軸對(duì)稱(chēng)及將軍飲馬問(wèn)題.教師版

1、實(shí)用文案軸對(duì)稱(chēng)及“將軍飲馬”問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)睛軸對(duì)稱(chēng)圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形.這條直線就是（或軸）對(duì)稱(chēng).它的對(duì)稱(chēng)軸.這時(shí)我們就說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線 如下圖， ABC是軸對(duì)稱(chēng)圖形.兩個(gè)圖形軸對(duì)稱(chēng):標(biāo)準(zhǔn)文檔把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就是說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng),這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn).如下圖， MBC與 M'B'C'關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，l叫做對(duì)稱(chēng)軸.A和A', B和B', C和C'是對(duì)稱(chēng)點(diǎn).軸對(duì)稱(chēng)圖形和兩個(gè)圖形軸對(duì)稱(chēng)的區(qū)別和聯(lián)

2、系:軸對(duì)稱(chēng)圖形兩個(gè)圖形軸對(duì)稱(chēng)區(qū) 別圖形的個(gè)數(shù)1個(gè)圖形2個(gè)圖形對(duì)稱(chēng)軸的條 數(shù)一條或多條只啟1條聯(lián)系二者都的關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)軸的性質(zhì)：對(duì)稱(chēng)軸所在直線經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段.即：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)， 那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.類(lèi)似地，軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所 連線段的垂直平分線.線段的垂直平分線：經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.如圖，直線l經(jīng)過(guò)線段AB的中點(diǎn)O,并且垂直于線段 AB,則直線l就是線段AB的垂直平分線.I-5""線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段

3、兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等. 如圖，點(diǎn)P是線段AB垂直平分線上的點(diǎn)，則 PA = PB.線段垂直平分線的判定：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸的畫(huà)法：如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，其對(duì)稱(chēng)軸就是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.因此，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸.成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形的主要性質(zhì)：成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形全等如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線軸對(duì)稱(chēng)變換的方法應(yīng)用：軸對(duì)稱(chēng)變換是通過(guò)作圖形關(guān)于一直線的對(duì)稱(chēng)圖形的手段，把圖形中的某一圖形對(duì)稱(chēng)地移動(dòng)到一個(gè)新的位置上,使

4、圖形中的分散條件和結(jié)論有機(jī)地聯(lián)系起來(lái).常用的輔助線有角平分線條件時(shí)的各種輔助線，本質(zhì)上都是對(duì) 稱(chēng)變換的思想.軸對(duì)稱(chēng)變換應(yīng)用時(shí)有下面兩種情況：圖形中有軸對(duì)稱(chēng)圖形條件時(shí)，可考慮用此變換；圖形中有垂線條件時(shí)，可考慮用此變換.重、難點(diǎn)重點(diǎn)：理解軸對(duì)稱(chēng)的概念，并且熟悉掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)以及作圖，同時(shí)理解軸對(duì)稱(chēng) 變換的概念，能很好的做出軸對(duì)稱(chēng)變換的圖形，并能很好的利用軸對(duì)稱(chēng)的知 識(shí)來(lái)解決題目難點(diǎn)：運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)變換來(lái)解決實(shí)際題目，以及軸對(duì)稱(chēng)的生活中的實(shí)際運(yùn)用例題精講板塊一、軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形的認(rèn)識(shí)【例1】下列“ QQ表情”中屬于軸又稱(chēng)圖形的是 （）物與芍AB.C.D.【解析】C【鞏固】【解析】例2【解析】【鞏固

5、】【解析】【鞏固】【解析】C.（09湖南株洲）下列四個(gè)圖形中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A.B.C.D.（2004瀘州）下列各種圖形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A B C D（2003吉林）下面四個(gè)圖形中，從幾何圖形的性質(zhì)考慮，哪一個(gè)與其他三個(gè)不同？請(qǐng)指出這個(gè)圖形,并簡(jiǎn)述你的理由.；四個(gè)圖形中，只有圖不是軸對(duì)稱(chēng)圖形.例3如圖，它們都是對(duì)稱(chēng)圖形，請(qǐng)觀察并指出哪些是軸對(duì)稱(chēng)圖形，哪些圖形成軸對(duì)稱(chēng).2MN0（1）II 9 2sL份【解析】例4【解析】【鞏固】【解析】例5【解析】例6【解析】25 O（10）軸對(duì)稱(chēng)圖形：1, 3, 4,成軸對(duì)稱(chēng)的圖形有：2,6, 8, 105, 7, 9（09黑龍江哈爾濱）下列圖形

