題型分類匯編四證明題

1、題型五、證明題：(一)準則I （夾逼準則）：如果數(shù)列及滿足下列條件:（1）; （2）那末數(shù)列的極限存在, 且 思路提示：1）利用夾逼準則求極限，關鍵是構造出與, 并且與的極限相同且容易求.2）一般通過放大或縮小分母來找出兩邊數(shù)列的通項（右邊取分母最小，左邊取分母最大）例題1. 證明.例題2. 證明.(二)準則II（單調有界準則）：單調有界數(shù)列必有極限.思路提示：1）直接對通項進行分析或用數(shù)學歸綱法驗證數(shù)列單調有界；2）設的極限存在，記為，代入給定的的表達式中，則該式變?yōu)榈拇鷶?shù)方程，解之即得該數(shù)列的極限.例題3. 設，證明數(shù)列的極限存在，并求此極限.例題4. 已知數(shù)列中的每一項都是正的，并且，證

2、明數(shù)列 是單調的，并證明.(三)方程根的存在性證明1. 利用零點定理證明零點定理：設函數(shù)在內連續(xù)，且，則在內至少存在一點，使思路提示：（命題的證明步驟）1）構造輔助函數(shù)：先把結論中的改寫成；移項，使等式右邊為零，令左邊的式子為；2）驗證在內連續(xù)；3）驗證4）由定理：至少存在一點，使。5）若要證明在內有且僅有一根，則還需證明此函數(shù)在內單調；或證明一元次方程至多只有一個實根.例題5. 設在上連續(xù)，且有，證明在內至少存在一點，使.例題6. 證明在內至少存在一根.例題7. 若在上連續(xù)，且，則方程至少有一實根.例題8. 證明方程在有且僅有一個實根.例題9. 證明方程至少有一個不超過的正根.例題10. 證

3、明方程有且僅有兩個實根.2. 利用羅爾定理羅爾定理：如果函數(shù)滿足：在連續(xù)，在可導，則在內至少一點，使得（即在該點有平行于軸的切線存在）思路提示：1）輔助函數(shù)的作法：（以拉格朗日中值定理為例） 分析：， 令，并移項，得； 令2）驗證在內連續(xù)；在內可導；3）驗證4）由定理：至少存在一點，使.例題11. 設在上連續(xù)，在內二階可導，且，試證：至少存在一個，使得.例題12. 設在上可導，且有，證明至少存在一點內，使.例題13. 函數(shù)在上連續(xù)，證明至少存在一點，使得.3. 利用拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：如果函數(shù)在內連續(xù)，在內可導，則在內至少存在一點，使思路提示：1）輔助函數(shù)的作法：（以拉格朗日中值

4、定理為例） 分析：， 令，并移項，得； 令2）驗證滿足定理存在條件例題14. 設在上連續(xù)，在內可導，且，試證：至少存在一個，使.例題15. 設在上連續(xù)，在內可導，且，證明至少存在一個，使得.例題16. 設在上可導，且滿足關系式，證明：在內至少存在一個，使.例題17. 設在上連續(xù)，在內可導，證明：在內至少存在一個，使.(四) 等式及不等式的證明1恒等式的證明（）方法歸納：1）構造輔助函數(shù)；2）證明；3），有例題18. 求證：當時，有.2. 不等式的證明方法歸納：1）利用單調性解題步驟：移項（有時需作簡單的恒等變形），使不等式的一端為0，另一端即為所作輔助函數(shù)；求并驗證在指定區(qū)間的增減性；求出區(qū)間

5、端點的函數(shù)值（或極限值），作比較即得所證.例題19. 設時，證明.例題20. 當時，證明.2）利用拉格朗日中值定理證明該法適用于經(jīng)過簡單變形，不等式一端可寫成或情形.證題步驟：在上構造函數(shù)或，選取與的原則應該是，使恰為不等式中間的項。寫出微分中值定理公式或根據(jù)題意對或進行適當?shù)目s放。注：利用中值定理證明的關鍵是構造函數(shù)和確定區(qū)間.例題21. 設時，有.例題22. 證明：當時，有.不等式證明總結： 1）一般而言，夾在中間函數(shù)為同一類型時，其證明可用拉格朗日定理，否則用單調性更為方便.2）若不等式中只有一個變量，可用單調性或中值定理，若含有兩個變量，只能用中值定理.3定積分的證明（換元）1）定積分

