吉林大學(xué)考研數(shù)學(xué)分析高等代數(shù)

1、吉林大學(xué)2006年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題數(shù)學(xué)分析卷、共30分判斷題21假設(shè)函數(shù)f x在a, b上Riemann可積，貝U f x 在a,b也Riemann可積;2、 假設(shè)級(jí)數(shù)an收斂，那么級(jí)數(shù) an也收斂；n 1n 13、任何單調(diào)數(shù)列必有極限；n4、 數(shù)列 1的上、下極限都存在；5、區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)必能到達(dá)最小值；6、sin x在整個(gè)實(shí)軸上是一致連續(xù)的；7、 假設(shè)函數(shù)f x, y沿著任何過(guò)原點(diǎn)的直線連續(xù)，那么f x,y在0,0連續(xù)；假設(shè)函數(shù)f x在點(diǎn)x取極小值，那么f冷9、假設(shè) f x00 , fxd0 ,那么f X在點(diǎn)x取極大值;210、向量場(chǎng) x2 2y ,y2 2z ,z2

2、x是無(wú)源場(chǎng)。二、共20分填空題1、設(shè)sin x y，貝U grad u2、設(shè)x y, y3、設(shè)x yz,yzx, zxy ,貝 y rot F4、設(shè)s表示單位球面2 2 2x y z 1，那么第一型曲面積分x2dssn2 15、數(shù)列 1 n廠 的下極限為；n三、共20分計(jì)算以下極限1n1、nim2006 ；k 1 k2、1 3x ；3、1lim n n 20061n 20074、1n.1 xlim2n 01 x xdx。四、共20分判斷以下級(jí)數(shù)的斂散性1、n2006n；1 2007n 2005n ；2、nUn，其中U 0罟k,n1,2,L五、10分設(shè)函數(shù)f x在0,1兩次連續(xù)可微，滿足 f 0

3、x dx 0 。證明：存在 0,1使得f0。六、10分計(jì)算第二型曲線積分3x3x2 4y2dx4y3x2 4y2dy其中C為單位圓周x2 y21,方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较?。七?0分證明，對(duì)任意x 0,都有3x sin x x6八、10分設(shè)，,a,b均為常數(shù)，且對(duì)任意 x都有x sin x ax b證明：a b 0九、10分證明，不存在 0,上的正的可微函數(shù) f x，滿足f x f x 0十、10分試構(gòu)造區(qū)間 0,1上的函數(shù)序列 fn x ，具有如下性質(zhì):1對(duì)每個(gè)n， fn x是0,1上的正的連續(xù)函數(shù);2對(duì)每個(gè)固定的x 0,1 , lim fn x 0 ；3 limfn x dxn 0 n高等代數(shù)與空

4、間解析幾何卷-、共32分填空1、平面上的四個(gè)點(diǎn),yi i 1,2,3,4在同一個(gè)圓上的充要條件為。要求用含有x，yi的等式表示；2、設(shè)方陣A只與自己相似，貝y A必為a1biC13、設(shè)Aa2b2c2為可逆矩陣，那么直線Xyz與直線a?b 1b?c?a3bsC3xyz的位置關(guān)系為。要求填寫(xiě)相交、平行、重合、異面四者a2a3b2b3C2C3之一；4、設(shè)A1 ,2 ,3,4為四階正方矩陣，其中1,2,3,4均為四維列向量；12 24，123 3，且 2 ,3,4線性無(wú)關(guān)。求線性方程組 AX的通解 ? ， 2 2 2二、16分求二次曲面 2x y z 4xz 2x 4y 6z 120的主方向;三、17

5、分設(shè)V為n維歐式空間，5,氏丄,Un與V1,V2丄,Vn為V中向量，5,上丄，山線 性無(wú)關(guān)，且對(duì)任意的i,j i, j 1,2,L ,n均有55 vy。證明，必有V上的正交變換 使得UiVi i 1,2,L ,n四、17分設(shè)V為數(shù)域 上的n維向量空間， ，均為V上的線性變換，且滿足0。證明：五、17分設(shè)A為實(shí)對(duì)稱矩陣，證明，必有實(shí)對(duì)稱矩陣B，使得A B為正定矩陣。六、17分設(shè)V為數(shù)域 上的2n維向量空間，為V上的線性變換，且Ker證明，存在V的一個(gè)適當(dāng)基底及 Jordan形矩陣A，使得在該基底下恰好對(duì)應(yīng)矩陣A。七、17分設(shè)V為實(shí)數(shù)域上的全體 n階方陣在通常的運(yùn)算下所構(gòu)成的向量空間， 的線性變換，且對(duì)任意的 A， A At。1、求的特征值；2、對(duì)于每一個(gè)特征值，求其特征子空間；3、證明V恰為 的所有特征子空間的直接和。