第十七章-《勾股定理》教材分析及教學(xué)建議

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第十七章 勾股定理教材分析及教學(xué)建議本章主要內(nèi)容是勾股定理及其逆定理。首先讓學(xué)生通過觀察得出直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方的結(jié)論并加以證明，從而得到勾股定理，然后運(yùn)用勾股定理解決問題。在此基礎(chǔ)上，引入勾股定理的逆定理，并結(jié)合此項內(nèi)容介紹逆命題、逆定理的概念。本章教學(xué)時間約需8課時，具體安排如下：181勾股定理 4 課時182勾股定理的逆定理 3課時數(shù)學(xué)活動小結(jié) 1課時一、教科書內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標(biāo)本章知識結(jié)構(gòu)框圖：直角三角形是一種特殊的三角形，它有許多重要的性質(zhì)，如兩個銳角互余，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半。本章所研究的勾股定理，也是直角三

2、角形的性質(zhì)，而且是一條非常重要的性質(zhì)。勾股定理是幾何中幾個最重要的定理之一，它揭示了一個直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，它可以解決許多直角三角形中的計算問題，是解直角三角形的主要依據(jù)之一，在生產(chǎn)生活實際中用途很大。它不僅在數(shù)學(xué)中，而且在其他自然科學(xué)中也被廣泛地應(yīng)用。目前世界上許多科學(xué)家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等。據(jù)說我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會識別這種“語言”的。這個事實可以說明勾股定理的重大意義，發(fā)現(xiàn)勾股定理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成就。在第一節(jié)中

3、，教科書讓學(xué)生通過觀察計算一些直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積與以斜邊為邊長的正方形的面積的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積，從而發(fā)現(xiàn)勾股定理。勾股定理的證明方法很多，教科書正文中介紹的是一種面積證法。其中的依據(jù)是圖形經(jīng)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變。在教科書中，圖18.13（1）中的圖形經(jīng)過割補(bǔ)拼接后得到圖18.13（3）中的圖形。由此就證明了勾股定理。通過推理證實命題1的正確性后，教科書順勢指出什么是定理。由勾股定理可知，已知兩條直角邊的長a,b，就可以求出斜邊c的長。由勾股定理可得或，由此可知，已知斜邊與一條直角邊的

4、長，就可以求出另一條直角邊的長。也就是說，在直角三角形中，已知兩條邊的長，就可以求出第三條邊的長。教科書相應(yīng)安排了三個探究欄目，讓學(xué)生運(yùn)用勾股定理解決問題。在第二節(jié)中，教科書讓學(xué)生畫出一些兩邊的平方和等于第三邊的平方的三角形，可以發(fā)現(xiàn)畫出的三角形是直角三角形。從而猜想如果三角形的三邊滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。這個猜想可以利用全等三角形證明，得到勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理給出了判定一個三角形是直角三角形的方法。教科書安排了兩個例題，讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)用這種方法。這種方法與前面學(xué)過的一些判定方法不同，它通過代數(shù)運(yùn)算“算”出來。實際上利用計算證明幾何問題學(xué)生已經(jīng)

5、見過，計算在幾何里也是很重要的。從這個意義上講，勾股定理的逆定理的學(xué)習(xí)，對開闊學(xué)生眼界，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)中的各種方法有很大的意義。幾何中有許多互逆的命題，互逆的定理，它們從正反兩個方面揭示了圖形的特征性質(zhì)，所以互逆命題和互逆定理是幾何中的重要概念。學(xué)生已見過一些互逆命題（定理），例如：“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”與“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”；“全等三角形的對應(yīng)邊相等”與“對應(yīng)邊相等的三角形是全等三角形”等，都是互逆命題。勾股定理與勾股定理的逆定理也是互逆的命題，而且這兩個命題的題設(shè)和結(jié)論都比較簡單。因此，教科書在前面已有感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，在第二節(jié)中，結(jié)合勾股定理的逆定理的內(nèi)容的展開，穿插介紹了逆命

6、題、逆定理的概念，并舉例說明原命題成立其逆命題不一定成立。為鞏固這些內(nèi)容，相應(yīng)配備了一些練習(xí)與習(xí)題。本章學(xué)習(xí)目標(biāo)如下：1體驗勾股定理的探索過程，會運(yùn)用勾股定理解決簡單問題；2會運(yùn)用勾股定理的逆定理判定直角三角形；3通過具體的例子，了解定理的含義，了解逆命題、逆定理的概念，知道原命題成立其逆命題不一定成立。二、本章編寫特點（一）讓學(xué)生體驗勾股定理的探索和運(yùn)用過程勾股定理的發(fā)現(xiàn)從傳說故事講起，從故事中可以發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形有這樣的性質(zhì)：以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積。再看一些其他直角三角形，發(fā)現(xiàn)也有上述性質(zhì)。因而猜想所有直角三角形都有這個性質(zhì)，即