6、不等式的證明思路提示：若僅告知被知函數(shù)連續(xù)，一般需作輔助函數(shù)：將積分上限或下限換成，式中其余相同的字母也換成，移項使一端為0，則另一端的表達式即為，求出，并判別它的單調性，再求出 在積分區(qū)間的端點值，從而得出不等式的證明.例題23. 設在連續(xù)，對任意的，證明：.例題24. 設在上連續(xù)，且嚴格遞增，證明.例題25. 設在上可導，且，證明.例題26. 在上連續(xù)，在內可導，且證明：在內至少存在一點，使.2）定積分等式的證明定積分等式的證法常有：換元法，分部積分法，構造函數(shù)法、中值定理等.例題27. 設連續(xù)，證明.例題28. 設連續(xù)，證明.例題29. 證明.例題30. 設在內連續(xù)，且，證明：1）若為偶

7、函數(shù)，則也為偶函數(shù)； 2）若單調不減，則單調不增.4. 利用二重積分證明等式與不等式1）定積分等式的證明交換積分次序即可例題31. 證明：.2）定積分不等式的證明：思路提示：當題設條件中告知被積函數(shù)減少或增加時，并沒有指明是否可導，且積分區(qū)間相同時，將命題化為差式利用變量的對稱式化為二重積分來進行證明.例題32. 設在上連續(xù)且單調增加，求證：.例題33. 設函數(shù)為上的單調減少且大于0的連續(xù)函數(shù)，求證：.5. 利用格林公式驗證積分與路徑無關思路提示：設開區(qū)域G是一個單連通域，函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在G內具有一階連續(xù)偏導數(shù), 則曲線積分在G內與路徑無關（或沿G內任意閉曲線的曲線積分為零

8、）的充分必要條件是等式 在G內恒成立.例題34. 驗證曲線積分與路徑無關.例題35. 驗證曲線積分與路徑無關.例題36. 驗證曲線積分與路徑無關.附錄：2010年2013年山東專升本高等數(shù)學(公共課)考試要求：2010年山東省普通高等教育專升本高等數(shù)學（公共課）考試要求總要求：考生應了解或理解“高等數(shù)學”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學、一元函數(shù)積分學、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學、無窮級數(shù)、常微分方程的基本概念與基本理論；學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應注意各部分知識的結構及知識的內在聯(lián)系；應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力；有運用基本概

9、念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準確地計算；能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。一、函數(shù)、極限和連續(xù)（一）函數(shù)（1）理解函數(shù)的概念：函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法，分段函數(shù)。（2）理解和掌握函數(shù)的簡單性質：單調性，奇偶性，有界性，周期性。（3）了解反函數(shù)：反函數(shù)的定義，反函數(shù)的圖象。（4）掌握函數(shù)的四則運算與復合運算。（5）理解和掌握基本初等函數(shù)：冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)。（6）了解初等函數(shù)的概念。（二）極限（1）理解數(shù)列極限的概念：數(shù)列，數(shù)列極限的定義，能根據(jù)極限概念分析函數(shù)的變化趨勢。會求函數(shù)在一點處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。

10、（2）了解數(shù)列極限的性質：唯一性，有界性，四則運算定理，夾逼定理，單調有界數(shù)列，極限存在定理，掌握極限的四則運算法則。（3）理解函數(shù)極限的概念：函數(shù)在一點處極限的定義，左、右極限及其與極限的關系，x趨于無窮（x，x ，x-）時函數(shù)的極限。（4）掌握函數(shù)極限的定理：唯一性定理，夾逼定理，四則運算定理。（5）理解無窮小量和無窮大量：無窮小量與無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的關系，無窮小量與無窮大量的性質，兩個無窮小量階的比較。（6）熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。（三）連續(xù)（1）理解函數(shù)連續(xù)的概念：函數(shù)在一點連續(xù)的定義，左連續(xù)和右連續(xù)，函數(shù)在一點連續(xù)的充分必要條件，函數(shù)的間斷點及其分類。（

