優(yōu)化設(shè)計第二章

1、第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué) 模型和基本概念 2.1 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型2.2 優(yōu)化設(shè)計的三大要素優(yōu)化設(shè)計的三大要素 2.3 優(yōu)化設(shè)計的分類優(yōu)化設(shè)計的分類 2.4 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.5 優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件 2.6 優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)值迭代法及其收斂條件優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)值迭代法及其收斂條件主要內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)1、掌握優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型和三大要素；、掌握優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型和三大要素；2、熟悉優(yōu)化設(shè)計的不同分類方法及解決實際問題的步驟；、熟悉優(yōu)化設(shè)計的不同分類方法及解決實際問題的步驟；3、了解等值面、梯度、了解等值面、梯

2、度、Hesse矩陣、函數(shù)的凸性等概念及矩陣、函數(shù)的凸性等概念及其性質(zhì)其性質(zhì)4、掌握、掌握優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解及獲得最優(yōu)解的條件5、掌握數(shù)值迭代法及其收斂條件、掌握數(shù)值迭代法及其收斂條件教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo):2.1 2.1 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型1. 分析分析實際問題，實際問題，建立建立優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型；優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型； 分析： 設(shè)計的要求（目標(biāo)目標(biāo)、準(zhǔn)則）； 設(shè)計的限制（約束約束）條件； 設(shè)計的參數(shù)，確定設(shè)計變量變量。 建立：優(yōu)化設(shè)計方法相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型。 2. 分析數(shù)學(xué)模型的類型，選擇合適的求解方法（分析數(shù)學(xué)模型的類型，選擇合適的求解方法（

3、優(yōu)化算法優(yōu)化算法）。）。 3. 編程上機(jī)求數(shù)學(xué)模型的最優(yōu)解，并對計算的結(jié)果進(jìn)行評價分析編程上機(jī)求數(shù)學(xué)模型的最優(yōu)解，并對計算的結(jié)果進(jìn)行評價分析 最終確定是否選用此次計算的解。最終確定是否選用此次計算的解。一一. 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計方法解決實際問題的步驟機(jī)械優(yōu)化設(shè)計方法解決實際問題的步驟2.1 2.1 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型已知：軸的一端作用載荷 P=1000N，扭矩 M=100Nm；軸長不得小于8cm；材料的許用彎曲應(yīng)力 w=120MPa，許用扭剪應(yīng)力 = 80MPa，許用撓度 f = 0.01cm；密度 = 7.8t /m，彈性模量E=2105MPa。 分析：設(shè)計目標(biāo)是軸的質(zhì)量最輕 Q

4、 =1 /4 d2 l min. ；要求：設(shè)計銷軸，在滿足上述條件的同時，軸的質(zhì)量應(yīng)為最輕。 設(shè)計限制條件有5個： 彎曲強(qiáng)度：max w 扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度： 剛度： f f 結(jié)構(gòu)尺寸： l 8 d 0 設(shè)計參數(shù)中的未定變量：d、l2舉例：舉例： 圓形等截面銷軸的優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型圓形等截面銷軸的優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型具體化：目標(biāo)函數(shù) Q = 1 /4 d2 l min. 約束函數(shù) max = Pl / ( 0.1d3 ) w = M / ( 0.2d3 ) f = Pl3 / ( 3EJ ) f l 8 d 0代人數(shù)據(jù)整理得數(shù)學(xué)模型：設(shè)：X =x1, x2 T = d ,l T XR2 min. f (x

5、) = x12x2 s.t. g1(x)= 83.3 x2 - x13 0 g2(x)= 6.25 - x13 0 g3(x)= 0.34 x23 - x14 0 g4(x)= 8 - x2 0 g5(x)= - x1 02.1 2.1 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型2舉例：舉例： 圓形等截面銷軸的優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型圓形等截面銷軸的優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型 三三. . 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型 根據(jù)例子中的數(shù)學(xué)模型： X =x1, x2 T = d ,l T XR2 min. f (x) = x12x2 s.t. g1(x)= 8.33 x2 - x13 0 g2(x)= 6.25

6、 - x13 0 g3(x)= 0.34 x23 - x14 0 g4(x)= 8 - x2 0 g5(x)= - x1 0機(jī)械優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的一般形式： 設(shè) X =x1, x2 , ,xnT min. f (x) = f ( x1, x2 , ,xn ) XRn s.t. gu(x) 0 u = 1,2,m hv (x) = 0 v = 1,2, p 設(shè)計變量 目標(biāo)函數(shù) 約束函數(shù)（性能約束） 約束函數(shù)（性能約束） 約束函數(shù)（性能約束） 約束函數(shù)（幾何約束） 約束函數(shù)（幾何約束）（不等式約束）（等式約束）屬于2維歐氏空間2.1 2.1 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 優(yōu)化

