建模與課件5初等模型

1、初等模型（2）一、錄象機計數(shù)器的用途二、優(yōu)秀成果評選公平性問題三、生小兔問題四、動物繁殖的規(guī)律五、棋子顏色的變化1、問題的提出老式錄象機或一些機上有計數(shù)器，而沒有計時器。因而問題產生：一盤180分鐘的帶子，計數(shù)器從0000變到6061。當帶子用到4450時，剩下的帶子可否錄下一個小時的。問題所在：錄象帶讀數(shù)并非隨時間而均勻增長，是先快后慢。要建立的模型：計數(shù)器讀數(shù)與錄象帶轉過的時間之間的關系。2、問題分析讀數(shù)的增長為何先快后慢計數(shù)器右左r主動輪轉速不變建立模型：t = f ( n )3、模型假設（1）錄象帶的線速度是常數(shù)v（2）計數(shù)器讀數(shù)n 與右正比，即m = k n轉的圈數(shù)（m ）成（3）錄

2、象帶的厚度（加兩帶間的空隙）是常數(shù)w（4）空右半徑為r，初始時刻：t=0時n=0幾個角度建立模型！4、模型的建立方法一、錄象帶轉過的長度左所有圈數(shù)的長度=må 2p (r + wi)i=1其中m為圈數(shù)，則m=kn=vt（1）2prkpwk 2kwp2prkpwk 2模型：t = (n +n ) +2n »n +2（2）nvvvvvw相對r較小，忽略該項4、模型的建立方法二、=左面積增加錄象帶轉過的長度與厚度的乘積p (r + wkn)2 - r 2 = w (vt)（3）4、模型的建立設t = f ( n )方法三、微法考慮從第n到第n+n圈（此時第n+1圈未走完)因此：讀

3、數(shù)器為n時Dt = f (n + Dn) - f (n)kn= 2p (kn +1)w*(kDn)v即 dt = 2pkw(kn +1) , 且t(0) = 0dnv第kn圈2prkpwk 2因此： t =n +2nvv5、參數(shù)估計2prkpwk 2記t =n +2nvvba問題：測試一組數(shù)據(jù)估計：t = a n + b n初等模型（2）一、錄象機計數(shù)器的用途二、優(yōu)秀成果評選公平性問題三、生小兔問題三、動物繁殖的規(guī)律四、棋子顏色的變化二、優(yōu)秀成果評選公平性問題1、問題：設有N個評委組成的評選委員會，有M項研究成果，評委會要從中選m<M 項優(yōu)秀成果，但有些評委是某些成果的完成者，應如何處理

4、此問題才是公平的？方案一：按得票多少排序方案二：評委不參加對按得票率排隊的成果投票，再方案（2）是否公平分析設某成果涉及C個評委，他們回避后該項成果得p(NC)票。（1）回避得票率pr ( p) =1N - C（2）不回避得票率p + Cr ( p) =2N方案（2）還是？除p=NC外，對每個p，均有r 1 ( p ) < r2 ( p )r1r2CNr1p0NC應采用折中方案度量得票多少的函數(shù)q ( p )應滿足如下條件：（1） q ( p )是p的單調增函數(shù)（2）r 1 ( p ) < q ( p ) < r 2 ( p ) ，0 < p < N C（3）q

5、( 0 ) = 0，q ( N C ) = 1一個簡單實用公平的度量函數(shù)p(N + C)q( p) =r ( p)r ( p) =12)還有嗎？初等模型（2）一、錄象機計數(shù)器的用途二、優(yōu)秀成果評選公平性問題三、生小兔問題四、動物繁殖的規(guī)律五、棋子顏色的變化三、生小兔問題1、問題：兔子出生以后兩就能生小兔，如果每月生一次且恰好生一對小兔，且出生的兔子都成活，試問一年以后共有多少對兔子，兩年后有多少對兔子?注：這是13世紀意大利比薩的一位叫，為那契(Fibonacd，11701250)的數(shù)學家，在一本題為算盤書的數(shù)學著作中，提出的一個有趣的問題。2、圖示3、問題分析第一第二第三第四：只有一對小兔。

6、：小兔子末成熟生殖，仍只一對，；這對兔子生了一對小免，共有兩對。：老兔子又生了一對小免，而上月出 生的小免還未成熟，這時共有三對。4、問題分析與模型建立記r i 表示第i（1） r 1 = 1的兔子數(shù)（2） r= 12（3）規(guī)律：2年后兔子的對數(shù)：750255、Fibonacd數(shù)列的性質6、 Fibonacd數(shù)列的廣泛應用1、一本專門研究它的雜志(Fibonacci Quarterly)于1963年開始國還專門設立了Fibonacci數(shù)委員會。那契季刊，在美2、上世紀50年代出現(xiàn)的“優(yōu)選法”中，也有契數(shù)列的巧妙應用。那3、那契數(shù)列不只是在生小免問題中才會遇到，它也出現(xiàn)在自然界、生活中，如植物的

