理論力學(xué)-陳立群-第10章能量方法習(xí)題解答

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第十章質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)能量方法 習(xí)題解答題10-1圖10-1半徑為r的勻質(zhì)圓輪質(zhì)量均為m，圖（a）和（b）所示為輪繞固定軸O作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為；圖（c）為輪作純滾動(dòng)，輪心速度為。試寫(xiě)出它們的動(dòng)能。解：（a）勻質(zhì)圓輪作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ，動(dòng)能為。 （b）勻質(zhì)圓輪作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ， 動(dòng)能為。（c）勻質(zhì)圓輪作作純滾動(dòng)，動(dòng)能為題10-2圖10-2勻質(zhì)桿OA長(zhǎng)l，質(zhì)量為m，繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為；勻質(zhì)圓盤(pán)半徑為r，質(zhì)量也為m。求下列三種情況下系統(tǒng)的動(dòng)能：（1） 圓盤(pán)固結(jié)于桿；（2） 圓盤(pán)繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，相對(duì)桿的角速度為；（3） 圓盤(pán)繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，相對(duì)桿的角速度

2、為。解：（1）圓盤(pán)固結(jié)于桿。對(duì)O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為動(dòng)能為（2）圓盤(pán)繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，相對(duì)桿的角速度為，則圓盤(pán)作平移，質(zhì)心速度為。動(dòng)能為： T=T桿+T盤(pán)=（3）圓盤(pán)繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，相對(duì)桿的角速度為，則圓盤(pán)的角速度為。T=T桿+T盤(pán)= 。 題10-3圖10-3質(zhì)量為m1的勻質(zhì)桿，長(zhǎng)為l，一端放在水平面上，另一端與質(zhì)量為m2、半徑為r的勻質(zhì)圓盤(pán)在圓盤(pán)中心O點(diǎn)鉸接。圓盤(pán)在地面上作純滾動(dòng)，圓心速度為v。求系統(tǒng)在此位置的動(dòng)能。解：桿作平移，動(dòng)能為 ； 圓盤(pán)作純滾動(dòng)，動(dòng)能為 ； 總動(dòng)能為 。題10-4圖10-4一小方塊在傾角為的斜面上，高度為h處無(wú)初速地滑下，到達(dá)水平面后經(jīng)過(guò)距離l而停住。設(shè)方塊從斜面滑到水平面上時(shí)，在B

3、處速度的大小不變。已知，求方塊與接觸面間的摩擦因數(shù)。解：小方塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，初速度，末速度；重力的功 ，摩擦力的功分兩部分：其一為在斜面上。法向反力為，斜面長(zhǎng)為，摩擦力的功為 ；其二為在水平面上。法向反力為，水平面上距離為，摩擦力的功為 ；由動(dòng)能定理得 ，解得。題10-5圖10-5一質(zhì)量為10 kg物體在傾角為30°的斜面上無(wú)初速地滑下，滑過(guò)1 m后壓在一彈簧上，使彈簧壓縮10 cm。設(shè)彈簧剛度為50 N/cm，求重物與斜面間的摩擦因數(shù)。解：物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，初速度，末速度；重力的功 ；摩擦力的功為：； 彈簧力的功：由動(dòng)能定理得 ，解得，將數(shù)據(jù)代入，得 .題10-6圖10-6一復(fù)擺繞

4、O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖示。復(fù)擺的質(zhì)量為m，對(duì)其質(zhì)心C的回轉(zhuǎn)半徑為。設(shè)，問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，擺從水平位置無(wú)初速地轉(zhuǎn)到鉛垂位置時(shí)的角速度為最大？并求此最大角速度。解：復(fù)擺對(duì)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，動(dòng)能為 ，僅重力做功，由動(dòng)能定理得：，解出 。令，解得 ，從而有 。題10-7圖10-7質(zhì)量均為m，半徑均為r的勻質(zhì)圓盤(pán)和圓環(huán)，放在傾角為的斜面上，圓盤(pán)和圓環(huán)同時(shí)從靜止開(kāi)始在斜面上作純滾動(dòng)。試分析圓盤(pán)和圓環(huán)哪一個(gè)先到達(dá)地面？解：設(shè)圓盤(pán)質(zhì)心的速度為，圓環(huán)質(zhì)心的速度為，則圓盤(pán)的動(dòng)能為，圓環(huán)的動(dòng)能為，重力的功為，為圓盤(pán)或圓環(huán)的質(zhì)心沿斜面滑過(guò)的距離。由動(dòng)能定理：，得圓盤(pán)：；圓環(huán)： 。解得，。因，所以圓盤(pán)先到達(dá)地面。題10-8圖10-