7、設(shè)計的三大要素優(yōu)化設(shè)計的三大要素一一. .設(shè)計變量：設(shè)計變量： 設(shè)計變量設(shè)計變量：在優(yōu)化設(shè)計過程中是變化的，需要優(yōu)選的量。 給定參數(shù)給定參數(shù)：在優(yōu)化設(shè)計過程中保持不變或預(yù)先確定數(shù)值。 可以是幾何參數(shù)： 例，尺寸、形狀、位置 運動學(xué)參數(shù)：例，位移、速度、加速度 動力學(xué)參數(shù)：例，力、力矩、應(yīng)力 其它物理量：例，質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、頻率、撓度 非物理量： 例，效率、壽命、成本設(shè)計變量設(shè)計變量：優(yōu)化設(shè)計問題有N個設(shè)計變量 x1, x2 , ,x n， 用 x i ( i = 1,2,n) 表示，是設(shè)計向量設(shè)計向量 X 的 n 個分量設(shè)計向量設(shè)計向量：用 X =x1, x2 , ,x nT 表示， 是定義在

8、 n 維歐氏空間中的一個向量 一一. .設(shè)計變量（續(xù)）設(shè)計變量（續(xù)）設(shè)計點設(shè)計點 x(k)（ x1(k), x2 (k), ,x n(k) ）： 是設(shè)計向量X(k)的端點，代表設(shè)計空間中的一個點，也代表第 k 個設(shè)計方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。設(shè)計空間設(shè)計空間R n ： 以x1, x2 , ,x n 為坐標(biāo)軸，構(gòu)成 n 維歐氏實空間R n。它包含了所有可能的設(shè)計點，即所有設(shè)計方案。X1X3X20X(1)X(2)X（1）例：右圖三維空間中第1設(shè)計點 ：X(1) = x1(1), x2(1) ,x3(1) T第2設(shè)計點 ：X(2) = x1(2), x2(2) ,x3(2) T增量：

9、 X(1) = x1(1), x2(1) , x3(1) T其中： X(2) = X(1) + X(1) 即 x1(2) = x1(1) + x1(1) x2(2) = x2(1) + x2(1) x3(2) = x3(1) + x3(1)2.2 2.2 優(yōu)化設(shè)計的三大要素優(yōu)化設(shè)計的三大要素 二二. .約束函數(shù)約束函數(shù)設(shè)計約束設(shè)計約束：設(shè)計變量的選擇不僅要使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值， 同時還必須受一定的條件限制，這些制約條件稱設(shè)計約束。約束函數(shù)：約束函數(shù)：設(shè)計約束是設(shè)計變量的函數(shù)，稱為約束函數(shù)。 不等式約束函數(shù)： g u(x) 0 u = 1,2,m 等式約束函數(shù)： h v(x) = 0 v = 1

10、,2, pn 問題：不等式約束能否表達(dá)成問題：不等式約束能否表達(dá)成 g u(x) 0 ？ p 為什么必須小于為什么必須小于 n ?例：有三個不等式約束 g1(x) = - x1 0 g2(x) = - x2 0 g3(x) = x12 + x22 - 1 0 再加一個等式約束 h (x) = x1 - x2 = 00X1X2g3 (x) = 0g2 (x) = 0g1 (x) = 0h(x)=0D D2.2 2.2 優(yōu)化設(shè)計的三大要素優(yōu)化設(shè)計的三大要素 二二. .約束函數(shù)約束函數(shù) （續(xù)（續(xù)1 1）約束（曲）面：約束（曲）面： 對于某一個不等式約束 g u(x) 0 中，滿足 g u(x) =

11、0的 x 點的集合構(gòu)成一個曲面，稱為約束（曲）面。 它將設(shè)計空間分成兩部分：滿足約束條件 g u(x) 0 的部分和不滿足約束條件 g u(x) 0 的部分。設(shè)計可行域（簡稱為可行域）設(shè)計可行域（簡稱為可行域） D D 對于一個優(yōu)化問題，所有不等式約束的約束面將組成一個復(fù)合的約束曲面，包圍了設(shè)計空間中滿足所有不等式約束的區(qū)域，稱為設(shè)計可行域 。記作 D D = g u(x) 0 u = 1,2,mh v (x) = 0 v = 1,2, px2.2 2.2 優(yōu)化設(shè)計的三大要素優(yōu)化設(shè)計的三大要素二二. .約束函數(shù)約束函數(shù) （續(xù)（續(xù)2 2）可行設(shè)計點（內(nèi)點）：可行設(shè)計點（內(nèi)點）： 在可行域內(nèi)任意一

