必修213空間幾何體表面積體積知識(shí)點(diǎn)

1、陵柱柱體：圓柱柱體、鏈像臺(tái)體的衰面快與體枳必修21.3空間幾何體的表面積、體積及面積：S&-2$出(S力神.r怖一(/)體根：YKIt=SA表面積:S收=2"?十2k/體枳：V'楣柱=7tr2h表面板:5裳S.十S底(§正.柞部=J('h棱雄I體租4%田=；5A表面枳wH衣=4-1"C/nr+kH體,iK.衣面積工5盤=Se+Sf+§M(5正.行創(chuàng)=；(+(")/)樓臺(tái)體枳W蒞對(duì)二4(S十JS彳+S')A衣面積？5嶷=51+5f+5#i(5*長(zhǎng)君=-(C+匕"H=穴"+r'"

2、解臺(tái)體積工V國(guó)詹二*t(H+4+/?)14例1已知棱長(zhǎng)為a,各面均為等邊三角形的四面體SABC(圖6),求它的表面積圖6分析：由于四面體S-ABC的四個(gè)面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個(gè)面面積的4倍.解：先求SBC的面積，過(guò)點(diǎn)S作SDLBC,交BC于點(diǎn)D./222a233SB-BD=a-)=-a,所以Sasbc=1BCSD='a=3a2.39因此，四面體S-ABC的表面積S=4Xa24變式訓(xùn)練1 .已知圓柱和圓錐的高、底面半徑均分別相等.若圓柱的底面半徑為r,圓柱側(cè)面積為S,求圓錐的側(cè)面積.解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為1,因?yàn)閳A柱的側(cè)面積為S,圓柱的底面半徑為r,即S圓柱

3、側(cè)=S,根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式SS可得：圓柱的母線(高)長(zhǎng)為,由題意得圓錐的高為,又圓錐的底面半徑為r,根據(jù)勾股定理，圓2 r2r'2,S、2一錐的母線長(zhǎng)l=1.r+()，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式得：2二rc2/S、2,4二2r4S2S圓錐側(cè)=兀1=兀rr+()=.、2二J22.兩個(gè)平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段，那么圓錐被分成的三部分的體積的比是()A.1：2：3B.1：7：19C.3：4：5D.1：9：27分析：因?yàn)閳A錐的高被分成的三部分相等，所以兩個(gè)截面的半徑與原圓錐底面半徑之比為1：2：3,于是自2 2二12上而下二個(gè)圓錐的體積之比為(-rh)：(2r)2h:(3r)3

4、h=1：8：27,所以圓錐被分成的三3 33部分的體積之比為1：(81):(27-8)=1：7：19.答案：B3.三棱錐VABC的中截面是A1B1C1,則三棱錐VA1B1C1與三棱錐A一ABC的體積之比是()A.1：2B.1：4C.1：6D.1:8分析：中截面將三棱錐的高分成相等的兩部分，所以截面與原底面的面積之比為1:4,將三棱錐A-AiBC轉(zhuǎn)化為三棱錐AiABC,這樣三棱錐VA1B1C1與三棱錐A一ABC的高相等，底面積之比為1：4,于是其體積之比為1：4.答案：B例2如圖7,一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑為20cm,盆底直徑為15cm,底部滲水圓孔直徑為1.5cm,盆壁長(zhǎng)為15cm.為了美化花盆

5、的外觀，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100個(gè)這樣的花盆需要多少毫升油漆?兀取3.14,結(jié)果精確到1毫升)圖7解：如圖7,由圓臺(tái)的表面積公式得一個(gè)花盆外壁的表面積°15 2 15201.5 2S=it （一）+M15 + 一父15-兀（一）=12222000（cm2）=0.1（m2）.涂100個(gè)這樣的花盆需油漆：0.1>100X100=1000（毫升）答：涂100個(gè)這樣的花盆需要1000毫升油漆.變式訓(xùn)練1.有位油漆工用一把長(zhǎng)度為50cm,橫截面半徑為10cm的圓柱形刷子給一塊面積為10m2的木板涂油漆，且圓柱形刷子以每秒5周的速度在木板上勻速滾動(dòng)前進(jìn)，則油漆工完

6、成任務(wù)所需的時(shí)間是多少？(精確到0.01秒)解：圓柱形刷子滾動(dòng)一周涂過(guò)的面積就等于圓柱的側(cè)面積,圓柱的側(cè)面積為S側(cè)=2兀1=2兀0.10.5=0.1兀m2,又二.圓柱形刷子以每秒5周勻速滾動(dòng),圓柱形刷子每秒滾過(guò)的面積為0.5兀m2,2因此油漆工完成任務(wù)所需的時(shí)間t=10m2=206.3秒.0.5二m二2.已知三棱錐OABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，OC=1,OA=x,OB=y,且x+y=4,則三棱錐體積的最大值是.分析：由題意得三棱錐的體積是lxlxy=lx（4-x）=-1（x-2）2+-,由于x>0,則當(dāng)x=2時(shí)，三棱錐的3 26632體積取最大值2.3-2答案：23例3有一堆規(guī)格

