此題主要考察了正多邊形和圓以及全等三角形的斷定與性質(zhì)等知識，得出PQ的長是解題關(guān)鍵例4. 如圖1所示，圓內(nèi)接ABC中，ABBCCA，OD、OE為O的半徑，ODBC于點(diǎn)F，OEAC于點(diǎn)G，求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是ABC的面積的其實(shí),任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會“活用。不記住那些根底知識,怎么會向高層次進(jìn)軍?尤其是語文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正進(jìn)步學(xué)生的寫作程度,單靠分析文章的寫作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從根底知識抓起,每天擠一點(diǎn)時間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。這樣,就會在有限的時

11、間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的成效。 圖1 【答案與解析】1連OA、OB、OC，如圖2所示， 圖2 那么OAOBOC，又ABBCCA OABOBCOCA，又ODBC于F，OEAC于G，由垂徑定理得AGAC，F(xiàn)CBC， AGCF RtAOGRtCOF【點(diǎn)評】首先連接OC，根據(jù)垂徑定理的知識，易證得RtOCGRtOCF，設(shè)OG=a，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)與等邊三角形的知識，即可求得陰影部分四邊形OFCG的面積與ABC的面積，繼而求得答案舉一反三：【變式】如以下圖，假設(shè)DOE保持120°角度不變，求證：當(dāng)DOE繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時，由兩條半

12、徑和ABC的兩條邊圍成的圖形，圖中陰影部分的面積始終是ABC的面積的【答案】連接OA、OB、OC，由1知OABOBCOCA 12設(shè)OD交BC于F，OE交AC于G，那么AOC3+4120°，DOE5+4120°， 35在OAG和OCF中， OAGOCF課堂小結(jié)：正多邊形的有關(guān)概念、正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系作業(yè)：導(dǎo)學(xué)案老師范讀的是閱讀教學(xué)中不可缺少的部分，我常采用范讀，讓幼兒學(xué)習(xí)、模擬。如領(lǐng)讀，我讀一句，讓幼兒讀一句，邊讀邊記；第二通讀，我大聲讀，我大聲讀，幼兒小聲讀，邊學(xué)邊仿；第三賞讀，我借用錄好配朗讀磁帶，一邊放錄音，一邊幼兒反復(fù)傾聽，在反復(fù)傾聽中體驗(yàn)、

13、品味。課本、報刊雜志中的成語、名言警句等俯首皆是,但學(xué)生寫作文運(yùn)用到文章中的甚少,即使運(yùn)用也很難做到恰如其分。為什么?還是沒有徹底“記死的緣故。要解決這個問題,方法很簡單,每天花3-5分鐘左右的時間記一條成語、一那么名言警句即可?？梢詫懺诤蠛诎宓摹胺e累專欄上每日一換,可以在每天課前的3分鐘讓學(xué)生輪流講解,也可讓學(xué)生個人搜集,每天往筆記本上抄寫,老師定期檢查等等。這樣,一年就可記300多條成語、300多那么名言警句,日積月累,終究會成為一筆不小的財富。這些成語典故“貯藏在學(xué)生腦中,自然會出口成章,寫作時便會隨心所欲地“提取出來,使文章增色添輝。唐宋或更早之前，針對“經(jīng)學(xué)“律學(xué)“算學(xué)和“書學(xué)各科目，其相應(yīng)傳授者稱為“博士，這與當(dāng)今“博士含義已經(jīng)相去甚遠(yuǎn)。而對那些特別講授“武事或講解“經(jīng)籍者，又稱“講師?！敖淌诤?/p>