7、葉序、菠蘿的鱗片、樹枝的生長、蜜蜂進蜂房的路線、鋼琴鍵盤等初等模型（2）一、錄象機計數(shù)器的用途二、優(yōu)秀成果評選公平性問題三、生小兔問題四、動物繁殖的規(guī)律五、棋子顏色的變化四、動物繁殖的規(guī)律1、問題：為15歲，按某動物的最大分三組：（1）05歲第（2）（2）610歲（3）1115歲。從組后開始繁殖。第（2）組平均繁殖4個，第（3）組平均繁殖3個。第（1）（2）組分別進入下一組的存活率為0.5，0.25?，F(xiàn)設三個組的數(shù)量分別為1000，問：5年、10年、15年后各段動物數(shù)量，并且20年后各段動物數(shù)量又如何？2、問題分析設：以5年為1段，t為時間段，各段的數(shù)量為： X(t)= xxx( t) /1

8、(t)2 (t)3初始時刻的數(shù)量：X(0)= xxx(0t) /=1000 1000 1000/1 (0)2 (0)3第1段則：(t ) 3(1)第2段(2)x(t) = 0.5x(t)21第3段(3)x(t) = 0.25x(t)323、模型3ùté 03ùé 044(0)êë00úûêë00úû0.250.254、求解5年、10年及15年數(shù)量5年10年年20年第1段700027508125第2段50035007187.5第3段250125875343.85、思考？（1）當

9、有足夠大的時間t時，模型有什么規(guī)律？（代數(shù)性質）（2）如果每5年平均向市場供應動物數(shù)是：c = s s s /，問動物不在下，c應取多少？的前提（3）在動物不在的前提下，每5年應使得20年內向市場供應的數(shù)如何量最大？初等模型（2）一、錄象機計數(shù)器的用途二、優(yōu)秀成果評選公平性問題三、生小兔問題四、動物繁殖的規(guī)律五、棋子顏色的變化五、棋子顏色的變化1、問題：任意拿出黑白兩種顏色的棋子共8個，排成如下圖所示的圓圓，然后在兩顆顏色相同的棋子中間放一顆黑色棋子，在兩顏色不同的棋子中間放一顆白色棋子，放完后撤掉原來所放的棋子。再重復以上的過程，問這樣重復進行下去各棋子的顏色會怎樣變化呢?2、最終結論是什么

10、？可完全用數(shù)學的推理方法說明最多經過8次變換，各棋子的顏色都會變黑。3、分析注意：規(guī)則是兩同色的棋子中間加黑色棋子，兩異色的棋子中間加白色棋子，即黑黑得黑，白黑，黑白，與有理數(shù)符號規(guī)則類似。方法：用+1表爾黑色，用l表示白色，開始擺的八顆棋子記為a1，a2，.，a8，并且a k+1或-1， k1，2，8，下一次在al與a2中間擺的棋子的顏色由a1和a2是同色還是異色而定。類似的a k a k+1正好給出了所放棋子的顏色。4、符號運算規(guī)則規(guī)則：黑黑得黑，白黑，黑白引入記號，則：(1) (1)()= (1) (1)()= (1) (1)5、各次顏色的確定可見：最多經過8次變換以后，各個數(shù)成丁+1，

11、這意味著所有棋子都是黑色，且以后重復上述過程，顏色也就不再變化了。小組討論題d4-01：跑步與走路時如何節(jié)省能量我們每個人都有跑步的經歷，有人會因此而疲憊，但是有誰會想：怎樣跑步能使我們消耗的能量最少?結束！對非評委的研究成果的完成者，因為評委對能性最大。完成的成果投贊成票的可（1）規(guī)律：當時間t足夠大時，滿足：X (k +1)= lX（其中l(wèi)為唯一正特征根）(k )l？如命令：特征值命令：d=eig(A) 求正數(shù): i,j=find(d>0)（2）如何取c值？由于：X (1)X (3)= AX (0)= AX ( 2)- c，- c，X ( 2)X ( 4)= AX (1)= AX (3)- c，- c，故： ìX ( 4)í= A4 X (0)> 0- ( A3 + A2 + A + I )c( 4)Xî即：( A3 + A2 + A + I )c < A4 X (0)求不等式解：c=152 152 152（3）如何使數(shù)量最大？設c= c1 c 2 c 3 c 4為每個5年的供應量，則：c1 + c2 + c3 + c4maxìAX ( 0