12、點稱為可行設(shè)計點，代表一個可行方案。極限設(shè)計點（邊界點）：極限設(shè)計點（邊界點）： 在約束面上的點稱為極限設(shè)計點。 若討論的設(shè)計點 x (k) 點使得 g u(x (k) ) = 0 ，則 g u(x (k) ) 0 稱為適時約束適時約束或或起作用約束。作用約束。 非可行設(shè)計點（外點）：非可行設(shè)計點（外點）： 在可行域外的點稱為非可行設(shè)計點，代表不可采用的設(shè)計方案。2.2 2.2 優(yōu)化設(shè)計的三大要素優(yōu)化設(shè)計的三大要素三三. .目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 優(yōu)化設(shè)計的過程是從可行設(shè)計解中，找出一組最優(yōu)解的過程。需要一個準(zhǔn)則來評價當(dāng)前設(shè)計點（解）的最優(yōu)性。 這個準(zhǔn)則包含各個設(shè)計變量，作為評價函數(shù)，一般稱為目標(biāo)函

13、數(shù)，也稱為評價函數(shù)、準(zhǔn)則函數(shù)、價值函數(shù)。由于評價準(zhǔn)則的非唯一性，目標(biāo)函數(shù)可以是一個單目標(biāo)函數(shù)，也可以是多個稱為多目標(biāo)函數(shù)。單目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式為： f (x) = f ( x1, x2 , ,x n )多目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式為： f (x) = 1f 1(x) +2f 2(x) + +q f q (x) = 其中： f 1(x)，f 2(x)， f q (x) 代表 q 個分設(shè)計目標(biāo)； 1，2， ，q 代表 q 個加權(quán)系數(shù)。)(1xfjqjj目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)：多目標(biāo)函數(shù)：多目標(biāo)函數(shù)：2.2 2.2 優(yōu)化設(shè)計的三大要素優(yōu)化設(shè)計的三大要素三三. .目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)( (續(xù)）續(xù)） 說明：說明： f (x

14、) 必須是 x 的函數(shù)， 應(yīng)隨設(shè)計點的變化f (x) 的值上升、下降； f (x) 應(yīng)該是實函數(shù)，是可計算的。但不一定通過數(shù)學(xué)公式，還可以用其它數(shù)值計算方法計算。 f (x) 可以是有物理意義，有單位的，也可以沒有物理意義。 例如，銷軸的質(zhì)量： Q=1 /4 d2 l ， 1 /4 是常數(shù)， 目標(biāo)函數(shù)可簡化為 f (x) = d2 l = x12x2問題：問題： f (x) 是否一定應(yīng)包含所有的設(shè)計變量是否一定應(yīng)包含所有的設(shè)計變量 ？ f (x) 若是越大越好，則應(yīng)如何處理？若是越大越好，則應(yīng)如何處理？ 分目標(biāo)函數(shù)分目標(biāo)函數(shù)f 1(x)，f 2(x)， f q(x) ，有些是越小越好，有些是越

15、小越好，有些是越大越好，則又應(yīng)如何處理？有些是越大越好，則又應(yīng)如何處理？2.2 2.2 優(yōu)化設(shè)計的三大要素優(yōu)化設(shè)計的三大要素2.3 2.3 優(yōu)化設(shè)計的分類優(yōu)化設(shè)計的分類一一. 按模型性質(zhì)分：按模型性質(zhì)分： 確定型優(yōu)化問題： 靜態(tài)優(yōu)化問題（與時間無關(guān)或忽略時間因素） 動態(tài)優(yōu)化問題（隨時間變化，系統(tǒng)響應(yīng)變化） 不確定型優(yōu)化問題（隨機(jī)優(yōu)化問題）二二. 按設(shè)計變量性質(zhì)分按設(shè)計變量性質(zhì)分 連續(xù)變量 離散變量 隨機(jī)變量三三. 按約束情況分按約束情況分1. 按有無約束分： 無約束優(yōu)化問題 約束優(yōu)化問題 2. 按約束性質(zhì)分： 區(qū)域約束（幾何約束、邊界約束） 性能約束（功能約束、性態(tài)約束）2.3 2.3 優(yōu)化設(shè)

