行列式的解法

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上行列式的解法摘要：本文列舉了行列式的幾種計算方法：如化三角形法，提取公因式法等，并指明了這幾種方法的使用條件。關鍵詞：行列式 三角形行列式 范德蒙行列式 循環(huán)行列式。Determinant solutionsAbstract: This article enumerates several calculation methods of deteminants . such as .turning into triangle .extracting publicly owned multiplier and so on .At the same time .it poi

2、nts out the service conditions of these kinds of methods .Key words: determination . triangulaire determination . vandermonde determination 一、 定義法 n介行列式 的值等于所有取自不同行不同列的個元素的乘積 的代數(shù)和,這里是的一個排列,每一項都是按下列規(guī)則帶有符號:當是偶排列時, 帶有正號,當是奇排列時,帶有負號.這一定義可以寫成,這里表示對所有級排列求和.例 1. 計算 的值.解:原式 但是對于含有元素較多的高階行列式可用定義法計算則較為復雜,一般僅對

3、2級3級的行列式采用。而對與高階行列式中0元素較多的行列式則可以采用.因行列式的項中有一因數(shù)為零時，該項的值為零，故只需求出全部為非零乘積的項相加即可。通常是從行列式的一般項行入手，將行標按自然數(shù)排列，討論列標的所有可能的非零取值，并且要注意每一項的符號。例 2. 計算12345階行列式 =解:有定義法知:只需求出A中所有的非零項相加即可。D中的第一行的非零元素只有，因而，同理于是在可能取的數(shù)值中，只能組成一個12345個元素的排列：12344 12343 2 1 12345 .而此排列的逆序數(shù)為=為偶數(shù)，故 二、 升階法在計算行列式時，我們往往先利用行列式的性質變換給定的行列式，再用展開定理

4、使之降階，從而使問題得到簡化。有時與此相反，即在原行列式的基礎上添行加列使其升階構造一個容易計算的新行列式，進而求出原行列式的值。這種計算行列式的方法稱為升階法。凡可利用升階法計算的行列式具有的特點是：除主對角線上的元素外，其余的元素都相同，或任兩行（列）對應元素成比例。升階時，新行（列）由哪些元素組成？添加在哪個位置？這要根據(jù)原行列式的特點作出選擇。例1計算n階行列式 ，其中解 將最后一個行列式的第j列的倍加到第一列（，就可以變?yōu)樯先切涡辛惺?，其主對角線上的元素為1+故 例2 計算n階行列式解 好象范德蒙行列式，但并不是，為了利用范德蒙行列式的結果，令 按第列展開，則得到一個關于的多項式，

5、的系數(shù)為。另一方面 顯然，中的系數(shù)為所以三、降階法（按行按列展開） 利用行列式的性質對行列式中存在某行（列）0元素較多的行列式進行行(列)展開.容易留下少些非0部分將行列式降階一般也只對非特殊階數(shù)不高的行列式計算如下.亦可利用降階定理對高階的行列式求值. 例5 計算行列式 解： = = =-7 降階定理:設是方陣,且A可逆,則 證明: 例 6. 計算 解: 原式= =然后從第2列起,后面的每一列依次減去第一列,可得: 原式= = =四、利用遞推關系法所謂利用遞推關系法，就是先建立同類型n階與n-1階（或更低階）行列式之間的關系遞推關系式，再利用遞推關系求出原行列式的值。例3計算n階行列式 ，其

6、中解 將的第一行視為據(jù)行列式的性質，得 于b與c的對稱性，不難得到 聯(lián)立（1），(2）解之，得 例4計算n階行列式 解將按第一行展開，得于是得到一個遞推關系式，變形得 易知 所以，據(jù)此關系式在遞推，有 如果我們將的第一列元素看作,1+0,0+0,按第一列坼成兩個行列式的和，那么可直接得到遞推關系式，同樣可得的值。五、化三角形法此種方法是利用行列式的性質把給定的行列式表為一個非零數(shù)與一個三角形行列式之積，所謂三角形行列式是位于對角線一側的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主對角線的三角形行列式等于主對角線上元素之積，涉及次對角線的N階三角形行列式等于次對角線上元素之積且?guī)?/p>

7、符號 例5計算N階行列式解 六、利用范德蒙（Vandermonde）行列式法著名的范德蒙行列式，在線性代數(shù)中占有重要地位，研究它的應用引起了一些數(shù)學家的興趣，因此在計算行列式時，可直接用其結果。例6 計算n階行列式 解 將第一行可視為，再由行列式的性質，得 把第一個行列式從第一行起依次將行加到行；第二個行列式的第列提取得=七、利用乘法定理法在計算行列式時，有時可以用乘法定理，將給定的行列式表為兩個容易計算的或已知的行列式的乘積，從而求出給定行列式的值；有時不直接計算給定的行列式，而是選一個適當?shù)呐c給定行列式同階的行列式，計算兩行列式的乘積，由此求出給定行列式的值，這樣也可使問題簡單。例7計算n

8、階行列式 解 所以，當時，；當時，當時，八、 加邊法行列式的計算一般是想辦法降階,但對于某些行列式,在保持原行列式值不變的基礎上增加一行一列(增加的一行一列元素一般是有0和1組成),然后可化為爪型行列式,最終在根據(jù)行列式性質化為上下三角形行列式計算.例 7. 求 分析:這類行列式的一個顯著特點就是每一行每一列除個別元素以外均相同,這時可加條邊將相同元素化為0.解： 九、提取公因式法若行列式滿足下列條件之一，則可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，稱為“型”；（2）有兩行（列）的對應元素之和或差相等，稱為“鄰和型”；（3）各行（列）元素之和相等，稱為“全和型”。滿足條件（1）的行列式可直接提取

9、公因式變?yōu)椤?，1，1型”，于是應用按行（列）展開定理，使行列式降一階。滿足（2）和（3）的行列式都可以根據(jù)行列式的性質變?yōu)闈M足條件（1）的行列式，間接使用提取公因式法。例9計算N階行列式 解 該行列式各行元素之和都等于 ，屬于“全和型”，所以 十、拆行（列）法計算 若行列式某一行（列）或多行（列）可以表示成兩項之和，且有一拆成的項相同元素較多(一般都會全力相同)，則此時可以利用行列式的拆項的性質，將行列式拆成兩個簡單的行列式計算。 例11.計算n階行列式 解： =0+0 =0除了以上常見的方法外還有一些特殊的方法,如n階輪換行列式的初等計算方法、極限法、導數(shù)法、積分法，數(shù)學歸納法等。對于一個給定的行列式可以有多種方法求解，這是則要求我們注意方法的靈活性，要在眾多方法中選取一種最簡便的方法。參考文獻1. 北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)（第二版）.北京：高