81向量的概念及運(yùn)算學(xué)生

1、松江二中2010屆高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)資料8.1 平面向量的概念及運(yùn)算【復(fù)習(xí)要求】1、理解向量的有關(guān)概念，掌握向量的加法與減法、實(shí)數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積及其運(yùn)算法則，理解向量平行和垂直的充要條件. 2、會(huì)用向量的代數(shù)運(yùn)算法則、三角形法則、平行四邊形法則解決有關(guān)問(wèn)題不斷培養(yǎng)并深化用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題的自覺(jué)意識(shí).3、初步學(xué)會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題?！局R(shí)要點(diǎn)】1、向量的有關(guān)概念向量：既有 又有 的量。向量一般用來(lái)表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫(xiě)字母表示，如：。向量的大小叫做向量的模（長(zhǎng)度），記作|。零向量： ，記為 ，其方向是任意的，零向量與任意向量平行。<注意與實(shí)數(shù)0的

2、區(qū)別>單位向量： 。的單位向量是指與方向 且模為 的向量，記作，即。平行向量（共線向量）： 。任意一組平行向量都可以移到同一直線上。相等向量： 。相等向量經(jīng)過(guò)平移后總可以重合，記為。2、向量加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。設(shè)，則+=。向量加法有“ 法則”與“ 法則”。 說(shuō)明：（1）； （2）向量加法滿足 律與 律；3、向量的減法 負(fù)向量：與長(zhǎng)度 、方向 的向量，叫做的負(fù)向量，記作。零向量的負(fù)向量仍是零向量。關(guān)于負(fù)向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；向量減法：向量加上的負(fù)向量叫做與的差，記作：。求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法。的作圖法：可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的

3、向量（、有共同起點(diǎn)）。注：（1）用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線，而差向量是另一條對(duì)角線，方向是從減向量指向被減向量。（2） 三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。4、實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（1） ；（2）當(dāng)時(shí)，的方向與的方向 ；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向 ；當(dāng)時(shí)，_，方向是任意的。數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律。應(yīng)用：兩個(gè)向量共線定理向量與非零向量共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=。5、 平

4、面向量的數(shù)量積的定義 向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量，過(guò)原點(diǎn)O作，則AOB=（001800）叫做向量的夾角。當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量同方向時(shí)，=_，當(dāng)且僅當(dāng)反方向時(shí)= ， 垂直；如果的夾角為900則稱(chēng)垂直，記作 。 的數(shù)量積：兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，則叫做的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即= 規(guī)定=0 非零向量 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，=900，這時(shí)= 。在方向上的投影：（注意是射影）所以，的幾何意義：等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積。平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)是兩個(gè)非零向量，是單位向量，于是有：（1）_ （2）_（3）當(dāng)同向時(shí)，_；當(dāng)反向時(shí)，_，特別地，。（4）_ （5）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律成立：對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)

5、合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=(4)但是乘法公式成立： ；等等。6、平面向量的基本定理如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不平行的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使 ，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基向量。【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1、化簡(jiǎn) 2、已知是兩個(gè)非零向量，且則與的夾角大小為 3、若，且，若，則實(shí)數(shù)的值為 4、已知，則向量在向量上的投影為 5、設(shè)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則 （ ）A. B. C. D.【典型例題】例1：判斷下列各命題是否正確(1)零向量沒(méi)有方向 (2)若(3)單位向量都相等 (4)兩相

6、等向量若起點(diǎn)起點(diǎn),則終點(diǎn)也相同 (5)若，則； (6)若，則(7)若四邊形ABCD是平行四邊形,則(8)的充要條件是且；例2、如圖平行四邊形的對(duì)角線OD,AB相交于點(diǎn)C，線段BC上有一點(diǎn)M滿足BC=3BM,線段CD上有一點(diǎn)N滿足CD3CN,設(shè)。例3、（1）設(shè)兩個(gè)非零向量、不共線，如果, 求證：三點(diǎn)共線.（2）設(shè)、是兩個(gè)不共線的向量，已知,若三點(diǎn)共線，求的值.例4、已知平面上三個(gè)向量、的模均為1，它們相互之間的夾角均為120°，（1）求證：；（2）若，求的取值范圍.例5、已知G是ABC的重心，求證：【學(xué)后反思】【鞏固訓(xùn)練】1、已知,則是三點(diǎn)構(gòu)成三角形的（ ）A. 充分不必要條件 B.

7、必要不充分條件 C. 充要條件 D.既不充分也不必要條件2、若為非零向量，且，則有 （ ）（A）且方向相同； （B）； （C） ； (D) 以上都不對(duì)。3、下列命題中，假命題為 （ ）A若，則 B若，則或C若kR，k，則k=0或 D若，則1恒成立4、一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)已知，成角，且，的大小分別為2和4，則的大小為 ( ) A. 6 B. 2 C. D. 5、若，的夾角為， 則 _ _6、若向量的夾角為，,則向量的模為 7、給出下列四個(gè)命題：若，則； 與不垂直；在ABC中，三邊長(zhǎng)BC=5，AC=8，AB=7，則；設(shè)A(4,a)，B(b,8)，C(a,b)，若OABC為平行四邊形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則AOC=。其中真命題的序號(hào)是 （請(qǐng)將你認(rèn)為真命題的序號(hào)都填上）。8、已知,且關(guān)于的方程有