16、計的分類（續(xù)）優(yōu)化設(shè)計的分類（續(xù)）四四. 按目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的特性分：按目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的特性分： 線性規(guī)劃問題 非線性規(guī)劃問題 二次規(guī)劃問題 幾何規(guī)劃問題五五. 按目標(biāo)函數(shù)的個數(shù)分：按目標(biāo)函數(shù)的個數(shù)分： 單目標(biāo)優(yōu)化問題 雙目標(biāo)優(yōu)化問題 多目標(biāo)優(yōu)化問題小小 結(jié)結(jié)n優(yōu)化設(shè)計的三大要素n優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型n優(yōu)化設(shè)計的步驟n數(shù)學(xué)模型的分類n機(jī)械優(yōu)化設(shè)計問題分類 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的一般形式： 設(shè) x =x1, x2 , , xnT x Rn min f (x) = f ( x1, x2 , , xn ) s.t. gu(x) 0 u = 1,2,m hv (x)

17、 = 0 v = 1,2, pn（不等式約束）（等式約束） 在滿足一定的約束條件下，選取設(shè)計變量，使目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到最?。ɑ蜃畲螅?。優(yōu)化設(shè)計的三大要素設(shè)計變量設(shè)計變量 x （給定參數(shù)、設(shè)計空間、設(shè)計點、設(shè)計向量、離散型設(shè)計變量、連續(xù)型設(shè)計變量）目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) f (x) (評價函數(shù)、單目標(biāo)設(shè)計、多目標(biāo)設(shè)計）約束函數(shù)約束函數(shù) gu(x)、hv(x) （區(qū)域約束、性能約束、約束面、可行域與非可行域、內(nèi)點、外點、邊界點、適時約束）優(yōu)化設(shè)計過程框圖機(jī)械優(yōu)化設(shè)計設(shè)計問題：設(shè)計要求；設(shè)計參數(shù)；設(shè)計條件最優(yōu)設(shè)計方案f(x*)x*按設(shè)計要求進(jìn)行方案評價是否最優(yōu)?建立數(shù)學(xué)模型：設(shè)計變量x目標(biāo)函數(shù)f(x)約束函數(shù)

18、 gu(x) 0 (u=1,2,m) hv(x) = 0 (v=1,2,p)選用優(yōu)化算法確定優(yōu)選設(shè)計參數(shù) xi(i=1,2,n)設(shè)計方案得出的實際值f(x)用滿足設(shè)計條件的一組x1,x2,xn值確定設(shè)計方案否是 優(yōu)化設(shè)計優(yōu)化設(shè)計解決實際問題的步驟解決實際問題的步驟1. 分析實際問題，建立優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型； 分析： 設(shè)計的要求（目標(biāo)、準(zhǔn)則）； 設(shè)計的限制（約束）條件； 設(shè)計的參數(shù)，確定設(shè)計變量。 2. 分析數(shù)學(xué)模型的類型，選擇合適的優(yōu)化方法； 5. 對計算的結(jié)果進(jìn)行評價分析。 3. 確定必要的數(shù)據(jù)和設(shè)計初始點； 4. 編寫計算機(jī)程序，通過計算機(jī)求解并輸出計算結(jié)果；目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)都是設(shè)計變量

19、的線性函數(shù)。 分類原則分類原則數(shù)學(xué)模型的類型數(shù)學(xué)模型的類型說明說明按數(shù)學(xué)模型中設(shè)計按數(shù)學(xué)模型中設(shè)計變量和參數(shù)的性質(zhì)變量和參數(shù)的性質(zhì)分分確定型模型確定型模型1設(shè)計變量和參數(shù)的取值為確定時所建立的數(shù)學(xué)模型設(shè)計變量和參數(shù)的取值為確定時所建立的數(shù)學(xué)模型2根據(jù)設(shè)計參數(shù)和系統(tǒng)行為（設(shè)計特性）與時間的依賴關(guān)系，可分為靜態(tài)根據(jù)設(shè)計參數(shù)和系統(tǒng)行為（設(shè)計特性）與時間的依賴關(guān)系，可分為靜態(tài)模型（常規(guī)模型）和動態(tài)模型（參數(shù)模型）。模型（常規(guī)模型）和動態(tài)模型（參數(shù)模型）。3當(dāng)設(shè)計變量可取任意實數(shù)時，屬于連續(xù)變量優(yōu)化設(shè)計模型；當(dāng)某些或全當(dāng)設(shè)計變量可取任意實數(shù)時，屬于連續(xù)變量優(yōu)化設(shè)計模型；當(dāng)某些或全部設(shè)計變量限于取整數(shù)或離

