81向量的概念及運算學(xué)生

1、松江二中2010屆高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)資料8.1 平面向量的概念及運算【復(fù)習(xí)要求】1、理解向量的有關(guān)概念，掌握向量的加法與減法、實數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積及其運算法則，理解向量平行和垂直的充要條件. 2、會用向量的代數(shù)運算法則、三角形法則、平行四邊形法則解決有關(guān)問題不斷培養(yǎng)并深化用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題的自覺意識.3、初步學(xué)會用向量方法解決簡單的平面幾何問題?！局R要點】1、向量的有關(guān)概念向量：既有 又有 的量。向量一般用來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：。向量的大小叫做向量的模（長度），記作|。零向量： ，記為 ，其方向是任意的，零向量與任意向量平行。<注意與實數(shù)0的

2、區(qū)別>單位向量： 。的單位向量是指與方向 且模為 的向量，記作，即。平行向量（共線向量）： 。任意一組平行向量都可以移到同一直線上。相等向量： 。相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為。2、向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法。設(shè)，則+=。向量加法有“ 法則”與“ 法則”。 說明：（1）； （2）向量加法滿足 律與 律；3、向量的減法 負向量：與長度 、方向 的向量，叫做的負向量，記作。零向量的負向量仍是零向量。關(guān)于負向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；向量減法：向量加上的負向量叫做與的差，記作：。求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。的作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的

3、向量（、有共同起點）。注：（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。（2） 三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點。4、實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（1） ；（2）當(dāng)時，的方向與的方向 ；當(dāng)時，的方向與的方向 ；當(dāng)時，_，方向是任意的。數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律。應(yīng)用：兩個向量共線定理向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=。5、 平

4、面向量的數(shù)量積的定義 向量的夾角：已知兩個非零向量，過原點O作，則AOB=（001800）叫做向量的夾角。當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量同方向時，=_，當(dāng)且僅當(dāng)反方向時= ， 垂直；如果的夾角為900則稱垂直，記作 。 的數(shù)量積：兩個非零向量，它們的夾角為，則叫做的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即= 規(guī)定=0 非零向量 當(dāng)且僅當(dāng)時，=900，這時= 。在方向上的投影：（注意是射影）所以，的幾何意義：等于的長度與在方向上的投影的乘積。平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)是兩個非零向量，是單位向量，于是有：（1）_ （2）_（3）當(dāng)同向時，_；當(dāng)反向時，_，特別地，。（4）_ （5）平面向量數(shù)量積的運算律交換律成立：對實數(shù)的結(jié)

5、合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=(4)但是乘法公式成立： ；等等。6、平面向量的基本定理如果是一個平面內(nèi)的兩個不平行的向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使 ，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基向量?！净A(chǔ)訓(xùn)練】1、化簡 2、已知是兩個非零向量，且則與的夾角大小為 3、若，且，若，則實數(shù)的值為 4、已知，則向量在向量上的投影為 5、設(shè)P是ABC所在平面內(nèi)的一點，則 （ ）A. B. C. D.【典型例題】例1：判斷下列各命題是否正確(1)零向量沒有方向 (2)若(3)單位向量都相等 (4)兩相

6、等向量若起點起點,則終點也相同 (5)若，則； (6)若，則(7)若四邊形ABCD是平行四邊形,則(8)的充要條件是且；例2、如圖平行四邊形的對角線OD,AB相交于點C，線段BC上有一點M滿足BC=3BM,線段CD上有一點N滿足CD3CN,設(shè)。例3、（1）設(shè)兩個非零向量、不共線，如果, 求證：三點共線.（2）設(shè)、是兩個不共線的向量，已知,若三點共線，求的值.例4、已知平面上三個向量、的模均為1，它們相互之間的夾角均為120°，（1）求證：；（2）若，求的取值范圍.例5、已知G是ABC的重心，求證：【學(xué)后反思】【鞏固訓(xùn)練】1、已知,則是三點構(gòu)成三角形的（ ）A. 充分不必要條件 B.

7、必要不充分條件 C. 充要條件 D.既不充分也不必要條件2、若為非零向量，且，則有 （ ）（A）且方向相同； （B）； （C） ； (D) 以上都不對。3、下列命題中，假命題為 （ ）A若，則 B若，則或C若kR，k，則k=0或 D若，則1恒成立4、一質(zhì)點受到平面上的三個力（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)已知，成角，且，的大小分別為2和4，則的大小為 ( ) A. 6 B. 2 C. D. 5、若，的夾角為， 則 _ _6、若向量的夾角為，,則向量的模為 7、給出下列四個命題：若，則； 與不垂直；在ABC中，三邊長BC=5，AC=8，AB=7，則；設(shè)A(4,a)，B(b,8)，C(a,b)，若OABC為平行四邊形（O為坐標(biāo)原點），則AOC=。其中真命題的序號是 （請將你認為真命題的序號都填上）。8、已知,且關(guān)于的方程有