7、如果直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么 （教科書把這個猜想記作命題1，把下節(jié)“如果三角形的三邊長滿足，那么這個三角形是直角三角形”記作命題2，便于引出互逆命題）。教科書讓學(xué)生用勾股定理探究三個問題。探究1是木板進(jìn)門問題。按照已知數(shù)據(jù)，木板橫著、豎著都不能進(jìn)門，只能斜著試試。由此想到求長方形門框的對角線的長，而這個問題可以用勾股定理解決。探究2是梯子滑動問題：梯子頂端滑動一段距離，梯子的底端是否也滑動相同的距離。這個問題可以轉(zhuǎn)化為已知斜邊與一條直角邊的長求另一條直角邊的長的問題，這也可以用勾股定理解決。探究3是在數(shù)軸上畫出表示的點。分以下四步引導(dǎo)學(xué)生：（1）將在數(shù)軸上畫出表示的點的問題

8、轉(zhuǎn)化為畫出長為的線段的問題。（2）由長為的線段是直角邊都為1的直角三角形的斜邊，聯(lián)想到長為的線段能否是直角邊為正整數(shù)的直角三角形的斜邊。（3）通過嘗試發(fā)現(xiàn)，長為的線段是直角邊為2,3的直角三角形的斜邊。（4）畫出長為的線段，從而在數(shù)軸上畫出表示的點。（二）結(jié)合具體例子介紹抽象概念在本章中，結(jié)合勾股定理、勾股定理的逆定理介紹了定理、逆命題、逆定理的內(nèi)容。在勾股定理一節(jié)中，先讓學(xué)生通過觀察得出命題1，然后通過面積變形證明命題1。由此說明，經(jīng)過證明被確認(rèn)正確的命題叫做定理。在勾股定理的逆定理一節(jié)中，從古埃及人畫直角的方法談起，然后讓學(xué)生畫一些三角形（已知三邊，并且兩邊的平方和等于第三邊的平方），可以

9、發(fā)現(xiàn)畫出的三角形是直角三角形。因而猜想如果三角形的三邊長滿足，那么這個三角形是直角三角形，即教科書中的命題2。把命題2的條件、結(jié)論與上節(jié)命題1的條件、結(jié)論作比較，引出逆命題的概念。接著探究證明命題2的思路。用三角形全等證明命題2后，順勢引出逆定理的概念。命題1，命題2屬于原命題成立，逆命題也成立的情況。為了防止學(xué)生由此誤以為原命題成立，逆命題一定成立，教科書特別舉例說明有的原命題成立，逆命題不成立。（三）注重介紹數(shù)學(xué)文化我國古代的學(xué)者們對勾股定理的研究有許多重要成就，不僅在很久以前獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了勾股定理，而且使用了許多巧妙的方法證明了它，尤其在勾股定理的應(yīng)用方面，對其他國家的影響很大，這些都是我

10、國人民對人類的重要貢獻(xiàn)。本章介紹了我國古代的有關(guān)研究成果。在引言中介紹我國古算書周髀算經(jīng)的記載“如果勾是三、股是四、那么弦是五”。有很多方法可以證明勾股定理。教科書為了弘揚(yáng)我國古代數(shù)學(xué)成就，介紹了我國古人趙爽的證法。首先介紹趙爽弦圖，然后介紹趙爽利用弦圖證明命題1的基本思路?！摆w爽弦圖”表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲。正因為此，這個圖案被選為2002年在北京召開的世界數(shù)學(xué)家大會的會徽。還在習(xí)題中安排我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中的問題，展現(xiàn)我國古人在勾股定理應(yīng)用研究方面的成果。本章也介紹了國外的有關(guān)研究成果。如勾股定理的發(fā)現(xiàn)是從與畢達(dá)哥拉斯有關(guān)傳說故事引入的。又如

11、勾股定理的逆定理從古埃及人畫直角的方法引入。再如介紹古希臘哲學(xué)家柏拉圖關(guān)于勾股數(shù)的結(jié)論。三、 幾個值得關(guān)注的問題（一）讓學(xué)生獲得更多與勾股定理有關(guān)的背景知識與勾股定理有關(guān)的背景知識豐富，除正文介紹的有關(guān)內(nèi)容外，教科書在“閱讀與思考 勾股定理的證明”中介紹了另外幾種證明勾股定理的方法，還安排了一個數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生收集一些證明勾股定理的方法，并與同學(xué)交流。在教學(xué)中，應(yīng)注意展現(xiàn)與勾股定理有關(guān)的背景知識，使學(xué)生對勾股定理的發(fā)展過程有所了解，感受勾股定理的豐富文化內(nèi)涵，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。特別應(yīng)通過向?qū)W生介紹我國古代在勾股定理研究方面的成就，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想感情，培養(yǎng)他們的民族自