20、散值時，屬于離散變量優(yōu)化設(shè)計模型。部設(shè)計變量限于取整數(shù)或離散值時，屬于離散變量優(yōu)化設(shè)計模型。隨機(jī)型模型隨機(jī)型模型某些設(shè)計變量或參數(shù)具有隨機(jī)性或必須考慮它們的概率分布性質(zhì)所建立的某些設(shè)計變量或參數(shù)具有隨機(jī)性或必須考慮它們的概率分布性質(zhì)所建立的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型。按目標(biāo)函數(shù)和約束按目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的性質(zhì)分函數(shù)的性質(zhì)分線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃問題目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)都是線性函數(shù)目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)都是線性函數(shù) 非線性規(guī)劃問題非線性規(guī)劃問題目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)中有一個或多個是非線性函數(shù)。多數(shù)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計問目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)中有一個或多個是非線性函數(shù)。多數(shù)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型屬于非線性規(guī)劃問題。又根據(jù)非線

21、性目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)表題的數(shù)學(xué)模型屬于非線性規(guī)劃問題。又根據(jù)非線性目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)表達(dá)式的特性不同，可將其分為：一般非線性問題、二次規(guī)劃問題、可分離達(dá)式的特性不同，可將其分為：一般非線性問題、二次規(guī)劃問題、可分離規(guī)劃問題、幾何規(guī)劃問題等。這些問題在數(shù)學(xué)規(guī)劃中都有其特殊的解法。規(guī)劃問題、幾何規(guī)劃問題等。這些問題在數(shù)學(xué)規(guī)劃中都有其特殊的解法。按模型中極小化的按模型中極小化的目標(biāo)函數(shù)個數(shù)分目標(biāo)函數(shù)個數(shù)分單目標(biāo)優(yōu)化問題單目標(biāo)優(yōu)化問題只有一個目標(biāo)函數(shù)只有一個目標(biāo)函數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化問題多目標(biāo)優(yōu)化問題多個函數(shù)（多個函數(shù)（f1(x),f2(x),fq(x)） Rq按模型中約束條件按模型中約束條件數(shù)量分?jǐn)?shù)量分無約

22、束優(yōu)化設(shè)計問題無約束優(yōu)化設(shè)計問題模型中不包含約束條件，即模型中不包含約束條件，即m=p=0時。時。雖然在工程設(shè)計問題中，不受任何約束條件限制的問題并不多見，但在約雖然在工程設(shè)計問題中，不受任何約束條件限制的問題并不多見，但在約束優(yōu)化問題的解法中有一類是將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為序列無約束優(yōu)化問題束優(yōu)化問題的解法中有一類是將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為序列無約束優(yōu)化問題來求解的。來求解的。約束優(yōu)化問題約束優(yōu)化問題模型中包含約束條件。模型中包含約束條件。優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的分類優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的分類機(jī)械優(yōu)化設(shè)計的分類機(jī)械優(yōu)化設(shè)計的分類分類分類示例示例參數(shù)優(yōu)化參數(shù)優(yōu)化設(shè)計設(shè)計方案參數(shù)優(yōu)化設(shè)計方案參數(shù)優(yōu)化設(shè)計支承負(fù)荷的

23、框架式底座結(jié)構(gòu)方案設(shè)計支承負(fù)荷的框架式底座結(jié)構(gòu)方案設(shè)計系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計凸輪從動系統(tǒng)的動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計凸輪從動系統(tǒng)的動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計工藝參數(shù)優(yōu)化設(shè)計工藝參數(shù)優(yōu)化設(shè)計單工序加工時，單件生產(chǎn)率的優(yōu)化單工序加工時，單件生產(chǎn)率的優(yōu)化機(jī)構(gòu)和機(jī)械零部件參機(jī)構(gòu)和機(jī)械零部件參數(shù)優(yōu)化設(shè)計數(shù)優(yōu)化設(shè)計平面連桿機(jī)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計平面連桿機(jī)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計機(jī)械結(jié)構(gòu)機(jī)械結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計優(yōu)化設(shè)計結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化設(shè)計結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化設(shè)計銷軸結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計銷軸結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化設(shè)計結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化設(shè)計機(jī)床主軸結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計機(jī)床主軸結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計結(jié)構(gòu)桁架拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)結(jié)構(gòu)桁架拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計計實例練習(xí)1設(shè)有一個螺旋壓縮彈簧，已知載荷為F，

