非慣性系中的功能原理及應(yīng)用

1、非慣性系中的功能原理及應(yīng)用 摘 要: 在理論力學(xué)中,關(guān)于非慣性參照系中動力學(xué)問題,從來未涉及到非慣性系中的功能原理。為此,本文先推證出質(zhì)點系相對非慣性系的動能定理,再推出質(zhì)點系相對非慣性系的功能原理及機械能守恒定理,然后再運用此原理解決實際問題。 關(guān)鍵詞: 非慣性系；牽連慣性力；科氏慣性力；功能原理；機械能守恒定理The function of the inertial system principle and application Abstract: In the theory of mechanics,about the dynamics inertia reference in que

2、stion never involved in noninertial system function and principle.For this reason this paper first inferred, particle system to a relative non-inertial systems of kinetic energy theorem,and then launch the relative particle noninertial system of function and principle, the last to solve practical pr

3、oblems by using the principle. Key words: Noninertial system; Involved the inertial force; Division type inertia force; principle of work and energy; Mechanical energy conservation theorem 0 引言處理非慣性參考系中的動力學(xué)問題有兩種方法，一種是在慣性參考系中考慮問題，然后運用相對運動的關(guān)系進行兩種坐標(biāo)參考系之間坐標(biāo)、速度和加速度諸量的轉(zhuǎn)換，化成非慣性系中的結(jié)論。另一種方法是研究在非慣性系中適用的動力學(xué)基本方

4、程，從而研究非慣性系中的動力學(xué)問題。關(guān)于關(guān)于非慣性系中的動力學(xué)問題，在理論力學(xué)中只是研究動力學(xué)方程。機械能是自然界普遍存在的，在非慣性系中也依然如此。在非慣性系動力學(xué)方程的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出非慣性系中的功能原理及機械能守恒定理。從而，從能量的觀點出發(fā)去研究非慣性系中的動力學(xué)問題。1 非慣性系的動能定理圖 1 平面轉(zhuǎn)動參考系(例如平板)以角速度繞垂直與自身的軸轉(zhuǎn)動,在這參考系上取坐標(biāo)系它的原點和靜止坐標(biāo)系的原點重合,并且繞著通過并垂直于平板的直線以角速度轉(zhuǎn)動（圖1）。令單位矢量，固著在平板上的軸及軸上，并一同以角速度和平板一起轉(zhuǎn)動。矢量在軸上，我們可以把它寫成。如果為在平板上運動著的一質(zhì)點，則的位矢為

5、 （1）因質(zhì)點和坐標(biāo)軸都隨著平板以相同的角速度轉(zhuǎn)動，且的量值為，則將（1）式對時間求微商后得到對靜止坐標(biāo)系的速度，即為 （2）可以簡寫成 （3）亦即絕對速度等于相對速度與牽連速度之和。將（2）式對時間求微商后得到點對靜止坐標(biāo)系的加速度 （4）上式中及為質(zhì)點對轉(zhuǎn)動參考系軸向加速度分量，其合成為，它是相對加速度。及合成為沿矢徑指向點，是由于平板以角速度轉(zhuǎn)動所引起的向心加速度。這個加速度稱之為科氏加速度。 討論更一般的情況，參考系不是平面的而是空間的，參考系轉(zhuǎn)動的角速度的量值和方向都可以改變。設(shè)坐標(biāo)系的原點和坐標(biāo)系的原點重合。故任一矢量可以寫成 （5）在靜止參考系中看到的變化率為 （6）單位矢量、固

6、著在系上，且以繞點轉(zhuǎn)動，可以認(rèn)為、是距離點為單位長的動點對固定點的位矢得 ， ， （7）把這些關(guān)系代入（6）式得 （8）式中如空間轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系的原點與固定坐標(biāo)系的原點重合，并以角速度繞轉(zhuǎn)動，則對系而言，一個在系中運動的質(zhì)點的絕對速度由(8)式可知為 （9）式中,是質(zhì)點相對于系的速度，即相對速度。質(zhì)點相對于系的絕對加速度，根據(jù)同樣的方法有： （10）把（9）式代入（10）得 （11）令代表質(zhì)點對系的加速度，則 （12）故（10）式可簡寫成 （13）式中，如果系的原點與系的原點不重合，且對的加速度為，則任意質(zhì)點相對任意非慣性系的加速度可寫成 （14）式中表示非慣性坐標(biāo)系相對靜止坐標(biāo)系的平動加速度,