5、8圖示沖床沖壓工件時(shí)沖頭受的平均工作阻力F = 52 kN，工作行程s = 10 mm，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J = 40 kg m2 ，轉(zhuǎn)速n=415 r/min。假定沖壓工件所需的全部能量都有飛輪供給，計(jì)算沖壓結(jié)束后飛輪的轉(zhuǎn)速。解：飛輪的動(dòng)能：，工作阻力的功：，由動(dòng)能定理，導(dǎo)出，代入數(shù)據(jù)，得沖壓結(jié)束后飛輪的轉(zhuǎn)速為.題10-9圖10-9重物A質(zhì)量為m1，系在繩索上跨過(guò)一不計(jì)質(zhì)量的定滑輪D并繞在滑輪B上，滑輪B的半徑為R，與半徑為r的滾子C固結(jié)，兩者總質(zhì)量為m2，對(duì)O軸的回轉(zhuǎn)半徑為。當(dāng)重物A下降時(shí)，滾子C沿水平軌道滾動(dòng)而不滑動(dòng)，試求重物A的加速度。解： 取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，自由度為1。設(shè)重物速度為，

6、則輪的角速度 ，輪心速度為 。系統(tǒng)的動(dòng)能為 。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中僅重力做功，為重物下降的距離。由動(dòng)能定理，為初始動(dòng)能。得 .等式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，注意到，導(dǎo)出：。題10-10圖10-10勻質(zhì)圓盤(pán)質(zhì)量為m，半徑為r，可沿水平面作純滾動(dòng)，剛度系數(shù)為k的彈簧一端固定于B，另一端與圓盤(pán)中心相連。已知彈簧為原長(zhǎng)時(shí)圓盤(pán)的角速度為，試求：圓盤(pán)向右運(yùn)動(dòng)到達(dá)最右位置時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量、圓盤(pán)的角加速度以及圓盤(pán)與水平面間的摩擦力。解：取圓盤(pán)為研究對(duì)象，圓盤(pán)的初動(dòng)能為：，彈簧變形為x 時(shí)圓盤(pán)的角速度為，動(dòng)能為：。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中僅彈簧力做功 。由動(dòng)能定理，得。 （a）當(dāng)圓盤(pán)向右運(yùn)動(dòng)到達(dá)最右位置時(shí)，導(dǎo)出彈簧的伸長(zhǎng)量為。將式（a）等號(hào)兩邊

7、對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，注意到 ，得 ，當(dāng)圓盤(pán)向右運(yùn)動(dòng)到達(dá)最右位置時(shí)，導(dǎo)出圓盤(pán)的角加速度，負(fù)號(hào)表示與角速度方向相反。此時(shí)，圓盤(pán)的受力如圖示，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得， 導(dǎo)出：。題10-11圖10-11質(zhì)量為15 kg的細(xì)桿可以繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，桿A端連接一剛度系數(shù)為k=50N/m的彈簧。彈簧另一端固結(jié)于B點(diǎn)，彈簧原長(zhǎng)1.5m。試求桿從水平位置以初角速度落到圖示位置時(shí)的角速度。解：設(shè)桿落到圖示位置時(shí)的角速度為，動(dòng)能定理為 其中：，。代入后導(dǎo)出，代入數(shù)據(jù)后得，。題10-12圖10-12平面機(jī)構(gòu)由兩勻質(zhì)桿AB和BO組成，兩桿的質(zhì)量均為m，長(zhǎng)度均為l，在鉛垂平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。在桿AB上作用一不變的力偶M，從圖示位置由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，不

