第30講巧總結(jié)幾種常見的解題方法

1、 才子教育 小學(xué)奧數(shù)系列第30講 巧總結(jié)幾種常見的解題方法巧點晴方法和技巧數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題涉及的知識量大，題型各異，解題中“一把鑰匙開千把鎖“的辦法和思路幾乎沒有，但是人們在長期的實踐中積累了一些經(jīng)驗，可以使我們在解題中少走彎路。解決數(shù)學(xué)題不僅要有數(shù)學(xué)智慧，還要有靈活的解題方法和思路。在此，我們對幾種常見的解題方法略作介紹。巧指導(dǎo)例題精講一、充分利用直觀性原理充分利用直觀性，就是借助線段、表格或圖形來幫助思考，使思路簡捷、形象?！纠?】甲、乙、丙、丁四人拿出同樣多的錢，合伙購?fù)瑯右?guī)格的若干件貨物。貨物買來后，甲、乙、丙分別比丁多拿了3，7，14件貨物，最后結(jié)算，乙付給丁14元，那么丙應(yīng)付給

2、丁多少元？解 甲、乙、丙、丁拿出同樣多的錢，就該買同樣規(guī)格和件數(shù)的貨物。用設(shè)數(shù)法，假設(shè)丁實際拿了10件，根據(jù)題意，列出下表：甲乙丙丁實拿13172410應(yīng)拿16161616實拿與應(yīng)拿之差差3多1多8=5+3差6借助平均數(shù)“移多補(bǔ)少”的原則，乙付給丁恰好是一件貨物的錢：14÷1=14（元）。由上表可知，丙應(yīng)付給丁5件貨物的錢：14×5=70（元）。答：丙應(yīng)付給丁70元?！纠?】一輛汽車按計劃速度行駛了1小時，剩下的路程用計劃速度的繼續(xù)行駛，到達(dá)目的地的時間比計劃遲了2小時。如果按計劃速度行駛的路程再增加60千米，則到達(dá)目的地的時間比計劃只遲1小時。問：計劃速度是多少？全程有多

3、長？分析與解 這類問題要考慮三個因素：路程、速度、時間，我們可以用長方形圖來幫助解決，如圖1。用長方形的長表示速度，寬表示時間，則長方形的面積表示距離。行駛1小時后，再將原速度分成“5”份，由題意，可得圖2。S2=S3，S1=S3，所以S2=S1。所以，原時間=2×1=4（時）。原速度行駛的路程再增加60千米，同樣把原速度分成“5”份，同理：S2=S3，S1=S3，所以S2=S1。易知原速度行60千米的時間=4×11=1.5(時)原速=60÷1.5=40(千米/時)全程=40×4=160(千米)答:計劃速度是40千米/時,全程長160千米.二、嘗試與遞推

4、是契機(jī)數(shù)學(xué)中有一類問題，按常規(guī)的方法去思考，一時不容易理出頭緒，這時常常需要我們退到最簡單的情形。著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授說過：“善于退，退到原始而不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要訣竅?！睆摹霸嫉摹?、“簡單的”情形開始枚舉嘗試，得出一些初步的結(jié)果，并逐次利用所得到的結(jié)果，推出后面的結(jié)論，這種方法蘊(yùn)含的基本思路就是嘗試、猜想、遞推的方法。【例3】 有一串?dāng)?shù)排成一行，從第三個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)的和。已知這串?dāng)?shù)的第2000個和2001個數(shù)被3除的余數(shù)都是1，問：這串?dāng)?shù)的第20個數(shù)被3除余幾？解個數(shù)第1990第1991第1992第1993第1994第1995第1996第1997第1998第1

5、999第2000第2001余數(shù)101120221011從第2 001個數(shù)往前倒回去，余數(shù)是按照“1，1，0，1，2，2，0，2”的規(guī)律循環(huán)（周期為8）反復(fù)出現(xiàn)的。利用這個規(guī)律：（2 00119）÷8=2476，第20個數(shù)被3除的余數(shù)恰好與第1 996個數(shù)被3除的余數(shù)相同，為2?！纠?】設(shè)A，B，C，D是一個正四面體的頂點（如右圖），每條棱長1米。一只小蟲從頂點A出發(fā)，按照下列規(guī)律爬行：在每一個頂點相交的三條棱中選一條（三條棱選到的可能性相等），然后從這條棱爬到另一點。設(shè)小蟲爬了7米路程之后，又回到頂點A的可能性為P=，求M的值。分析與解 設(shè)從A出發(fā)走過n米回到A點的走法為an種。由于

6、從A出發(fā)走n1米的走法共有3n1種（由乘法原理可知），其中an1種走到A的，下一步一定離開A。除去這an1,其余的每一種都可以再走1米到達(dá)A點。因此有：an=3n1an1a737易知：a1=0,a2=3210=3,a3=3313=6,a4=3416=21,a5=35121=60,a6=36160=24360=183,a7=371183=546.不難得出：P= =,即M=182。三、利用“對稱”解題“對稱”是數(shù)學(xué)美的一種重要形式。靈活地運(yùn)用“對稱”既能幫助我們迅速、準(zhǔn)確地找到解題捷徑，又能使我們領(lǐng)略數(shù)學(xué)獨特的美感。這里主要介紹中心對稱的應(yīng)用。【例5】將下圖1分割成形狀和大小一樣的四塊，并且每一塊