7、表示質(zhì)點相對靜止坐標(biāo)系的加速度,表示質(zhì)點的牽連加速度，質(zhì)點的科氏加速度。由此得到非慣性系中的動力學(xué)方程: (15)或 （16）也可表示為: （17）式中，分別表示質(zhì)點所受的外力、內(nèi)力、牽連慣性力和科氏慣性力。由此, 可得質(zhì)點系相對非慣性系的動能定理。 （18） 因為科氏慣性力的方向與垂直，所以等于零。這樣(4)式可寫成: （19）此式表明: 相對于非慣性系質(zhì)點系動能的微分, 等于作用在質(zhì)點系上的外力、內(nèi)力和牽連慣性力所作元功之和。這就是質(zhì)點系相對非慣性系的動能定理。2 質(zhì)點系相對非慣性系的功能原理在(5)式中的內(nèi)力所作元功可以表示為: （20）牽連慣性力為保守力的充要條件:且是穩(wěn)定的即不顯含時

8、間。分析如下:若此時慣性力 則不是保守力。若等于常矢, 此時慣性力是穩(wěn)定的慣性力, 且則是保守力。若等于常矢, 是穩(wěn)定的慣性力, 可以證明, 則是保守力。若,等于常矢但不等于零時, 即非慣性系相對靜系作變速定軸轉(zhuǎn)動, 是不穩(wěn)定的慣性力, 則不是保守力。若 不等于零時, 即非慣性系相對靜系作定點轉(zhuǎn)動, 是不穩(wěn)定的慣性力, 則不是保守力。只有在作勻加速直線平動和勻角速轉(zhuǎn)動的非慣性系中的慣性力才是保守力, 此時（18）式 可寫成: （21）再結(jié)合(19)式得: （22）在上述的慣性力為保守力的情況下 (23)(22)式代入(21)式得: (24)ARO圖（2）m此式表明: 相對于作勻加速直線平動和勻

9、角速轉(zhuǎn)動的非慣性系的質(zhì)點系的機械能的微分, 等于作用于質(zhì)點系上的外力、內(nèi)力所作元功的代數(shù)和。這就是慣性力為保守力的情況下的非慣性系中的功能原理。如果內(nèi)力和外力中只有保守力作功時, 就得到非慣性系中的機械能守恒定律。3 應(yīng)用舉例 半徑為的光滑圓環(huán)，在水平面內(nèi)繞它一邊上一固定點轉(zhuǎn)動，角速度為常量，圓環(huán)上穿有一質(zhì)量為m 的小珠子(圖 2)。求小珠子的相對運動微分方程。取圓環(huán)為參考系。設(shè)小珠離直徑的偏角為，于是小珠的動能為。重力勢能為零，約束力的功等于零，而離心勢能為:。用運非慣性系中的機械能守恒得:（常量）將上式對求一次導(dǎo)數(shù)就得到小珠相對圓環(huán)的微分方程由此可見，小珠子在相對平衡位置A點附近振動，情況

10、與單擺完全相似。如果回到慣性參考系中考慮此問題，機械能并不守恒。因此在慣性參考系中，小珠子的動能是在這里，。因為勢能V是零，所以總機械能為：對照非慣性系中的機械能守恒方程，可知有帶入上式得它顯然不是常量，所以在運動過程中機械能是不守恒的。造成在兩種參考系中機械能守恒與不守恒的原因是約束力是否做功。雖然圓環(huán)對小珠的約束是光滑的，但因為圓環(huán)本身在運動，所以在慣性系中看，約束力做功并不為零，因此機械能不守恒。此例說明，在不同的參考系中，是否能夠用運機械能守恒，必須做具體分析。四 結(jié)論 機械能是自然界普遍存在的，在非慣性系中也依然如此。從非慣性系的動能定理出發(fā)推導(dǎo)出功能原理，然后發(fā)展成機械能守恒定理。功能原理反應(yīng)了功和能的關(guān)系，當(dāng)我們的研究從恒力轉(zhuǎn)向變力，從質(zhì)點轉(zhuǎn)向系統(tǒng)，情況雖然復(fù)雜但過程代替瞬時關(guān)系的研究卻使我們有可能不去考慮系統(tǒng)中相互作用具體變化的細節(jié)，而把整個過程的某些結(jié)果確定下來。功能原理指出，機械能有兩種形式，即動能和勢能。機械能守恒定理則進一步指出，在一定條件下，系統(tǒng)的動能和勢能相互轉(zhuǎn)化，但他們的總和保持不變。機械能守恒定理是能量守恒定律的一個特例。運用非慣性系中的功能原理、機械能守恒定理，我們就可以從能量的觀點出發(fā)研究非慣性系中的動力學(xué)問題。