11、2）掌握函數(shù)在一點處連續(xù)的性質：連續(xù)函數(shù)的四則運算，復合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性，會求函數(shù)的間斷點及確定其類型。（3）掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零點定理），會運用介值定理推證一些簡單命題。（4）理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會利用連續(xù)性求極限。二、一元函數(shù)微分學（一）導數(shù)與微分（1）理解導數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導性與連續(xù)性的關系，會用定義求函數(shù)在一點處的導數(shù)。（2）會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。（3）熟練掌握導數(shù)的基本公式、四則運算法則以及復合函數(shù)的求導方法。（4）掌握隱函數(shù)的求導法、對數(shù)求導法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求

12、導方法，會求分段函數(shù)的導數(shù)。（5）理解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導數(shù)。（6）理解函數(shù)的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導的關系，會求函數(shù)的一階微分。（二）中值定理及導數(shù)的應用（1）了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。（2）熟練掌握洛必達法則求“0/0”、“/”、“0”、“-”、“1”、“00”和“0”型未定式的極限方法。（3）掌握利用導數(shù)判定函數(shù)的單調性及求函數(shù)的單調增、減區(qū)間的方法，會利用函數(shù)的增減性證明簡單的不等式。（4）理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值和最大（?。┲档姆椒?，并且會解簡單的應用問題。（5）會判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。（6）會求曲線的水

13、平漸近線與垂直漸近線。三、一元函數(shù)積分學（一）不定積分（1）理解原函數(shù)與不定積分概念及其關系，掌握不定積分性質，了解原函數(shù)存在定理。（2）熟練掌握不定積分的基本公式。（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限于三角代換與簡單的根式代換）。（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。（二）定積分（1）理解定積分的概念與幾何意義，了解可積的條件。（2）掌握定積分的基本性質。（3）理解變上限的定積分是變上限的函數(shù)，掌握變上限定積分求導數(shù)的方法。（4）掌握牛頓萊布尼茨公式。（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法。（6）理解無窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計算方法。（7）掌握直角坐標系下用定積分計算平

14、面圖形的面積。四、向量代數(shù)與空間解析幾何（一）向量代數(shù)（1）理解向量的概念，掌握向量的坐標表示法，會求單位向量、方向余弦、向量在坐標軸上的投影。（2）掌握向量的線性運算、向量的數(shù)量積與向量積的計算方法。（3）掌握二向量平行、垂直的條件。（二）平面與直線（1）會求平面的點法式方程、一般式方程。會判定兩平面的垂直、平行。（2）會求點到平面的距離。（3）了解直線的一般式方程，會求直線的標準式方程、參數(shù)式方程。會判定兩直線平行、垂直。（4）會判定直線與平面間的關系（垂直、平行、直線在平面上）。五、多元函數(shù)微積分（一）多元函數(shù)微分學（1）了解多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義及二元函數(shù)的極值與連續(xù)概念（

15、對計算不作要求）。會求二元函數(shù)的定義域。（2）理解偏導數(shù)、全微分概念，知道全微分存在的必要條件與充分條件。（3）掌握二元函數(shù)的一、二階偏導數(shù)計算方法。（4）掌握復合函數(shù)一階偏導數(shù)的求法。（5）會求二元函數(shù)的全微分。（6）掌握由方程F（x，y，z）=0所確定的隱函數(shù)z=z（x，y）的一階偏導數(shù)的計算方法。（7）會求二元函數(shù)的無條件極值。（二）二重積分（1）理解二重積分的概念、性質及其幾何意義。（2）掌握二重積分在直角坐標系及極坐標系下的計算方法。六、無窮級數(shù)（一）數(shù)項級數(shù)（1）理解級數(shù)收斂、發(fā)散的概念。掌握級數(shù)收斂的必要條件，了解級數(shù)的基本性質。（2）掌握正項級數(shù)的比值數(shù)別法。會用正項級數(shù)的比較

