函數(shù)最值的求解方法例析

1、函數(shù)最值的求解方法例析江蘇 孫玉蓉函數(shù)的最值是函數(shù)在定義域內(nèi)對應(yīng)的函數(shù)值中的最大值或最小值因此，求解函數(shù)的 最值時要把定義域內(nèi)對應(yīng)的一切極值和端點處函數(shù)值加以比較得到，或是函數(shù)的值域中的端點值.在高考中以求解函數(shù)的最值為主要的考點，帶動函數(shù)的值域等相關(guān)問題的求解.下面結(jié)合實例，就求解函數(shù)的最值以及值域問題中的常用的方法加以剖析.1 .觀察法該方法適用自變量x只出現(xiàn)一次的函數(shù)，注意結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性.例1 .求函數(shù)y - x - 1的值域.解析：由于 x _ 0，那么 x 1-1，所以函數(shù)的值域為：).評注：對于一些簡單的函數(shù)，可通過定義域及對應(yīng)法那么，用觀察的方法來直觀確定函 數(shù)的值域.此題算術(shù)

2、平方根具有雙重非負(fù)性，即被開方數(shù)的非負(fù)性、值的非負(fù)性.2 .配方法該方法適用二次型函數(shù) y =af2(x) bf(x) c(a =0)，注意自變量x的取值及二次函數(shù)對應(yīng)的圖象對函數(shù)的最值的影響，有時直接利用二次函數(shù)的最值4ac -b2加以求解.4a例2 .求函數(shù)y = x2 -4x 6 , x 1,5的值域.解析：將函數(shù)配方得2 2y = x -4x 6 = (x -2)2，又t x函數(shù)y的對稱軸為x= 2,如下列圖，易知當(dāng) x = 5時，y= 11,當(dāng)y= 2，二函數(shù)y的值域為y|2y11.評注：這是個求關(guān)于二次函數(shù)在其給定的定義域范圍內(nèi)的值域問題， 可用配分法結(jié)合二次函數(shù)的圖象來求解.要用

3、配方法解決有關(guān)二次函數(shù)型 問題的值域或最值問題，有時要結(jié)合給定的定義域，有時要挖掘?qū)?yīng)的隱 含條件，根據(jù)二次函數(shù)的圖形加以正確處理與判斷.3 .反函數(shù)法ax + b該方法適用一次分式型的函數(shù)y(ac = 0).利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域ex +d與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域.例3.求函數(shù)y = a一 (a b 0, -1乞x空1)的值域.a bx解析：由原式可得 X = a(y ")，而一1空X乞1，貝y _1乞a(y 1)乞1,b(y+1)b(y+1)由于a b 0，解得a b乞y乞a b，所以函數(shù)的值域為，乞亠.a +b a -ba +b a - b

4、評注：利用反函數(shù)法求解函數(shù)的值域或最值問題時，如果題目直接給出相應(yīng)的定義域，可以直接應(yīng)用，否那么要先判斷原函數(shù)的定義域問題，再加以處理.4 .判別式法該方法適用二次分式型的函數(shù)討二aX2 bX c ( 0)，注意檢驗所求最值在定義mx 十nx+ p域內(nèi)是否有相應(yīng) x的值，還要注意對二次項系數(shù)是否為零的討論.2例4 .求函數(shù)的值域.x 4x 1x21解析：由原函數(shù)整理可得：(1 - y)x2 4x 1 - y = 0,(1 )當(dāng) 1 -y=0 ,即 y=1 時，x = 0 ；(2 )當(dāng) 1 -y = 0,即 y = 1 時，那么有厶=164(1 - y)2 _0 , 即 卩(1 一 y)2 乞

5、4 ,解得 一1 _ y _3，即 一1 _ y _3且 y =1;所以綜上(1)和(2)可知：所求函數(shù)的值域為1-1,31.評注：此法是利用方程思想來處理函數(shù)問題，判別式法一般用于分式函數(shù)，其分子或 分母只能為二次式解題中要注意二次項系數(shù)是否為0的分類討論.5換元法該方法適用一次無理式型的函數(shù)y二. ax b (cx d)(ac = 0),注意所換元的新變量的取值范圍.15 -12例5 .求函數(shù)y = 2x5 1154x的最值.15 -t2解析：令t = . 15 - 4x亠0，貝U x-5 t=t2 t 5 =丿化 _1)23,2 2 2所以當(dāng)t =1，即X = 7，此時y取最大值3,即所

6、求函數(shù)的最大值為 3.2評注：此題中的函數(shù)由于含有根號，不便于求最值，可采用換元法去掉根號，轉(zhuǎn)化成 二次函數(shù)再求對應(yīng)的最值問題利用換元法求值域或最值問題時，一定要注意確定換元法 后變元的取值范圍，在此題中首先確定 t _0 ,否那么就容易造成錯解.6 幾何法(或數(shù)形結(jié)合法、圖象法)該方法適用較容易地與幾何圖形聯(lián)系的函數(shù)，以圖形與圖形之間的位置關(guān)系和直線的 斜率為主此題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，假設(shè)運用數(shù)形結(jié)合法，往往會更 加簡單，一目了然，賞心悅目.例6 求函數(shù)y =|x 1| |x - 2|的最值.-2x 1f(x)=32x1解析：將函數(shù)的解析式中的絕對值符號去掉，化成分段函數(shù)：

