概率與統(tǒng)計培訓(xùn)資料全

1、 - 1 - / 62第一章第一章 隨機(jī)事件和概率隨機(jī)事件和概率第一節(jié)第一節(jié) 基本概念基本概念1 1、排列組合初步、排列組合初步（1 1）排列組合公式）排列組合公式從 m 個人中挑出 n 個人進(jìn)行排列的可能數(shù)。)!(!nmmPnm 從 m 個人中挑出 n 個人進(jìn)行組合的可能數(shù)。)!( !nmnmCnm例 11：方程的解是xxxCCC76510711A 4 B3 C2 D 1例 12：有 5 個隊伍參加了甲 A 聯(lián)賽，兩兩之間進(jìn)行循環(huán)賽兩場，試問總共的場次是多少？(2)(2)加法原理（兩種方法均能完成此事）：加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+nm+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由 m

2、 種方法完成，第二種方法可由 n 種方法來完成，則這件事可由 m+n 種方法來完成。(3)(3)乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：mnmn - 2 - / 62某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由 m 種方法完成，第二個步驟可由 n 種方法來完成，則這件事可由 mn 種方法來完成。例 13：從 5 位男同學(xué)和 4 位女同學(xué)中選出 4 位參加一個座談會，要求與會成員中既有男同學(xué)又有女同學(xué)，有幾種不同的選法？例 14：6 同排連號的電影票，分給 3 名男生和 3 名女生，如欲男女相間而坐，則不同的分法數(shù)為多少？例 15：用五種不同的顏色涂在右圖中四個

3、區(qū)域里，每一區(qū)域涂上一種顏色，且相鄰區(qū)域的顏色必須不同，則共有不同的涂法 A120 種B140 種 C160 種D180 種(4)(4)一些常見排列一些常見排列特殊排列 相鄰 彼此隔開 順序一定和不可分辨例 16：晚會上有 5 個不同的唱歌節(jié)目和 3 個不同的舞蹈節(jié)目，問：分別按以下要求各可排出幾種不同的節(jié)目單？3 個舞蹈節(jié)目排在一起；3 個舞蹈節(jié)目彼此隔開；3 個舞蹈節(jié)目先后順序一定。例 17：4 幅大小不同的畫，要求兩幅最大的排在一起，問有多少種排法？例 18：5 輛車排成 1 排，1 輛黃色，1 輛藍(lán)色，3 輛紅色，且 3 輛紅車不可分辨，問有多少種排法？重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）例

4、19：5 封不同的信，有 6 個信箱可供投遞，共有多少種投信的方法？對立事件例 110：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有幾種不同的坐法？例 111：15 人中取 5 人，有 3 個不能都取，有多少種取法？例 112：有 4 對人，組成一個 3 人小組，不能從任意一對中取 2 個，問有多少種可能性？順序問題例 113：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，2 白的種數(shù)？（有序）例 114：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，2 白的種數(shù)？（有序）例 115：3 白球，2 黑球，任取 2 球，2 白的種數(shù)？（無序）2 2、隨機(jī)試驗、隨機(jī)事件與其運(yùn)算、隨機(jī)試驗、隨機(jī)事件與其運(yùn)算（1

5、1）隨機(jī)試驗和隨機(jī)事件）隨機(jī)試驗和隨機(jī)事件 - 3 - / 62如果一個試驗在一樣條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗的可能結(jié)果不止一個，但在進(jìn)行一次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結(jié)果，則稱這種試驗為隨機(jī)試驗。試驗的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。例如：擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面；擲一顆骰子，出現(xiàn)“1”點、 “5”點和出現(xiàn)偶數(shù)點都是隨機(jī)事件；接線員在上午 9 時到 10 時接到的呼喚次數(shù)（泊松分布） ；對某一目標(biāo)發(fā)射一發(fā)炮彈，彈著點到目標(biāo)的距離為 0.1 米、0.5 米與 1 米到 3 米之間都是隨機(jī)事件（正態(tài)分布） 。在一個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：（1）每進(jìn)

6、行一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；（2）任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示，例如（離散） 。n,21基本事件的全體，稱為試驗的樣本空間，用表示。一個事件就是由中的部分點（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A，B，C，表示事件，它們是的子集。如果某個是事件A的組成部分，即這個在事件A中出現(xiàn)，記為。如果在一A次試驗中所出現(xiàn)的有，則稱在這次試驗中事件A發(fā)生。A如果不是事件A的組成部分，就記為。在一次試驗中，所出現(xiàn)的有，AA則稱此次試驗A沒有發(fā)生。為必然事件， 為不可能事件。（2 2）事件的關(guān)系與運(yùn)算）事件的關(guān)系與運(yùn)算關(guān)系：如果