16、判別法。（3）掌握幾何級數(shù)、調和級數(shù)與p級數(shù)的斂散性。（4）了解級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，會使用萊布尼茨判別法。（二）冪級數(shù)（1）了解冪級數(shù)的概念，收斂半徑，收斂區(qū)間。（2）了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內的基本性質（和、差、逐項求導與逐項積分）。（3）掌握求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間（不要求討論端點）的方法。七、常微分方程（一）一階微分方程（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。（2）掌握可分離變量方程的解法。（3）掌握一階線性方程的解法。（二）二階線性微分方程（1）了解二階線性微分方程解的結構。（2）掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。2011年山東省普通高等教

17、育專升本高等數(shù)學（公共課）考試要求總要求：考生應了解或理解“高等數(shù)學”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學、一元函數(shù)積分學、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學、無窮級數(shù)、常微分方程的基本概念與基本理論；學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應注意各部分知識的結構及知識的內在聯(lián)系；應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力；有運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準確地計算；能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。一、函數(shù)、極限和連續(xù)（一）函數(shù)（1）理解函數(shù)的概念：函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法，分段函數(shù)。（2）理解和掌握函數(shù)的簡單性質：單調性，奇偶性，有界性

18、，周期性。（3）了解反函數(shù)：反函數(shù)的定義，反函數(shù)的圖象。（4）掌握函數(shù)的四則運算與復合運算。（5）理解和掌握基本初等函數(shù)：冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)。（6）了解初等函數(shù)的概念。（二）極限（1）理解數(shù)列極限的概念：數(shù)列，數(shù)列極限的定義，能根據(jù)極限概念分析函數(shù)的變化趨勢。會求函數(shù)在一點處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。（2）了解數(shù)列極限的性質：唯一性，有界性，四則運算定理，夾逼定理，單調有界數(shù)列，極限存在定理，掌握極限的四則運算法則。（3）理解函數(shù)極限的概念：函數(shù)在一點處極限的定義，左、右極限及其與極限的關系，x趨于無窮（x，x+，x-）時函數(shù)的極限

19、。（4）掌握函數(shù)極限的定理：唯一性定理，夾逼定理，四則運算定理。（5）理解無窮小量和無窮大量：無窮小量與無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的關系，無窮小量與無窮大量的性質，兩個無窮小量階的比較。（6）熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。（三）連續(xù)（1）理解函數(shù)連續(xù)的概念：函數(shù)在一點連續(xù)的定義，左連續(xù)和右連續(xù)，函數(shù)在一點連續(xù)的充分必要條件，函數(shù)的間斷點及其分類。（2）掌握函數(shù)在一點處連續(xù)的性質：連續(xù)函數(shù)的四則運算，復合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性，會求函數(shù)的間斷點及確定其類型。（3）掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零點定理），會運用介值定理推證一些簡單命

20、題。（4）理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會利用連續(xù)性求極限。二、一元函數(shù)微分學（一）導數(shù)與微分（1）理解導數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導性與連續(xù)性的關系，會用定義求函數(shù)在一點處的導數(shù)。（2）會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。（3）熟練掌握導數(shù)的基本公式、四則運算法則以及復合函數(shù)的求導方法。（4）掌握隱函數(shù)的求導法、對數(shù)求導法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導方法，會求分段函數(shù)的導數(shù)。（5）理解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導數(shù)。（6）理解函數(shù)的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導的關系，會求函數(shù)的一階微分。（二）中值定理及導數(shù)的應用（1）了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾

21、何意義。（2）熟練掌握洛必達法則求“0/0”、“/ ”、“0”、“-”、“1”、“00”和“0型未定式的極限方法。（3）掌握利用導數(shù)判定函數(shù)的單調性及求函數(shù)的單調增、減區(qū)間的方法，會利用函數(shù)的增減性證明簡單的不等式。（4）理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值和最大（?。┲档姆椒?，并且會解簡單的應用問題。（5）會判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。（6）會求曲線的水平漸近線與垂直漸近線。三、一元函數(shù)積分學（一）不定積分（1）理解原函數(shù)與不定積分概念及其關系，掌握不定積分性質，了解原函數(shù)存在定理。（2）熟練掌握不定積分的基本公式。（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限于三角代換與簡單的