6、中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（(B)（C）(A)D（2004北京）下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A.等腰三角形B.等腰梯形C.正方形D.平行四邊形C（2003四川）我國(guó)主要銀行的商標(biāo)設(shè)計(jì)基本上都融入了中國(guó)古代錢(qián)幣的圖案, 標(biāo)圖案中是軸對(duì)稱(chēng)圖形而不是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）©G（S>ABCDC（2003北京市海淀區(qū)）羊年話“羊”字象征著美好和吉祥, 對(duì)稱(chēng)圖形白個(gè)數(shù)是（）A. 1;B, 2;B, 3; D. 4B)(D)卜列我國(guó)四大銀行的商字有關(guān)，其中是軸【解析】【例7】 【解析】【鞏固】（08山東省青島市）下列圖形中，軸對(duì)稱(chēng)圖形的個(gè)數(shù)是 （）如圖所示的

7、圖案是我國(guó)幾家銀行標(biāo)志，其中軸對(duì)稱(chēng)圖形有（）A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)B;C（上海）正六邊形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有 條對(duì)稱(chēng)軸.6 .點(diǎn)撥：可以畫(huà)出例圖進(jìn)行分析，明確正 n邊形有n條對(duì)稱(chēng)軸.【鞏固】（2003河北省）下列圖案中，有且只有三條對(duì)稱(chēng)軸的是【鞏固】（08蘇州）下列圖形中，軸對(duì)稱(chēng)圖形 的是A.BC.下列圖形中對(duì)稱(chēng)軸最多的是（）A.圓B.正方形C.等腰三角形D線段【解析】D；A例8作出下圖所示的圖形的對(duì)稱(chēng)軸:【解析】答案見(jiàn)右上圖.【鞏固】作出下圖所示的成軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸:【解析】答案見(jiàn)右上圖.【例9】求作線段AB的垂直平分線A【解析】略【例10已知：如圖，ZABC及兩點(diǎn)M、N .求作：點(diǎn)

8、P,使得PM =PN ,且P點(diǎn)到/ABC兩邊所在的直 線的距離相等.【解析】因?yàn)槭莾蛇吽诘闹本€，所以有兩個(gè)答案.答案一：/ABC內(nèi)角平分線與線段 MN的垂直平分線的交點(diǎn)C答案二：/ABC外角平分線與線段 MN的垂直平分線的交點(diǎn)【例11】（2003長(zhǎng)沙）如圖，請(qǐng)根據(jù)小文在鏡中的像寫(xiě)出他的運(yùn)動(dòng)衣上的實(shí)際號(hào)碼:【解析】108【例12】（2004河南）如圖，直線l是四邊形ABCD的對(duì)稱(chēng)軸，若 AB=CD,有下面的結(jié)論： AB II CD AC _LBD AO=OC AB_LBC,其中正確的結(jié)論有 .【解析】【鞏固】（2003安徽）如圖，l是四邊形ABCD的對(duì)稱(chēng)軸，如果AD II BC ,有下列結(jié)論：

9、AB II CDAB = BC AB_LBCAO =OC .其中正確的結(jié)論是 .（?把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）【解析】、【例13】（2003南寧市）尺規(guī)：把右圖（實(shí)線部分）補(bǔ)成以虛線L為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，你會(huì)得到一只美麗蝴蝶的圖案（不用寫(xiě)作法、【解析】答案見(jiàn)右上圖.板塊二、軸對(duì)稱(chēng)的應(yīng)用【例14如圖，MBC和 M'B'C'關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，且ZB=90°, A'B' = 6cm,求/B'的度數(shù)和AB的長(zhǎng).BB'【解析】MBC和AA'B'C'關(guān)于直線l成軸對(duì)稱(chēng) ，/B=/B', AB=A'

10、;B'又 , ZB =90°, A'B'=6cm /B' =90°, AB =6cm .ED交AC于D ，交AB于E ，量【例15如圖，有一塊三角形田地，AB=AC=10cm,作AB的垂直平分線得 MDC的周長(zhǎng)為17m ,請(qǐng)你替測(cè)量人員計(jì)算 BC的長(zhǎng).【解析】ED垂直平分ABDA = DB,BD +DC +BC=17m ，AD DC BC =17mAC =10m, BC =7m .【鞏固】如圖， MBC中，BC邊的垂直平分線 DE交BC于D,交AC于E, BE=5厘米，ABCE的周長(zhǎng)是 18厘米，則BC等于多少厘米？【解析】ED垂直平分BC