24、彈簧材料的剪切彈性模量為G，許用剪切應(yīng)力為,許用彈簧剛度為K,彈簧的非工作圈數(shù)為n2,軸向變形量為。試設(shè)計這個彈簧使其體積最小。33211),(),(RxxxnDdTTx數(shù)學(xué)模型:dnnDxf)(41)(min212 38dDkFxmas.t.8134KnDGDKbDHb如圖所示的偏置曲柄滑塊機(jī)構(gòu)要求機(jī)構(gòu)在其工作范圍 ，內(nèi)實現(xiàn)函數(shù):實例練習(xí)2002852252bebbebSSSSa2a3Sxya12.4 2.4 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一一. 等值（線）面：等值（線）面： 對于可計算的函數(shù) f (x)，給定一個設(shè)計點 x(k) =(x1(k), x2 (k), ,x n(k) )

25、， f (x)總有一個定值 c 與之對應(yīng)；而當(dāng) f (x) 取定值 c 時，則有無限多個設(shè)計點x(i) =(x1(i), x2 (i), ,x n(i) ) （i=1,2, ）與之對應(yīng)，這些點集構(gòu)成一個曲面，稱為等值面等值面(或等值超曲面或等值超曲面)。 當(dāng) c 取c1,c2, 等值時，就獲得一族曲面族，稱為等等值面族值面族。 當(dāng)f (x)是二維時，獲得一族等值線族等值線族； 當(dāng)f (x)是三維時，獲得一族等值面族等值面族； 當(dāng)f (x)大于三維時，獲得一族超等值面族超等值面族。)(kxc1.概念概念一一. . 等值（線）面等值（線）面 （續(xù)（續(xù)1 1）等值線的等值線的“心心” 一個一個“心心

26、”：是單峰函數(shù)的極（小）值點，是全局極（小）值點。 多個多個“心心”：不是單峰函數(shù)，每個極（?。┲迭c只是局部極（?。┲迭c，必須通過比較各個極值點和“鞍點”（須正確判別）的值，才能確定極（小）值點。 沒有沒有“心心”：例，線性函數(shù)的等值線是平行的，無“心”，認(rèn)為極值點在無窮遠(yuǎn)處。2.性質(zhì)性質(zhì)2.4 2.4 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一一. . 等值（線）面等值（線）面 （續(xù)（續(xù)2 2）等值線的形狀：等值線的形狀： 同心圓族、橢圓族，近似橢圓族；等值線的疏密：等值線的疏密： 沿等值線密的方向，函數(shù)值變化快； 沿等值線疏的方向，函數(shù)值變化慢。 等值線的疏密定性反應(yīng)函數(shù)值變化率。 嚴(yán)重非線性

27、函數(shù)病態(tài)函數(shù)的等值線族是嚴(yán)重偏心和扭曲、分布疏密嚴(yán)重不一的曲線族。2.4 2.4 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)二二. . 梯度梯度方向?qū)?shù)：方向?qū)?shù)： 二維問題中，f (x1,x2 ) 在 X(0) 點沿s方向的方向?qū)?shù)為：22)0(11)0()0(cos)(cos)()(xxfxxfsxfSfSxfSxfT,cos)()()0()0(其中：Txxfxxfxf2)0(1)0()0()(,)()(是 X(0) 點的梯度。S 為 s方向的單位向量， 。 為 S 的方向角,21,21cos,cos方向?qū)?shù)sff1coscos2212S為方向余弦。為梯度在方向 s 上的投影。)()0(xfSx

28、f)()0(2.4 2.4 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)二二. . 梯度（續(xù)）梯度（續(xù)）梯度的性質(zhì)：梯度的性質(zhì)： 梯度是 x(0)點處最大的方向?qū)?shù)； 梯度的方向是過該點的等值線的法線方向； 梯度是x(0) 點處的局部性質(zhì)； 梯度指向函數(shù)變化率最大的方向； 正梯度方向是函數(shù)值最速上升的方向， 負(fù)梯度方向是函數(shù)值最速下降的方向。梯度：梯度： 對于 n 維問題Tnxxfxxfxxfxf )(,)(,)()()0(2)0(1)0()0(2)0(22)0(21)0()0()()()()(nxxfxxfxxfxf )()0(xf2.4 2.4 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三三. Hess

29、e. Hesse 矩陣與正定矩陣與正定 njinjijikiniikkxRxxxxxfxxxfxfxfk.)(! 21)()(1,)(21)()()()()()()()()()()(! 21)()()(kkTkkTkkxxHxxxfxfxf臺勞展開式臺勞展開式:n n 維函數(shù)維函數(shù) f(x) 在 x (k) 點的臺勞展開式臺勞展開式:二階近似式二階近似式：其中：增量 X (k) =x1 (k) , x2 (k) , xn (k) TTnkkkkxxfxxfxxfxf)(,.,)(,)()()(2)(1)()(2222122222212212212212)(2)()(nnnnnkkxfxxfxx