22、根式代換）。（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。（二）定積分（1）理解定積分的概念與幾何意義，了解可積的條件。（2）掌握定積分的基本性質。（3）理解變上限的定積分是變上限的函數(shù)，掌握變上限定積分求導數(shù)的方法。（4）掌握牛頓萊布尼茨公式。（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法。（6）理解無窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計算方法。（7）掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積。四、向量代數(shù)與空間解析幾何（一）向量代數(shù)（1）理解向量的概念，掌握向量的坐標表示法，會求單位向量、方向余弦、向量在坐標軸上的投影。（2）掌握向量的線性運算、向量的數(shù)量積與向量積的計算方法。（3）掌握二向量平行、垂直的條件。

23、（二）平面與直線（1）會求平面的點法式方程、一般式方程。會判定兩平面的垂直、平行。（2）會求點到平面的距離。（3）了解直線的一般式方程，會求直線的標準式方程、參數(shù)式方程。會判定兩直線平行、垂直。（4）會判定直線與平面間的關系（垂直、平行、直線在平面上）。五、多元函數(shù)微積分（一）多元函數(shù)微分學（1）了解多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義及二元函數(shù)的極值與連續(xù)概念（對計算不作要求）。會求二元函數(shù)的定義域。（2）理解偏導數(shù)、全微分概念，知道全微分存在的必要條件與充分條件。（3）掌握二元函數(shù)的一、二階偏導數(shù)計算方法。（4）掌握復合函數(shù)一階偏導數(shù)的求法。（5）會求二元函數(shù)的全微分。（6）掌握由方程F（x

24、，y，z）=0所確定的隱函數(shù)z=z（x，y）的一階偏導數(shù)的計算方法。（7）會求二元函數(shù)的無條件極值。（二）二重積分（1）理解二重積分的概念、性質及其幾何意義。（2）掌握二重積分在直角坐標系及極坐標系下的計算方法。六、無窮級數(shù)（一）數(shù)項級數(shù)（1）理解級數(shù)收斂、發(fā)散的概念。掌握級數(shù)收斂的必要條件，了解級數(shù)的基本性質。（2）掌握正項級數(shù)的比值數(shù)別法。會用正項級數(shù)的比較判別法。（3）掌握幾何級數(shù)、調和級數(shù)與p級數(shù)的斂散性。（4）了解級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，會使用萊布尼茨判別法。（二）冪級數(shù)（1）了解冪級數(shù)的概念，收斂半徑，收斂區(qū)間。（2）了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內的基本性質（和、差、逐項求導與逐項

25、積分）。（3）掌握求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間（不要求討論端點）的方法。七、常微分方程（一）一階微分方程（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。（2）掌握可分離變量方程的解法。（3）掌握一階線性方程的解法。（二）二階線性微分方程（1）了解二階線性微分方程解的結構。（2）掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。2012年山東省普通高等教育專升本高等數(shù)學（公共課）考試要求總要求：考生應了解或理解“高等數(shù)學”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學、一元函數(shù)積分學、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學、無窮級數(shù)、常微分方程的基本概念與基本理論；學會、掌握或熟練掌握上述各部分

26、的基本方法。應注意各部分知識的結構及知識的內在聯(lián)系；應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力；有運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準確地計算；能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。一、函數(shù)、極限和連續(xù)（一）函數(shù)（1）理解函數(shù)的概念：函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法，分段函數(shù)。（2）理解和掌握函數(shù)的簡單性質：單調性，奇偶性，有界性，周期性。（3）了解反函數(shù)：反函數(shù)的定義，反函數(shù)的圖象。（4）掌握函數(shù)的四則運算與復合運算。（5）理解和掌握基本初等函數(shù)：冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)。（6）了解初等函數(shù)的概念。（二）極限（1）理解數(shù)列極限的概念：數(shù)

27、列，數(shù)列極限的定義，能根據(jù)極限概念分析函數(shù)的變化趨勢。會求函數(shù)在一點處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。（2）了解數(shù)列極限的性質：唯一性，有界性，四則運算定理，夾逼定理，單調有界數(shù)列，極限存在定理，掌握極限的四則運算法則。（3）理解函數(shù)極限的概念：函數(shù)在一點處極限的定義，左、右極限及其與極限的關系，x趨于無窮（x，x+，x-）時函數(shù)的極限。（4）掌握函數(shù)極限的定理：唯一性定理，夾逼定理，四則運算定理。（5）理解無窮小量和無窮大量：無窮小量與無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的關系，無窮小量與無窮大量的性質，兩個無窮小量階的比較。（6）熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。