7、恰好都有“異”、“想”、“天”、“開”四個字。分析與解 一個正方形要分成形狀和大小一樣的四塊，根據(jù)它的對稱性，一般是從中心點分開。因為相對的兩個數(shù)字必須分開，所以我們先將兩個并列在一起的“開”字分開，在兩個“開”之間畫上一段劃分線，然后將它分別繞中心旋轉(zhuǎn)90度、180度、270度，得到另外三種劃分線，如圖2。依上述方法，可以畫出所有這樣的劃分線。如圖3中間的四個小方格，分屬于四小塊，不可能兩格同屬一塊，因此也要分開。這個正方形的面積是64個面積單位，因此切開后的每一塊的面積為16個面積單位，即由16個小方格組成。在圖3的基礎(chǔ)上，從最里層開始，沿著劃分線即可得到圖4。【例6】將一邊長28厘米的正

8、方形奶油蛋糕分成面積相等的7塊，要求每一塊都通過正方形的中心。分析與解 如果把蛋糕分成都要通過中心的面積相等的8塊，很容易解決，如圖1。如何分成面積相等的7塊呢？我們從圖1中得到啟發(fā)，分成面積相等的7塊，也應(yīng)從中心呈“放射”形，但不能保證每個圖形都是三角形。通過計算得出正方形的面積為28×28=784（厘米2），而分成的每一個圖形的面積為×784=112（厘米2）。由于其中至少有一個圖形是三角形,此三角形的高為14厘米,則三角形的底為112×2÷14=16(厘米)。因此，從正方形某一個頂點開始，沿正方形的邊每隔16厘米取一點，然后，把這些點與中心連接，得

9、到圖2。從上面的討論可知，分成的圖開中有三角形，其面積為112厘米2，分成的四邊形的面積是否與三角形相等呢？為什么？想一想，要把一個正方形的蛋糕分成面積相等的n塊，方法是怎樣的？四、從“結(jié)論”出發(fā)從問題的結(jié)論入手，逐步找出結(jié)論成立的充分條件，也是我們解決難題的一種常見的思路?！纠?】如下圖的7種圖形，如果只用其中一種圖形拼成面積是16的正方形，那么可用的圖形是哪些？分析與解 取四個圖形（5）或（7），很快就能拼成4×4的正方形。對于圖（1）、圖（2），先取出同樣的兩個，拼成2×4的長方形，如下圖。再用同樣的兩個長方形就可以拼成4×4的正方形。對于圖（6），先取兩個

10、拼成右圖中右邊所示的部分，再取兩個可填滿4×4的正方形的其余部分。我們觀察圖（3），由于4×4的正方形的邊長都是4個單位，因此先取兩個圖（3）拼合，只有圖（a）、圖（b）、圖（c）三種可能。我們發(fā)現(xiàn)不論圖（a）、圖（b）、圖（c）在4×4的正方形中如何放置，總存在孤立的1×1小方形，顯然，用圖（3）不能拼成4×4的正方形。同理，用（4）也不行。綜上所述，可用的圖形有（5）、（7）、（1）、（2）、（6）五種?！纠?】自然數(shù)1, 2,，2001滿足1232001=1·2··2001，求1，2，3，2001中的最大值。

11、分析與解 不失一般性，可設(shè)12320002001，則有2001112200120012001，從而200111·2··2000·200120012001，1×1××11×2××20002001。 2000個1當(dāng)且僅當(dāng)1，2，1999取最小值時，2001有最大值。數(shù)學(xué)思考方法還很多，這里就不一一舉例了。親愛的同學(xué)們，相信你們在實踐中會想出許多更好的辦法。巧練習(xí)溫故知新（三十）1.一輛汽車從甲地開往乙地，如果以原速度行駛1小時后，再將速度提高20%，可以比原定的時間提前1小時到達(dá)；如果以原速度再多行

12、75千米，再將速度提高25%，則可提前40分鐘到達(dá)。求甲、乙兩地間的距離。2.有甲、乙、丙三家報社在同一條街上送報紙。這條街共有100戶，每家報社都從某戶人家開始按自己的順序往后送，已知甲送了75戶，乙送了60戶，丙送了52戶，那么甲、乙、丙共同送過的人家至少有多少戶？3.有排在同一圓上的A、B、C、D、E、F、G七大城市，體育運(yùn)動組委會決定授給它們紅、黃、藍(lán)三種旗幟中的一種會旗，要求相鄰兩城市的會旗顏色不同，有多少種不同的分配方法？4.下圖是一個正六邊形，要求過A點在正六邊形內(nèi)引兩條直線段，把正六邊形分成面積相等的三部分。5.將下圖分成大小、形狀相同的三塊，每塊都帶一個小五星。6.請把1，2，16這些數(shù)分成兩組，每組8個數(shù)，使每組中任意兩個數(shù)的和都是另一組中的某一數(shù)或某兩個數(shù)的和。7.如果數(shù)a1a2an=a1a2an,即各位數(shù)上的數(shù)字的若干次方的和等于原數(shù)