基本不等式及應用

1、，（當且僅當時，取等號）變形：，重要不等式：如果，則（當且僅當時，取“”號）為的算術平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù)。4（文科不作要求）三元基本不等式：若，則4. 圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m,新墻的造價為180元/m,設利用的舊墻的長度為(單位：元)。（1）將總造價表示為的函數(shù)；（2）試確定,使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用。 當且時， 時，4對任意正實數(shù)，恒成立,則正實數(shù)的最小值為2 4 6 85已知，則的最小值是A2B

2、C4D5 8設若的最小值為 A 8 B4 D1 ， 已知，則的最小值 經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內(nèi)，某公路段汽車的車流量（千輛/小時）與汽車的平均速度（千米/小時）之間的函數(shù)關系為：。（1）在該時段內(nèi)，當汽車的平均速度為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？（精確到千輛/小時）（2）若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時，則汽車站的平均速度應在什么范圍內(nèi)？17某單位決定投資3200元建一倉庫（長方體狀），高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側墻砌磚，每米長造價45元，頂部每平方米造價20元。（1）設鐵柵長為米，一堵磚墻長為米，求函數(shù)的解析式；（2）為使倉

3、庫總面積達到最大，正面鐵柵長應為多少米？18周長為12的矩形圍成圓柱（無底），當圓柱的體積最大時，圓柱的底面周長與圓柱的高的比為多少？ 參考答案三、例題分析：例1已知，則的最大值是_.例2已知，且，求（1）的最小值；（2）的最小值。解：（1）由，得， 又，則，得，當且僅當時，等號成立。 （2）法1：由，得， 則 ，當且僅當，即時，等號成立。法2：由，得，則=。例3求下列函數(shù)的最小值（1）（2）已知，且求的最大值及相應的x，y的值。解：（1）換元法，設，則， 且當且僅當，即時，等號成立。則函數(shù)的最小值是9。 （2）由，且得 ，當且僅當，即，時，等號成立。故當，時，的最大值是例4圍建一個面積為36

4、0m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m,新墻的造價為180元/m,設利用的舊墻的長度為(單位：元)。（1）將總造價表示為的函數(shù)：（2）試確定,使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用。解：（1）如圖，設矩形的另一邊長為 m則由已知,得,所以(II).當且僅當=時，等號成立.即當時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10440元.四、練習題：解析：4解析 不等式對任意正實數(shù)，恒成立，則9， 2或4(舍去)，所以正實數(shù)的最小值為4，選B5解析 因為當且僅當

5、，且 ，即時，取“=”號。11_12 _.13 _ 3_.14 _.15已知且，求的最大值。解：且，即，當且僅當時，等號成立。經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內(nèi)，某公路段汽車的車流量（千輛/小時）與汽車的平均速度（千米/小時）之間的函數(shù)關系為：。（1）在該時段內(nèi)，當汽車的平均速度為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？（精確到千輛/小時）（2）若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時，則汽車站的平均速度應在什么范圍內(nèi)？17某單位決定投資3200元建一倉庫（長方體狀），高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側墻砌磚，每米長造價45元，頂部每平方米造價20元。（1）設鐵柵長為米，一堵磚墻長為米，求函數(shù)的解析式；（2）為使倉庫總面積達到最大，正面鐵柵應設計為多長？17解：（1）因鐵柵長為米，一堵磚墻長為米，則頂部面積為 依題設，則，故（2）令，則則當且僅當，即時，等號成立所以當鐵柵的長是15米時，倉庫總面積達到最大，最大值是解法二：依題設，由基本不等式得，即，故，從而所以的最大允許值是100平方米，取得此最大值的條件是且，求得，即鐵柵的長是15米。18周長為12的矩形圍成圓柱（無底），當圓