30、fxxfxfxxfxxfxxfxfxfxH梯度 Hesse 矩陣2.4 2.4 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 三三. Hesse. Hesse 矩陣與正定（續(xù)）矩陣與正定（續(xù)）Hesse 矩陣的特性：矩陣的特性： 2222122222212212212212)(2)()(nnnnnkkxfxxfxxfxxfxfxxfxxfxxfxfxfxH是實對稱矩陣。矩陣正定的充要條件：矩陣正定的充要條件：主子式 det(ait)0當(dāng)主子式 det(ait) 0 時，矩陣半正定 det(ait) 0時，矩陣負(fù)定 det(ait) 0時，矩陣半負(fù)定Hesse 矩陣的正定性：矩陣的正定性：H( x* )

31、正定， 是 x* 為全局極小值點的充分條件；H( x* )半正定, 是 x* 為局部極小值點的充分條件；H( x* )負(fù)定， 是 x* 為全局極大值點的充分條件；H( x* )半負(fù)定, 是 x* 為局部極大值點的充分條件。正定的二次函數(shù)：曲面為橢圓拋物面； 等值線族為橢圓曲線族，橢圓中心為極小值點。2.4 2.4 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 四四. . 函數(shù)的凸性函數(shù)的凸性凸集：凸集： 設(shè) D 為歐氏空間 Rn 中X的集合，即 D Rn, X D，若D域內(nèi)任意兩個點x (1)，x (2)的連線上的各點都屬于 D 域，則的集合 D 稱為 Rn 內(nèi)的一個凸集。否則，為非凸集。 凸函數(shù)：凸

32、函數(shù)： f (x)是定義在 n維歐氏空間中，凸集上的函數(shù)，同時x (1)D，x (2)D，0,1，當(dāng)下式成立時，則稱 f(x) 為定義在凸集D上的凸函數(shù)。當(dāng)上式中的為時， f(x)是嚴(yán)格凸函數(shù)。f x(1) +(1-)x(2) f(x(1) +(1-) f( x(2) )2.4 2.4 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)四四. . 函數(shù)的凸性函數(shù)的凸性( (續(xù)）續(xù)）判別函數(shù)為凸函數(shù)的凸性條件：判別函數(shù)為凸函數(shù)的凸性條件： 按梯度判斷凸性：設(shè) f(x) 是定義在凸集 D上具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則 f(x) 在 D上為凸函數(shù)的充要條件是：對于任意的 x (1) , x (2) D 都有 成立。

33、 按二階偏導(dǎo)數(shù)判斷凸性：設(shè) f(x) 是定義在凸集D上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(x)在D上為凸函數(shù)的充要條件是：f(x)的Hesse矩陣處處半正定。若Hesse矩陣處處正定，則f(x)為嚴(yán)格凸函數(shù)。凸函數(shù)的基本性質(zhì)：凸函數(shù)的基本性質(zhì)： 若f(x)是定義在凸集D上的嚴(yán)格凸函數(shù)，則f(x)在D上的一個極小點，也就是全局最小點。 凸函數(shù)的線性組合仍然為凸函數(shù)。 設(shè)x (1) , x (2)為凸函數(shù) f(x) 上的兩個最小點，則其連線上的任意點也都是最小點。)()()()1()2()1()1()2(xxxfxfxfT2.4 2.4 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.5 2.5 優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)

34、解及獲得優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解及獲得 最優(yōu)解的條件最優(yōu)解的條件一一. 優(yōu)化設(shè)計最優(yōu)解優(yōu)化設(shè)計最優(yōu)解無約束優(yōu)化設(shè)計問題最優(yōu)解：無約束優(yōu)化設(shè)計問題最優(yōu)解：約束優(yōu)化設(shè)計問題最優(yōu)解約束優(yōu)化設(shè)計問題最優(yōu)解： 不受約束條件限制，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值的一組設(shè)計變量，即最優(yōu)點 x*=x1*,x2*,x n* 和最優(yōu)值 f (x*)構(gòu)成無約束問題最優(yōu)解。 滿足約束條件，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值的一組設(shè)計變量，即最優(yōu)點 x*=x1*,x2*,x n* 和最優(yōu)值 f (x*)構(gòu)成約束問題最優(yōu)解。2.5 2.5 優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解及獲得優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解及獲得 最優(yōu)解的條件最優(yōu)解的條件二二. 有約束問題最優(yōu)點的幾種情況：有約束問題