28、（三）連續(xù)（1）理解函數(shù)連續(xù)的概念：函數(shù)在一點連續(xù)的定義，左連續(xù)和右連續(xù)，函數(shù)在一點連續(xù)的充分必要條件，函數(shù)的間斷點及其分類。（2）掌握函數(shù)在一點處連續(xù)的性質：連續(xù)函數(shù)的四則運算，復合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性，會求函數(shù)的間斷點及確定其類型。（3）掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零點定理），會運用介值定理推證一些簡單命題。（4）理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會利用連續(xù)性求極限。二、一元函數(shù)微分學（一）導數(shù)與微分（1）理解導數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導性與連續(xù)性的關系，會用定義求函數(shù)在一點處的導數(shù)。（2）會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。（3

29、）熟練掌握導數(shù)的基本公式、四則運算法則以及復合函數(shù)的求導方法。（4）掌握隱函數(shù)的求導法、對數(shù)求導法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導方法，會求分段函數(shù)的導數(shù)。（5）理解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導數(shù)。（6）理解函數(shù)的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導的關系，會求函數(shù)的一階微分。（二）中值定理及導數(shù)的應用（1）了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。（2）熟練掌握洛必達法則求“0/0”、“/ ”、“0”、“-”、“1”、“00”和“0”型未定式的極限方法。（3）掌握利用導數(shù)判定函數(shù)的單調性及求函數(shù)的單調增、減區(qū)間的方法，會利用函數(shù)的增減性證明簡單的不等式。（4）理解函數(shù)極值

30、的概念，掌握求函數(shù)的極值和最大（?。┲档姆椒?，并且會解簡單的應用問題。（5）會判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。（6）會求曲線的水平漸近線與垂直漸近線。三、一元函數(shù)積分學（一）不定積分（1）理解原函數(shù)與不定積分概念及其關系，掌握不定積分性質，了解原函數(shù)存在定理。（2）熟練掌握不定積分的基本公式。（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限于三角代換與簡單的根式代換）。（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。（二）定積分（1）理解定積分的概念與幾何意義，了解可積的條件。（2）掌握定積分的基本性質。（3）理解變上限的定積分是變上限的函數(shù)，掌握變上限定積分求導數(shù)的方法。（4）掌握牛頓萊布尼茨公式

31、。（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法。（6）理解無窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計算方法。（7）掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積。四、向量代數(shù)與空間解析幾何（一）向量代數(shù)（1）理解向量的概念，掌握向量的坐標表示法，會求單位向量、方向余弦、向量在坐標軸上的投影。（2）掌握向量的線性運算、向量的數(shù)量積與向量積的計算方法。（3）掌握二向量平行、垂直的條件。（二）平面與直線（1）會求平面的點法式方程、一般式方程。會判定兩平面的垂直、平行。（2）會求點到平面的距離。（3）了解直線的一般式方程，會求直線的標準式方程、參數(shù)式方程。會判定兩直線平行、垂直。（4）會判定直線與平面間的關系（垂直、平

32、行、直線在平面上）。五、多元函數(shù)微積分（一）多元函數(shù)微分學（1）了解多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義及二元函數(shù)的極值與連續(xù)概念（對計算不作要求）。會求二元函數(shù)的定義域。（2）理解偏導數(shù)、全微分概念，知道全微分存在的必要條件與充分條件。（3）掌握二元函數(shù)的一、二階偏導數(shù)計算方法。（4）掌握復合函數(shù)一階偏導數(shù)的求法。（5）會求二元函數(shù)的全微分。（6）掌握由方程F（x，y，z）=0所確定的隱函數(shù)z=z（x，y）的一階偏導數(shù)的計算方法。（7）會求二元函數(shù)的無條件極值。（二）二重積分（1）理解二重積分的概念、性質及其幾何意義。（2）掌握二重積分在直角坐標系及極坐標系下的計算方法。六、無窮級數(shù)（一）數(shù)項

