全等三角形證明一對(duì)一輔導(dǎo)講義

1、教學(xué)目標(biāo) 1、掌握全等三角形的性質(zhì)及判定； 2、全等三角形證明方法及過(guò)程重點(diǎn)、難點(diǎn) 全等三角形證明過(guò)程考點(diǎn)及考試要求全等三角形的證明教 學(xué) 內(nèi) 容第一課時(shí) 全等三角形證明知識(shí)梳理課前檢測(cè)1、如圖,MBND,MBANDC,以下不能判定ABMCDN的條件是 AMNBABCDCAMCNDAMCN2、某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎也成了三塊,現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃,那么最省事的方法是 A帶去B帶去C帶去D帶和去第1題第2題3、以下條件不可以判定兩個(gè)直角三角形全等的是 A兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等B兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等C一條直角邊和它所對(duì)的銳角對(duì)應(yīng)相等D一個(gè)銳角和銳角所對(duì)的直角邊對(duì)應(yīng)相等 4、AD是AB

2、C中BC邊上的中線，假設(shè)AB4，AC6，那么AD的取值范圍是 A.AD1 B.AD5 C.1AD5 D.2AD105、如下圖，ABEACD，B70°，AEB75°，那么CAE_°. 知識(shí)梳理一、找全等三角形的方法：1可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段或角分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；2可以從條件出發(fā)，看條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等；3從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個(gè)三角形全等；4假設(shè)上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形全等的證明中包含兩個(gè)要素：邊和角。1缺個(gè)角的條件： 1、公共角 2、對(duì)頂角 3、兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 4、

3、等腰三角形 5、同角或等角的補(bǔ)角余角 6、等角加減等角 7、平行線 8、等于同一角的兩個(gè)角相等2缺條邊的條件： 1、公共邊 2、中點(diǎn) 3、等量和 4、等量差 5、角平分線性質(zhì) 6、等腰三角形 7、等面積法 8、線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等 9、兩全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等 10、等于同一線段的兩線段相等第二課時(shí) 全等三角形證明典型例題典型例題一一一、截取構(gòu)全等如下左圖所示，OC是AOB的角平分線，D為OC上一點(diǎn)，F(xiàn)為OB上一點(diǎn)，假設(shè)在OA上取一點(diǎn)E，使得OE=OF，并連接DE，那么有OEDOFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。 例：如上右圖所示，AB/CD，BE平分BCD，CE平

4、分BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。提示：在BC上取一點(diǎn)F使得BF=BA，連結(jié)EF。二、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。如下左圖所示，過(guò)AOB的平分線OC上一點(diǎn)D向角兩邊OA、OB作垂線，垂足為E、F，連接DE、DF。那么有：DE=DF，OEDOFD。 例：如上右圖所示，AB>AD, BAC=FAC,CD=BC。求證：ADC+B=180 三、作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形。如下左圖所示，從角的一邊OB上的一點(diǎn)E作角平分線OC的垂線EF，使之與角的另一邊OA相交，那么截得一個(gè)等腰三角形OEF，垂足為底邊上的中點(diǎn)D，該角平

5、分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。如果題目中有垂直于角平分線的線段，那么延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交，從而得到一個(gè)等腰三角形，可總結(jié)為：“延分垂，等腰歸。 例1：如上右圖所示，BAD=DAC，AB>AC,CDAD于D，H是BC中點(diǎn)。求證：DH=AB-AC提示：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E，那么可得全等三角形。問(wèn)題可證。例2：，如圖，在RtABC中，AB = AC，BAC = 90o，1 = 2 ，CEBD的延長(zhǎng)線于E,求證：BD = 2CE提示：延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。四、作平行線構(gòu)造等腰三角形作平行線構(gòu)造等腰三角形分為以下兩種情況：如下左圖所示，過(guò)

6、角平分線OC上的一點(diǎn)E作角的一邊OA的平行線DE，從而構(gòu)造等腰三角形ODE。如下右圖所示，通過(guò)角一邊OB上的點(diǎn)D作角平分線OC的平行線DH與另外一邊AO的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，從而構(gòu)造等腰三角形ODH。 五、由線段和差想到的輔助線1遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下局部等于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)局部等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。在ABC中，AD平分BAC，ACB2B，求證：ABACCD。 2對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差