35、最優(yōu)點的幾種情況：1. 無適時約束：無適時約束：目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)，可行域是凸集，則最優(yōu)點是內(nèi)點。相當(dāng)于無約束問題的最優(yōu)點。x (k)為最優(yōu)點 x*的條件：必要條件：充分條件： Hesse矩陣H(x (k) )是正定矩陣2. 有適時約束，有適時約束，目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)，可行域是凸集，則目標(biāo)函數(shù)等值線與適時約束曲面的切點為最優(yōu)點，而且是全局最優(yōu)點。0)()(kxf2.5 2.5 優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解及獲得優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解及獲得 最優(yōu)解的條件最優(yōu)解的條件3. 有適時約束有適時約束，但目標(biāo)函數(shù)是非凸函數(shù)（圖 a），或可行域是非凸集（圖 b）：二二. 有約束問題最優(yōu)點的幾種情況：有約束問題最優(yōu)點的幾種情況：

36、則目標(biāo)函數(shù)等值線與適時約束曲面可能存在多個切點，是相對的極值點，其中只有一個點是全局最優(yōu)點。 從數(shù)學(xué)上定義，當(dāng)從 x (k)點出發(fā)不存在一個 S 方向能同時滿足： 和 時，即在x (k)點， , 則獲得最優(yōu)解：x (k) 為最優(yōu)點 x*，f (x (k) )為最優(yōu)值 f (x*)。2.5 2.5 優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解及獲得優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解及獲得 最優(yōu)解的條件（續(xù)最優(yōu)解的條件（續(xù)3 3）0)()(kTxgS三三. K-T (Kuhn-Tucker 庫恩庫恩-塔克塔克) 條件條件1. 有一個適時約束時：有一個適時約束時： 從幾何上看，當(dāng)從 x (k)點出發(fā)不存在一個 S 方向能同時滿足： 與x(k)點

37、目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度方向成銳角，即沿 S 方向目標(biāo)函數(shù)值下降； 與x(k)點約束函數(shù)的梯度方向成鈍角，即保證 S方向上各點在可行域內(nèi)。 此時，獲得最優(yōu)解 x (k) 為最優(yōu)點 x*，f (x (k) )為最優(yōu)值 f (x*)。0)()(kTxfS0),()()()(kkxgxf有適時約束時獲得最優(yōu)解的條件有適時約束時獲得最優(yōu)解的條件 相反，從 x (k)點出發(fā)，若存在一個 S 方向能同時滿足： 和 ，即 時，則 x (k) 不是最優(yōu)點。2.5 2.5 優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解及獲得優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解及獲得 最優(yōu)解的條件最優(yōu)解的條件0)()(kTxfS0)()(kTxgS 從幾何上看，當(dāng)從 x (k)點出發(fā)存

38、在一個 S 方向能同時滿足： 與x(k)點目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度方向成銳角，即沿 S 方向目標(biāo)函數(shù)值下降； 與x(k)點約束函數(shù)的梯度方向成鈍角，即保證 S方向上各點在可行域內(nèi)。 此時， x (k) 不是最優(yōu)點 x*。0),()()()(kkxgxf三三. K-T (Kuhn-Tucker 庫恩庫恩-塔克塔克) 條件條件有適時約束時獲得最優(yōu)解的條件有適時約束時獲得最優(yōu)解的條件2.5 2.5 優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解及獲得優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解及獲得 最優(yōu)解的條件最優(yōu)解的條件0)()(kTxfS)()()()(22)(11)(kkkxgxgxf0, 021三三. K-T (Kuhn-Tucker 庫恩庫恩-塔克塔克

39、) 條件條件2. 有二個適時約束時：有二個適時約束時： x(k)成為約束最優(yōu)點 x* 的必要條件為:, 0)()(1kTxgS0)()(2kTxgS)()(kxf)()(1kxg)()(2kxg 幾何上 位于 和所張的扇形子空間內(nèi)。即必須同時滿足：有適時約束時獲得最優(yōu)解的條件2.5 2.5 優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解及獲得優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解及獲得 最優(yōu)解的條件最優(yōu)解的條件相反，不符合以上條件：0)()(kTxfS0)()(1kTxgS0)()(2kTxgS則 x (k) 點不是最優(yōu)點。幾何上 不位于 和所張的扇形子空間內(nèi)。)()(2kxg)()(kxf)()(1kxg)()(kxf不能表達(dá)成 和的線性組合。)()(1kxg)()(2kxg三三. K-T (Kuhn-Tucker 庫恩庫恩-塔克塔克) 條件條件有適時約束時獲得最優(yōu)解的條件 設(shè)某個設(shè)計點 x (k)，其適時約束集合 ，且 為線性獨立，若目標(biāo)函