8、計(jì)摩擦。求當(dāng)桿端A即將碰到鉸支座O時(shí)桿端A點(diǎn)的速度。解： 以桿AB和BO組成的平面機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，自由度為1， 當(dāng)桿端A即將碰到鉸支座O時(shí)，。BO桿的動(dòng)能為 ，AB桿的動(dòng)能為，其中，功為：。由動(dòng)能定理，得 ，解得 ，從而 。題10-13圖10-13勻質(zhì)桿AB長(zhǎng)為l，質(zhì)量為2m，兩端分別與質(zhì)量均為m的滑塊鉸接，兩光滑槽互相垂直。設(shè)彈簧剛度為k，且當(dāng)AB桿水平時(shí)彈簧為原長(zhǎng)。若機(jī)構(gòu)在時(shí)無(wú)初速地開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，試求當(dāng)桿AB處于水平位置時(shí)的角速度和角加速度。解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)的動(dòng)能為 功為 由動(dòng)能定理列出， 將數(shù)據(jù)代入，導(dǎo)出。為求AB桿的角加速度，桿在任意位置時(shí)，由動(dòng)能定理列出， （a）將(a)式等號(hào)

9、兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，注意到，導(dǎo)出，將數(shù)據(jù)代入，得 .題10-14圖10-14測(cè)量機(jī)器功率的動(dòng)力計(jì)，由膠帶ABCD和杠桿BF組成。膠帶具有鉛直的兩端AC和BD，并套住機(jī)器滑輪的下半部，杠桿支點(diǎn)為O。借升高或降低支點(diǎn)O，可以改變膠帶的張力，同時(shí)變更輪與膠帶間的摩擦力。杠桿上掛一質(zhì)量為3 kg 的重錘，使杠桿BF處于水平的平衡位置。如力臂l=500 mm，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速n=240 r/min，求發(fā)動(dòng)機(jī)的功率。解： 取杠桿BF為研究對(duì)象， ，發(fā)動(dòng)機(jī)傳遞的力矩為 于是發(fā)動(dòng)機(jī)的功率為 ，將數(shù)據(jù)代入，得P=0.369 kW.題10-15圖10-15鼓輪B質(zhì)量為m，內(nèi)外半徑分別為r和R，對(duì)轉(zhuǎn)軸O的回轉(zhuǎn)半徑為，其上繞有

10、細(xì)繩，一端吊一質(zhì)量為m的物塊A，另一端與質(zhì)量為M、半徑為r的勻質(zhì)圓輪C相連，斜面傾角為，繩的傾斜段與斜面平行。試求：鼓輪的角加速度、斜面的摩擦力以及連接重物A的繩子的張力（表示為的函數(shù)）。解：一）取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，以鼓輪的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的拉氏函數(shù)為代入拉氏方程，解得 。二）取重物為研究對(duì)象，列出質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程：，其中 ，解得 三）取輪C為研究對(duì)象，由平面運(yùn)動(dòng)微分方程， ，解得 。10-16用拉格朗日方程解題10-9。解： 取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，自由度為1。選重物下降的距離為廣義坐標(biāo)，重物速度為，輪的角速度 ，輪心速度為 。系統(tǒng)的動(dòng)能為 。勢(shì)能為 。拉氏函數(shù)為 。代入拉氏方程，導(dǎo)出：。

11、10-17用拉格朗日方程建立題10-10中圓盤(pán)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：取圓盤(pán)為研究對(duì)象，彈簧變形為x 時(shí)圓盤(pán)的角速度為，動(dòng)能為：，彈性勢(shì)能 。拉氏函數(shù)為，因L不顯含t，所以存在能量積分，即 ，由初始條件得，代回原式當(dāng)圓盤(pán)向右運(yùn)動(dòng)到達(dá)最右位置時(shí)，導(dǎo)出彈簧的伸長(zhǎng)量為。 由拉氏方程，當(dāng)圓盤(pán)向右運(yùn)動(dòng)到達(dá)最右位置時(shí)，導(dǎo)出圓盤(pán)的角加速度，負(fù)號(hào)表示與增大方向相反。摩擦力計(jì)算同式10-10。10-18用拉格朗日方程解題10-11。解：選桿與OA夾角為廣義坐標(biāo)，拉氏函數(shù)為其中，為位置上彈簧的伸長(zhǎng)。因L不顯含t，所以存在能量積分，即， （a）由初始條件得，。當(dāng)時(shí)，。代入（a）式，導(dǎo)出 。10-19用拉格朗日方程建立題