11、EB=EC , iBEC的周長(zhǎng)為18cm BC =8cm .【例16】如圖，已知 /AOB=40。，CD為OA的垂直平分線，求 /ACB的度數(shù).【解析】 CD垂直平分OAc CO=CAO = A1'' . O =40乙 A 二40ZACB =/A+NO =80"【例17】（2004陜西）已知：如圖，在 MBC中，AB = BC=2, /ABC=120r BC平行于x軸，點(diǎn)B?的坐 標(biāo)是（-3,1）.畫(huà)出 MBC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的AA'B'C'求以點(diǎn)A、B、B'、A'為頂點(diǎn)的四邊形的面積.【解析】過(guò)A點(diǎn)作AD _L BC ,交BC的延

12、長(zhǎng)線于點(diǎn) D ,則 /ABD =180 *-NABC=60在RtMBD中，1 BD= AB- cos/ABD= 2X = 12AD= AB- sin / ABB2X又知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3 , 1）可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（M, 1 +召）.AA'_Ly 軸，BBy 軸，AA'/ BB'. AB與A'B'不平行以點(diǎn)A, B, B', A'為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形 由點(diǎn)A B的坐標(biāo)可求得AA' =2 4 =8, BB' =2 3 =6，梯形 ABB'A'的面積=-(AA +BB ) AD= - X (8+6) X 73

13、=773 . 22B ,當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)板塊三、軸對(duì)稱(chēng)在幾何最值問(wèn)題中的應(yīng)用【例18】已知點(diǎn)A在直線l外，點(diǎn)P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究是否存在一個(gè)定點(diǎn)B;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)的距離總相等，如果存在，請(qǐng)作出定點(diǎn)A點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，或者點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).【例19如圖，在公路a的同旁有兩個(gè)倉(cāng)庫(kù) A、B,現(xiàn)需要建一貨物中轉(zhuǎn)站，要求到A、B兩倉(cāng)庫(kù)的距離和最短，這個(gè)中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在公路旁的哪個(gè)位置比較合理?A.【解析】答案見(jiàn)右上圖.【鞏固】若此題改成，在 a上找到M、N兩點(diǎn)，且MN =10 , M在N的左邊，使四邊形 ABMN的周長(zhǎng)最短.【解析】見(jiàn)右上圖.【例20（“五羊

14、杯”邀請(qǐng)賽試題）如圖，/AOB=45。角內(nèi)有點(diǎn)P,在角的兩邊有兩點(diǎn) Q、R（均不同于O 點(diǎn)），求作Q、R,使得妒QR的周長(zhǎng)的最小.【解析】見(jiàn)右上圖.【鞏固】如圖， M、N為 MBC的邊AC、BC上的兩個(gè)定點(diǎn)，在 AB上求一點(diǎn)P ,使APMN的周長(zhǎng)最短.利【解析】見(jiàn)右上圖.【例21】（2000年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽）如圖，設(shè)正 MBC的邊長(zhǎng)為2, M是AB邊上的中點(diǎn)，P是BC邊上的任意 一點(diǎn)，PA+PM的最大值和最小值分別記為 s和t .求s2 -t2的值.【解析】【例22】【解析】【例23】【解析】作點(diǎn)M關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) M ',連接 AM '、PM '.由點(diǎn)M、M '

15、關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)可知， PM =PM '.故 PA+PM =PA+PM '> AM '當(dāng)且僅當(dāng)A、P、M'共線時(shí)，等號(hào)成立，故 t2=(AM')2=7.另外兩個(gè)臨界位置在點(diǎn) B和點(diǎn)C處.當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)C處時(shí)，PA+PM =AC+CM =2+73;當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)B處時(shí)，PA+PM =AB + BM=3.故 s2 =(2+后=7+4 點(diǎn)，s212=4 點(diǎn).本題也可作點(diǎn) A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',連接A'M、PA'.已知如圖，點(diǎn)M在銳角/AOB的內(nèi)部，在OB邊上求作一點(diǎn)P ,使點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離與點(diǎn) 的邊的距離和最小.見(jiàn)右上圖.已知：A、B兩

16、點(diǎn)在直線l的同側(cè)， 在l上求作一點(diǎn)M ,使得|AM -BM |最小.見(jiàn)右上圖.P到OA【鞏固】已知： A、 B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，在l上求作一點(diǎn)M ,使得| AM -BM |最大.【解析】見(jiàn)右上圖.【例24】（07年三帆中學(xué)期中試題）如圖，正方形 ABCD中，AB=8, M是DC上的一點(diǎn)，且DM =2 , N是 AC上的一動(dòng)點(diǎn)，求 DN十MN的最小值與最大值.【解析】找點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由正方形的性質(zhì)可知，B就是點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接 BN、 BM ,由 DN +MN =BN +MN 之BM 可知, 當(dāng)且僅當(dāng)B、N、M三點(diǎn)共線時(shí)，DN +MN的值最小，該最小值為 ，62 +82 =10