12、豪感，同時教育學(xué)生發(fā)奮圖強(qiáng)，努力學(xué)習(xí)，為將來擔(dān)負(fù)起振興中華的重任打下基礎(chǔ)。（二）適當(dāng)總結(jié)與定理、逆定理有關(guān)的內(nèi)容本章中給出了定理、逆定理的概念，可以在小結(jié)中回顧已學(xué)的一些結(jié)論。例如，在第七章“三角形”中，“三角形的內(nèi)角和等于180°”是由平行線的性質(zhì)與平角的定義推出的，這個結(jié)論也稱為三角形內(nèi)角和定理。又如，在第十三章“全等三角形”中，都是利用三角形全等證明的，前一個結(jié)論也稱為角的平分線的性質(zhì)定理，而后一個結(jié)論是角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理。這樣就可以從定理、逆定理的角度認(rèn)識已學(xué)的一些結(jié)論，明確其中一些結(jié)論之間的關(guān)系?；ツ婷}、互逆定理的概念，學(xué)生接受它們困難不大，對于那些不是以“如果

13、那么”形式給出的命題，敘述它們的逆命題困難較大，是教學(xué)中的一個難點。解決這個難點的方法是，適當(dāng)復(fù)習(xí)命題的有關(guān)內(nèi)容，學(xué)會把一個命題變?yōu)椤叭绻敲础钡男问?。注意這些概念是第一次學(xué)習(xí)，不要要求過高。 下載： 四、教學(xué)建議本章內(nèi)容的重點與難點是勾股定理及其應(yīng)用，勾股定理的逆定理及其應(yīng)用。勾股定理是解幾何題中有關(guān)線段計算問題的重要依據(jù)，也是以后學(xué)習(xí)解直角三角形的主要依據(jù)之一。本章的難點是掌握勾股定理并能熟練的運(yùn)用勾股定理。要注意：在直角三角形中，反映的是直角三角形的三邊關(guān)系。直角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊的平方和。在其它三角形中不存在這樣的關(guān)系。這是一個非常重要的定理。它是把形轉(zhuǎn)化為

14、數(shù)，它的應(yīng)用非常廣泛。勾股定理的逆定理則是把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，通過計算判定一個三角形是否為直角三角形。相關(guān)知識點回顧：（1）直角三角形的兩個銳角互余（2）直角三角形中30度角所對的直角邊等于斜邊的一半。（3）斜邊大于任一條直角邊（4）全等三角形判定方法。（5）面積公式 學(xué)生在本章學(xué)習(xí)中存在認(rèn)知誤區(qū)和思維障礙。(1)忽視題目中的隱含條件。如在RtABC中，B90，a，b，c分別為三條邊，a3，b4，求邊c的長。不少學(xué)生會認(rèn)為c5，忽視了b是斜邊這一隱含條件。(2)忽視定理成立的條件是在直角三角形中，有的同學(xué)看到三角形的兩邊是3和4，就會認(rèn)為第三邊是5，(3)考慮問題不全面造成漏解如已知直角三角形的兩邊

15、長分別為5和12，求第三邊。(4)通過添加輔助線將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形如(a)連結(jié)兩點構(gòu)造直角三角形（b）作高構(gòu)造直角三角形（c）構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)問題。教學(xué)建議本章教學(xué)教師可采用主體性學(xué)習(xí)的教學(xué)模式， 提出問題讓學(xué)生思考，設(shè)計問題讓學(xué)生做，錯誤原因讓學(xué)生找，方法與規(guī)律讓學(xué)生歸納教師的作用在于組織、點撥、引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生主動探索、積極思考、大膽想象、總結(jié)規(guī)律，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生真正成為教學(xué)活動的主人。本章的教學(xué)步驟可分五步：探索結(jié)論驗證結(jié)論 初步應(yīng)用結(jié)論 證明結(jié)論應(yīng)用結(jié)論解決實際問題。1 、在探索結(jié)論階段，應(yīng)調(diào)動學(xué)生的積極性，讓學(xué)生充分參與例如，教材設(shè)計了在方格紙上通過計算

16、面積的方法探索勾股定理的活動，教師鼓勵學(xué)生嘗試求出方格中三個正方形的面積、比較這三個正方形的面積的關(guān)系，由此得到直角三角形三邊的關(guān)系、通過對幾個特殊例子的考察歸納出直角三角形三邊之間的一般規(guī)律，運(yùn)用自己的語言表達(dá)探索過程和所得結(jié)論。2 、在勾股定理的探索和驗證過程中，數(shù)形結(jié)合的思想有較多的體現(xiàn)例如，在探索勾股定理的過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生由正方形的面積想到；而在勾股定理的驗證過程中，教師又應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生由數(shù)想到正方形的面積3 、初步應(yīng)用結(jié)論階段的重點是讓學(xué)生明確：在直角三角形中，知道兩邊的長度，可以求得第三邊的長度，教師應(yīng)充分利用教材讓學(xué)生體會勾股定理及其逆定理在現(xiàn)實世界中有著較為廣泛的應(yīng)用，如埃及