7、(x1)(-r： x : 2)，該函數(shù)圖象如下列圖，那么根據(jù)圖象可(x-2)知函數(shù)y的最小值為3.評注：此類問題結(jié)合函數(shù)的圖形，通過數(shù)形結(jié)合可以非常直觀明了地判斷對應(yīng)的最值 問題.其實，該題也可以直接利用含有絕對值的不等式定理| a | - |b |_| a _ b|a | | b |加以直接求解最小值.7 不等式法k該方法適用利用根本不等式，尤其注意形如y =x (k 0)型函數(shù)，解析式能運用x根本不等式的函數(shù)，注意根本不等式成立的條件“一正、二定、三相等2x? x +1例7 求函數(shù)y= (x 1)的值域.X1解析:由于x 1，即x -1 .0,那么y =22x2 - x 1x -12= 2

8、(x -1)3 _43 = 7 x1當(dāng)且僅當(dāng)2(x-1)=，即x=2時取得“號，即函數(shù)的值域為7, ： x Tk評注：對函數(shù)進行變形化簡，轉(zhuǎn)化為y = x (k 0)的形式，結(jié)合根本不等式加以x求解值域問題在利用不等式法求解函數(shù)的值域或最值問題中，經(jīng)常用到根本不等式、含 絕對值的不等式定理以及不等式的相關(guān)性質(zhì)、定理等來處理，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為適用對應(yīng)不等 式形式，以及利用不等式法時的前提條件.8 求導(dǎo)法該方法適用一些易于求導(dǎo)的函數(shù)，一般函數(shù)式中有高次因式(大于等于三次)或?qū)?shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出極大值、極小值，再確定最值.例8 求函數(shù)f(x) =1 n(1 - x) - x2在0,2 1上的最大值和最小

9、值.41 1解析：函數(shù)f (x)的定義域為？-1,亠i,又f (x)=x ,1 + x 21 1令f (x)x =0，那么化簡整理可得：x =1或x = -2 (舍去)，1+x 2因此，當(dāng) 0沁：1 時，f (x)0 , f(x)單調(diào)增加；當(dāng) 1：x乞 2 時，f (x) :：: 0 , f(x)1單調(diào)減少；所以 f (1) =ln 2 為函數(shù)f(x)的極大值，4又 f(0) =0, f =l n3 -10 ,f(1) f (2),所以f(0) =0為函數(shù)f (x)在0,2上的最小值，f(1)=l n2 -為函數(shù)f (x)在 0,2】4上的最大值.評注：直接判斷含有對數(shù)式的函數(shù)的最值問題比較難

10、下手，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，通過判斷導(dǎo)數(shù) 值的正負(fù)問題，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決最值問題利用導(dǎo)數(shù)方法可以用來處理高次函數(shù) (大于等于三次)、分式函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)等比較復(fù)雜的函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是正確處理 導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性等來處理最值或值域問題.9. 函數(shù)有界性法該方法適用一些特殊的函數(shù)求值，比方三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)等，利用一些特定函數(shù)的 有界性加以分析與轉(zhuǎn)化來到達求解的目的.ex -1例9 .求函數(shù)y=的值域.ex +1解析：由原函數(shù)式可得：ex = -1，幕ex > 0，a y1 > 0，y Ty T解得一1 v y v 1，故所求函數(shù)的值域為(一 1，1).評注：直接求函數(shù)的值域困難時，

11、可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，反客為主來確定函 數(shù)的值域.此種方法在求三角函數(shù)最值中經(jīng)常使用.10. 別離變量法在處理一些分式函數(shù)求解最值問題中，經(jīng)常采用別離變量法，通過直接拆分分母或者 配湊、換元等手段分解分式函數(shù)，直接求最值或者借助均值不等式等求解.3x +1例10.求函數(shù)y =込的值域.x 23x 1 3(x -2)77解析：由于y3 x-2x-2x-2.7.70，33 ,x -2x _23x +1 函數(shù)y =的值域為y R | y = 3.x -2評注：別離常量法往往是處理分式函數(shù)求最值的問題的努力方向，它通過變形與轉(zhuǎn)化,利用分式的特點加以分析與求解相應(yīng)的最值或值域問題.11. 降次轉(zhuǎn)化法在處理含有高次(三次或三次以上)的函數(shù)關(guān)系式時，往往采用降次轉(zhuǎn)化思維，把高 次關(guān)系式加以降次，轉(zhuǎn)化為常用的一次或二次的函數(shù)關(guān)系式，再利用相應(yīng)的方法加以處理.例11 .函數(shù)f (x)=3x -x(x2 1)2的值域是3x x解析：.f (x) = 2 -T，當(dāng) x=0 時，f (x) =0 ；(x2 +1)2當(dāng)xMO時,f ( x)(x2 1)2Xz *1 2 (x )xX(x-1)24x1t11令 t =x -一，代入上式得 g (t