17、.當(dāng)點(diǎn)N在AC上移動(dòng)時(shí)，有三個(gè)特殊的位置我們要考察：BM與AC的交點(diǎn)，即DN +MN取最小值時(shí)；當(dāng)點(diǎn)N位于點(diǎn) A時(shí)，DN +MN =AD+AM =8+2屈；當(dāng)點(diǎn)N位于點(diǎn)C時(shí)，DN +MN =CD +CM =8 +6 =14 .故DN +MN的最大值為8 +2，萬(wàn).【鞏固】例題中的條件不變，求DN -MN的最小值與最大值.【解析】當(dāng)DN =MN時(shí)，|DN -MN有最小值為0,此時(shí)點(diǎn)N位于DM的垂直平分線與 AC的交點(diǎn)處.DN -MN| <DM =2,當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)有最大值2.（黑龍江省中考題）如圖，已知正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為8, M在DC上，且DM =2, N是AC上

18、的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則DN +MN的最小值是【解析】連接BM交AC于N ,此點(diǎn)即為所求.所以根據(jù)勾股定理，DN +MN =10 .【例25】（2004鄲縣改編）某供電部門(mén)準(zhǔn)備在輸電主干線 l上連接一個(gè)分支線路同時(shí)向新落成的A、B兩個(gè)居民小區(qū)送電，分支點(diǎn)為 M ,已知居民小區(qū) A、B到主干線l的距離分別為 AA=2千米，BB1=2千 米，且ABi=4千米. 居民小區(qū)A、B在主干線l的兩旁如圖所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí)總線路最短？最短線路的長(zhǎng)度是多少千米？ 如果居民小區(qū) A、B在主干線l的同旁，如圖所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí)總線路最短？ 此時(shí)分支點(diǎn) M與Ai距離多少千米？【解析】連結(jié)AB, AB與

19、l的交點(diǎn)就是所求的分支點(diǎn) M ,分支點(diǎn)開(kāi)在此處總線路最短，如圖，因?yàn)?ZBB1M =ZAA1M =90°, NBMB1 =/AMA1 .所以加1BM 9 AA1AM .所以AM =2 .由勾股定理，得 AM =BM =2五,AB=AM +BM =4庭,所以分支點(diǎn) M在線段 AiBi上距A點(diǎn)2 2千米處，最短線段的長(zhǎng)度為 4 2千米； 如圖，作B點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B2,連結(jié)AB2交直線l于點(diǎn)M ,此處即為分支點(diǎn)，由圖可知， AiM的長(zhǎng)度為2千米.點(diǎn)撥：在解本題時(shí)，應(yīng)注意線段最短，在第問(wèn)中也可以先畫(huà)A點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A2.【例26（09山東臨沂）如圖，A, B是公路l （ l為東西走向）兩旁

20、的兩個(gè)村莊，A村到公路l的距離AC=1km, B村到公路l的距離BD=2km , B村在A村的南偏東45。方向上.求出A, B兩村之間的距離；為方便村民出行，計(jì)劃在公路邊新建一個(gè)公共汽車(chē)站P ,要求該站到兩村的距離相等，請(qǐng)用尺規(guī)在圖中作出點(diǎn) P的位置（保留清晰的作圖痕跡，簡(jiǎn)明書(shū)寫(xiě)作法）.l【解析】 方法一：設(shè)AB與CD的交點(diǎn)為O,根據(jù)題意可得 /A=NB=45， ZiACO和ABDO都是等腰直角三角形.AO=V2, BO =2 應(yīng).二.A, B 兩村的距離為 AB =AO+BO =J2+2j2=3/2（km ）方法二：過(guò)點(diǎn)B作直線l的平行線交 AC的延長(zhǎng)線于E.易證四邊形CDBE是矩形, CE=BD =2 .在 RUAEB 中，由 /A=45。可得 BE=EA=3.AB = 33 32 =3.2 kmA, B兩村的距離為3j2km .作圖正確，痕跡清晰.作法：分別以點(diǎn) A, B為圓心，以大于Iab的長(zhǎng)為半徑作弧，2兩弧交于兩點(diǎn) M , N ,作直線MN ;直線MN交l于點(diǎn)P ,點(diǎn)P即為所求.家庭作業(yè)【習(xí)題1】（08蘇