17、人利用結(jié)繩的方法作出直角，利用勾股定理求出螞蟻的最短路線等。4 、證明結(jié)論階段主要是理清思路，而不只是介紹某一種證明方法教師在教學(xué)中應(yīng)激發(fā)學(xué)生探索更多的證明方法，注意訓(xùn)練學(xué)生書寫規(guī)范。5、 應(yīng)用結(jié)論解決實際問題要注意強(qiáng)調(diào)兩類問題：探索性問題和應(yīng)用性問題通過問題的解決，讓學(xué)生學(xué)會從不同角度分析問題、解決問題；讓學(xué)生學(xué)會引申、變更問題，以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的創(chuàng)造能力 例 有一個邊長為50分米的正方形洞口，問用直徑為多長的圓形鐵片來堵住洞口？表面看上去這是一個有關(guān)圓的問題。其實圓形鐵片的直徑就應(yīng)該是等腰三角形的斜邊長邊長是50分米，把它看成一個直角三角形，然后用勾股定理，兩條直角邊的平方和等

18、于斜邊的平方。就是50x50+50x50=5000 ，答案是502=70.5要求學(xué)生記住勾股定理， 然后對待問題套公式， 這樣可以解決一系列的問題6 、注重介紹數(shù)學(xué)史，凸顯數(shù)學(xué)的文化價值7 、關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過程的評價，對于本章的學(xué)習(xí)，除了考查勾股定理的解題應(yīng)用外，還應(yīng)該關(guān)注對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的評價。例如，讓學(xué)生動手截、割、拼、補(bǔ)，使學(xué)生參與定理的發(fā)現(xiàn)、探索、驗證過程，既能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的直觀能力，又能體現(xiàn)教學(xué)的針對性、活動性、開放性與合作性。五 常見典型錯誤簡析EBA(1)如何求第三邊?例1 在RtABC中，B90，a，b，c分別為三條邊，a3，b4，求邊c的長。不少學(xué)生會認(rèn)為c5，忽視了b是斜邊這一

19、隱含條件。例2 判斷：在ABC中，AC3，BC4，求AB的長不少學(xué)生會認(rèn)為AB=5, 忽視了ABC是直角三角形這個條件。例3 已知直角三角形的兩邊長分別為5和12，求第三邊。不少學(xué)生會認(rèn)為第三邊為13，忽視了12可能是直角邊也可能是斜邊。例4 如圖，A 45， B=D=90 ，BC=1，AD2， 求CD的長。不少學(xué)生會在四邊形ABCD里面加輔助線，破壞了已知的條件。增加了解題的難度。應(yīng)該把AB,CD邊延長，構(gòu)造出新的直角三角形，利用勾股定理解題。 (2)螞蟻怎么走最近?例5 如圖，有一個圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米在圓柱的下底面A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的C點處

20、的食物，需要爬行的最短路程是多少?(的值取3) CBB本題常見錯誤有兩個：一是不能正確地將圓柱的側(cè)面展開，從而無法進(jìn)行求解；二是誤將圓柱側(cè)面展開圖(矩形)的對角線作為所求的ACBCDAA (3)木板能否經(jīng)過門框?例6 一個門框的長為2m,寬為1m,如圖所示，一塊長3 m，寬2.2m的薄木板能否從門框內(nèi)通過?為什么?不少學(xué)生一看此題，就會給出答案：不能而不知應(yīng)先利用勾股定理求出AC的長再進(jìn)行判斷。 (4)梯子底端下滑幾米?例7 一個3 m長的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO的距離為25 m，如果梯子的頂端A沿墻下滑05m，那么梯子底端B也外移05嗎？本題學(xué)生容易錯誤地理解為梯子的頂端A

21、沿墻下滑05 m 時，梯子底端C向外移動的距離是CD ，因為梯子的長度沒有改變，認(rèn)為CD=AE，得出錯誤解答。 (5)湖水如何知深淺?例8 “荷花問題”：“平平湖水清可鑒， 面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊，漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠(yuǎn)；能算諸君請解題，湖水如何知深淺?”請用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識解答這個問題 六 中考熱點勾股定理在中考數(shù)學(xué)中單獨(dú)命題考查的選擇題和填空題相對較少，而主要是與方程、函數(shù)、四邊形、圓以及相似形等知識綜合在一起考查，靈活性強(qiáng)，涉及面廣、能力要求高。1(2009年達(dá)州)圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是A13 B26 C47 D94 【答案】CACD