7、小于第三邊，故可想方法放在一個(gè)三角形中證明。在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。例1：如圖1-1：D、E為ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:ABACBDDECE.法1證明：將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC 于M、N，在AMN中，AMAN MDDENE;1 在BDM中，MBMDBD； 2 在CEN中，CNNECE； 3 由123得： AMANMBMDCNNEMDDENEBDCE ABACBDDEEC 法2如圖1-2， 延長(zhǎng)BD交 AC于F，延長(zhǎng)CE交BF于G，在ABF和GFC和GDE中有：

8、 ABAF BDDGGF 三角形兩邊之和大于第三邊1 GFFCGECE同上2 DGGEDE同上3 由123得： ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDEABACBDDEEC。六、由中點(diǎn)想到的輔助線 在三角形中，如果一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)等腰三角形底邊中線性質(zhì)，然后通過(guò)探索，找到解決問(wèn)題的方法。1中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1，AD是ABC的中線，那么SABD=SACD=SABC因?yàn)锳BD與ACD是等底同高的。例1、如圖2，ABC中，AD是中線，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，DF是DCE的中線。ABC的

9、面積為2，求：CDF的面積。2倍長(zhǎng)中線中點(diǎn)、中線問(wèn)題應(yīng)想到倍長(zhǎng)中線，由中線的性質(zhì)可知，一條中線將中點(diǎn)所在的線段平分，可得到一組等邊，通過(guò)倍長(zhǎng)中線又可得到一組等邊及對(duì)頂角，因而可以得到一組全等三角形。如圖，延長(zhǎng)AD到E，使得AD=AE，連結(jié)BE。例2、如圖5，ABC中，AD是BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ABC是等腰三角形。7、 驗(yàn)證中點(diǎn)、中線問(wèn)題，應(yīng)構(gòu)造平行線如圖，過(guò)B作BE平行AC交AD延長(zhǎng)線于E。例3如圖3，在等腰ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延長(zhǎng)線上截取CE，且使CE=BD連接DE交BC于F求證：DF=EF第三課時(shí) 全等三角形證明課堂檢測(cè)課堂檢測(cè) 一、填空

10、題1·如圖1，C=E，1=2，AC=AE，那么ABD按邊分是_ 三角形2·如圖2，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，交BD于P，那么PD_PE填“<或“>或“=3如圖3，ABC中，AB=AC，現(xiàn)想利用證三角形全等證明B=C，假設(shè)證三角形全等所用的公理是SSS公理，那么圖中所添加的輔助線應(yīng)是_ 圖1 圖2 圖3 圖44 一個(gè)三角形的三邊為2、5、x，另一個(gè)三角形的三邊為y、2、6，假設(shè)這兩個(gè)三角形全等，那么x+y=_5 如圖4，AD=AE，假設(shè)AECADB，那么需增加的條件是_至少三個(gè)2、 選擇題6如圖8，圖中有兩個(gè)三角形全等，且A=D，AB與DF是對(duì)應(yīng)邊，

11、那么以下書寫最標(biāo)準(zhǔn)的是 AABCDEFBABCDFECBACDEFDACBDEF7如圖9，AC=AB，AD平分CAB，E在AD上，那么圖中能全等的三角形有_對(duì)A1B2C3D4 圖8 圖9圖10圖118如圖10，ABC中，D、E是BC邊上兩點(diǎn)，AD=AE，BE=CD，1=2=110°，BAE=60°，那么CAD等于 A70° B60° C50°D110°9如圖11，ABCD，且AB=CD，那么ABECDE的根據(jù)是 A只能用ASAB只能用SASC只能用AASD用ASA或AAS10如圖12，ABCAEF，AB和AE，AC和AF是對(duì)應(yīng)邊，那么

12、EAC等于 AACBBBAFCFDCAF11如圖13，ABC中，C=90°，AC=BC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E且AB=6 cm，那么DEB的周長(zhǎng)為 A40 cmB6 cmC8 cmD10 cm 圖12圖13圖1412如圖14，1=2，C=D，AC，BD相交于點(diǎn)E，下面結(jié)論不正確的選項(xiàng)是 ADAE=CBEBDEA與CEB不全等CCE=CDDAEB是等腰三角形三、解答題13EF是AB上的兩點(diǎn)，AE=BF，ACBD，且AC=DB，求證：CF=DE 圖1514一塊三角形玻璃損壞后，只剩下如圖16所示的殘片，你對(duì)圖中作哪些數(shù)據(jù)測(cè)量后就可到建材部門割取符合規(guī)格的三角形玻璃并說(shuō)明理由圖1615如圖17，在AB