33、級數(shù)（1）理解級數(shù)收斂、發(fā)散的概念。掌握級數(shù)收斂的必要條件，了解級數(shù)的基本性質。（2）掌握正項級數(shù)的比值數(shù)別法。會用正項級數(shù)的比較判別法。（3）掌握幾何級數(shù)、調和級數(shù)與p級數(shù)的斂散性。（4）了解級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，會使用萊布尼茨判別法。（二）冪級數(shù)（1）了解冪級數(shù)的概念，收斂半徑，收斂區(qū)間。（2）了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內的基本性質（和、差、逐項求導與逐項積分）。（3）掌握求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間（不要求討論端點）的方法。七、常微分方程（一）一階微分方程（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。（2）掌握可分離變量方程的解法。（3）掌握一階線性方程的解法

34、。（二）二階線性微分方程（1）了解二階線性微分方程解的結構。（2）掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。2013年山東省普通高等教育專升本高等數(shù)學（公共課）考試要求總要求：考生應了解或理解“高等數(shù)學”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學、一元函數(shù)積分學、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學、無窮級數(shù)、常微分方程的基本概念與基本理論；學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應注意各部分知識的結構及知識的內在聯(lián)系；應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力；有運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準確地計算的能力；能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。一、函

35、數(shù)、極限和連續(xù)（一）函數(shù)1.理解函數(shù)的概念：函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法，分段函數(shù)。2.理解和掌握函數(shù)的簡單性質：單調性，奇偶性，有界性，周期性。3.了解反函數(shù)：反函數(shù)的定義，反函數(shù)的圖象。4.掌握函數(shù)的四則運算與復合運算。5.理解和掌握基本初等函數(shù)：冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)。6.了解初等函數(shù)的概念。（二）極限1.理解數(shù)列極限的概念：數(shù)列，數(shù)列極限的定義，能根據(jù)極限概念分析函數(shù)的變化趨勢。會求函數(shù)在一點處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。2.了解數(shù)列極限的性質：唯一性，有界性，四則運算定理，夾逼定理，單調有界數(shù)列，極限存在定理，掌握極限的四則運算法則

36、。3.理解函數(shù)極限的概念：函數(shù)在一點處極限的定義，左、右極限及其與極限的關系，x趨于無窮（x，x+，x-）時函數(shù)的極限。4.掌握函數(shù)極限的定理：唯一性定理，夾逼定理，四則運算定理。5.理解無窮小量和無窮大量：無窮小量與無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的關系，無窮小量與無窮大量的性質，兩個無窮小量階的比較。6.熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。（三）連續(xù)1.理解函數(shù)連續(xù)的概念：函數(shù)在一點連續(xù)的定義，左連續(xù)和右連續(xù)，函數(shù)在一點連續(xù)的充分必要條件，函數(shù)的間斷點及其分類。2.掌握函數(shù)在一點處連續(xù)的性質：連續(xù)函數(shù)的四則運算，復合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性，會求函數(shù)的間斷點及確定其類型。3.掌握閉區(qū)

37、間上連續(xù)函數(shù)的性質：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零點定理），會運用介值定理推證一些簡單命題。4.理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會利用連續(xù)性求極限。二、一元函數(shù)微分學（一）導數(shù)與微分1.理解導數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導性與連續(xù)性的關系，會用定義求函數(shù)在一點處的導數(shù)。2.會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。3.熟練掌握導數(shù)的基本公式、四則運算法則以及復合函數(shù)的求導方法。4.掌握隱函數(shù)的求導法、對數(shù)求導法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導方法，會求分段函數(shù)的導數(shù)。5.理解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導數(shù)。6.理解函數(shù)的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導的關系，會求函數(shù)的一階微分。（二）中值定理及導數(shù)的應用1.了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。2.熟練掌握洛必達法則求“0/0”、“/ ”、“0”、“-”、“1”、“00”和“0”型未定式的極限方法。3.掌握利用導數(shù)判定函數(shù)的單調性及求函數(shù)的單調增、減區(qū)間的方法，會利用函數(shù)的