7、相同的鐵制（鐵的密度是7.8g/cm3）六角螺帽（圖8）共重5.8kg,已知底面是正六邊形，邊長(zhǎng)為12mm,內(nèi)孔直徑為10mm,高為10mm,問(wèn)這堆螺帽大約有多少個(gè)？（兀取3.14）圖8解：六角螺帽的體積是六棱柱體積與圓柱體積的差，即V=X122X6M0-3.14(X10)2X1042956(mm3)=2.956(cm3).所以螺帽的個(gè)數(shù)為5.8X1000+(7.8X2.956)*52(答：這堆螺帽大約有252個(gè).變式訓(xùn)練如圖9,有個(gè)水平放置圓臺(tái)形容器，上、下底面半徑分別為2分米，4分米，高為5分米，現(xiàn)以每秒3立.（精確到0.01秒）方分米的速度往容器里面注水，當(dāng)水面的高度為3分米時(shí)，求所用的

8、時(shí)間解：如圖10,設(shè)水面的半徑為圖9r,則EH=r-2分米，BG=2分米,圖10在ABG中，EH/BGAHEH=.,.,AH=2分米，AGBG2.，r=14分米.525當(dāng)水面的高度為3分米時(shí)，容器中水的體積為V水=1兀3：（14）2+14>4+42=876工立方分米,35525876二，所用的時(shí)間為3=當(dāng)絲=36.6部.325答：所用的時(shí)間為36.69秒.自我測(cè)試1 .正方體的表面積是96,則正方體的體積是（）A.48、6B.64C.16D.96分析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則6a2=96,解得a=4,則正方體的體積是a3=64.答案：B2 .如圖19所示，圓錐的底面半徑為1,高為J3,則圓

9、錐的表面積為（）A.兀B.2%C.3ttD.4tt國(guó)19分析：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,則1=百11=2,所以圓錐的表面積為S=兀X1N1+2）=3兀.答案：C3 .正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為3,側(cè)棱長(zhǎng)為2-73,則這個(gè)正三棱錐的體積是（）27927.393A.B.-C.D.分析：可得正三棱錐的高h(yuǎn)=（2，與）2_（J3）2=3,于是丫=13'?2?"91.344答案：D4 .若圓柱的高擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，底面半徑不變，則圓柱的體積擴(kuò)大為原來(lái)的倍；若圓柱的高不變，底面半徑擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，則圓柱的體積擴(kuò)大為原來(lái)的倍.分析：圓柱的體積公式為V圓柱=兀2乩底面半徑不變，高擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，其體

10、積也變?yōu)樵瓉?lái)的4倍；當(dāng)圓柱的高不變，底面半徑擴(kuò)大為原來(lái)的4倍時(shí)，其體積變?yōu)樵瓉?lái)的42=16倍.答案：4 165 .圖20是一個(gè)正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、AA i的中點(diǎn).現(xiàn)在沿 GFH所在平面鋸掉正方體的一個(gè) 角，問(wèn)鋸掉部分的體積是原正方體體積的幾分之幾圖20分析：因?yàn)殇彽舻氖钦襟w的一個(gè)角，所以 HA與AG、AF都垂直，即HA垂直于立方體的上底面，實(shí)際上鋸掉的這個(gè)角，是以三角形 AGF為底面，H為頂點(diǎn)的一個(gè)三棱錐解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 a,則正方體的體積為 a3.三棱錐的底面是 RtAAGF,即/ FAG為90° , G、F又分別為 AD、AAi的中點(diǎn)，所以11110以4A

11、GF的面積為max a=a .又因AH是三棱錐的局，H又是AB的中點(diǎn)，所以2228 111c1c掉的部分的體積為1 1a1a2='a3.3 28481 331.1又因一 a3 -：- a3 = 一，所以鋸掉的那塊的體積是原正方體體積的一.484848C 1AF=AG= a .所21-AH= a .所以鋸26 .已知一圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，且面積為S,則圓錐的底面面積是 分析：如圖21,設(shè)圓錐底面半徑為r,母線長(zhǎng)為1,由題意得-l2 =S. 一 S 一 一 一«2'解得廠，士-,所以圓錐的底面積為, c2 二二 1 = 2 r,兀 r2=二圖217.如圖22,一個(gè)正三棱柱容器，底面邊長(zhǎng)為a,高為2a,內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個(gè)側(cè)面作為底面,如圖23,這時(shí)水面恰好為中截面，則圖22中容器內(nèi)水面的高度是.Cl圖22圖23分析：圖22中容器內(nèi)水面的高度為h,水的體積為V,則V=S“Bch.又圖23中水組成了一個(gè)直四棱柱，其底33 3S.ABC*2a3