12、10-13系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象，選為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的拉氏函數(shù)為，存在能量積分：其中 。當(dāng)時(shí)，導(dǎo)出：題10-20圖列出拉氏方程當(dāng)時(shí)，導(dǎo)出： 。10-20在圖示系統(tǒng)中，勻質(zhì)圓輪A的質(zhì)量為M，半徑為r；擺球B的質(zhì)量為m，擺長(zhǎng)為b；彈簧剛度為k；彈簧及桿AB的質(zhì)量不計(jì)，圓盤(pán)在水平面上作純滾動(dòng)。若選取為廣義坐標(biāo)，用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程并寫(xiě)出其初積分。解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象，自由度為2，選為廣義坐標(biāo)，動(dòng)能和勢(shì)能為題10-21圖拉氏函數(shù)為,代入拉氏方程，導(dǎo)出。注意到，表明系統(tǒng)存在能量積分，即 10-21正方形勻質(zhì)板的質(zhì)量為40 kg ，在鉛垂平面內(nèi)用三根繩子拉住，板的邊長(zhǎng)為b

13、=100 mm，如圖示。求：（1）當(dāng)軟繩FG剪斷后，木板開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的加速度，以及AD和BE兩繩的張力；（2）當(dāng)AD和BE運(yùn)動(dòng)到鉛垂位置時(shí)，板中心C的加速度和兩繩的張力。解：取板為研究對(duì)象，板作平移運(yùn)動(dòng)。一）在軟繩FG剪斷的瞬時(shí)。由平面運(yùn)動(dòng)微分方程得，。解得：，二）當(dāng)AD和BE運(yùn)動(dòng)到鉛垂位置時(shí)，由動(dòng)能定理，列出解得 。再由平面運(yùn)動(dòng)微分方程得，解得：,.題10-22圖10-22在圖示機(jī)構(gòu)中，物塊A、B的質(zhì)量均為m，兩勻質(zhì)圓輪C、D的質(zhì)量均為2m，半徑均為R。輪C鉸接于無(wú)重懸臂梁CK上，梁的長(zhǎng)度為3R，D為動(dòng)滑輪，繩與輪間無(wú)滑動(dòng)，系統(tǒng)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。求：（1）A物塊上升的加速度；（2）EH段繩子的拉力

14、；（3）固定端K處的約束力。解：一）以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，自由度為1，選為廣義坐標(biāo)，如圖示。有 。系統(tǒng)的動(dòng)能為 勢(shì)能為 ，拉氏函數(shù)為 ，代入拉氏方程，得 ，解得 。二）取輪C為研究對(duì)象，加慣性力：，列動(dòng)靜方程，得 ，解得 。，解得 。三）取梁KC為研究對(duì)象，列平衡方程 ，；， ， ； ，題10-23圖10-23在圖示機(jī)構(gòu)中，沿斜面滾動(dòng)的勻質(zhì)圓柱體和勻質(zhì)鼓輪質(zhì)量均為m，半徑均為R。繩子不能伸縮，其質(zhì)量略去不計(jì)。粗糙斜面的傾角為，不計(jì)滾阻力偶。如在鼓輪上作用一常力偶M。求：（1）鼓輪的角加速度；（2）軸承O的水平約束力。解：一）取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，選輪的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的初動(dòng)能為，任意時(shí)刻動(dòng)能為 ，功為 ，動(dòng)能定理：，即 將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得 ，解得 。二）取輪為研究對(duì)象，由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程得 ，解得 。由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得 ，解得 。題10-24圖10-24圖示三棱柱體ABC的質(zhì)量為m1，放在光滑的水平面上，可以滑動(dòng)。質(zhì)量為m2的的勻質(zhì)圓柱體O由靜止沿斜面AB向下純滾動(dòng)，如斜面的傾角為。求三棱柱體的加速度。解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，自由度為2，選為廣義坐標(biāo)，如圖示。系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能為，代入拉氏方程，導(dǎo)出， 解得。題10-25圖10-25勻質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)