7、事件 A 的組成部分也是事件B的組成部分， （A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：BA 如果同時有，則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B：A=B。BA AB A、B中至少有一個發(fā)生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A 與 B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。BAA、B同時發(fā)生：AB，或者AB。AB=，則表示 A 與 B 不可能同時發(fā)生，稱事件 A 與事件 B 互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸摹?A 稱為事件 A 的逆事件，或稱 A 的對立事件，記為A。它表示 A 不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙α?。運(yùn)算： 結(jié)合率：A(BC)=(AB)C

8、A(BC)=(AB)C分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)德摩根率：11iiiiAA，BABABABA - 4 - / 62例 116：一口袋中裝有五只乒乓球，其中三只是白色的，兩只是紅色的?，F(xiàn)從袋中取球兩次，每次一只，取出后不再放回。寫出該試驗的樣本空間。若A表示取到的兩只球是白色的事件，表示取到的兩只球是紅色的事件，試用A、表示下列事件：（1）兩只球是顏色一樣的事件C，（2）兩只球是顏色不同的事件D，（3）兩只球中至少有一只白球的事件E。例 117：硬幣有正反兩面，連續(xù)拋三次，若 Ai表示第 i 次正面朝上，用 Ai表示下列事件：（1）前兩次正面朝上，第三次正

9、面朝下的事件C，（2）至少有一次正面朝上的事件D，（3）前兩次正面朝上的事件E。3 3、概率的定義和性質(zhì)、概率的定義和性質(zhì)（1 1）概率的公理化定義）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，A為事件，對每一個事件A都有一個實數(shù) P(A)，若滿足下列三個條件：1 0P(A)1， 2 P() =13 對于兩兩互不相容的事件1A，2A，有11)(iiiiAPAP常稱為可列（完全）可加性。則稱 P(A)為事件A的概率。（2 2）古典概型（等可能概型）古典概型（等可能概型）1，n21,2 。nPPPn1)()()(21設(shè)任一事件A，它是由組成的，則有m21,P(A)= =)()()(21m)()()(21mPPP

10、nm基本事件總數(shù)所包含的基本事件數(shù)A例 118：集合 A 中有 100 個數(shù)，B 中有 50 個數(shù)，并且滿足 A 中元素與 B 中元素關(guān)系a+b=10 的有 20 對。問任意分別從 A 和 B 中各抽取一個，抽到滿足 a+b=10 的 a,b 的概率。例 119：5 雙不同顏色的襪子，從中任取兩只，是一對的概率為多少？例 120：在共有 10 個座位的小會議室隨機(jī)地坐上 6 名與會者，則指定的 4 個座位被坐滿的概率是AB CD 141131121111例 121：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，2 白的概率？（有序）例 122：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，2 白的概

11、率？（有序）例 123：3 白球，2 黑球，任取 2 球，2 白的概率？（無序）注意：事件的分解；放回與不放回；順序問題。 - 5 - / 624 4、五大公式（加法、減法、乘法、全概、貝葉斯）、五大公式（加法、減法、乘法、全概、貝葉斯）（1 1）加法公式）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng) P(AB)0 時，P(A+B)=P(A)+P(B)例 124：從 0，1，9 這十個數(shù)字中任意選出三個不同的數(shù)字，試求下列事件的概率：A“三個數(shù)字中不含 0 或者不含 5” 。（2 2）減法公式）減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng) BA 時，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)

12、 A= 時，P()=1- P(B)B例 125：若 P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求 P(A+B)和 P(+).A B例 126：對于任意兩個互不相容的事件 A 與 B， 以下等式中只有一個不正確，它是：(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P()-1AB(C) P(-B)= P()-P(B) (D)P(AB)(A-B)=P(A) AA(E)p=P(A) -P()BAAB（3 3）條件概率和乘法公式）條件概率和乘法公式定義設(shè) A、B 是兩個事件，且 P(A)0，則稱為事件 A 發(fā)生條件下，事件 B 發(fā)生的條)()(APABP件概率，記為。

13、)/(ABP)()(APABP條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如 P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)B乘法公式：)/()()(ABPAPABP更一般地，對事件 A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，則有21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn)1nA。例 127：甲乙兩班共有 70 名同學(xué)，其中女同學(xué) 40 名，設(shè)甲班有 30 名同學(xué)，而女生 15名，問在碰到甲班同學(xué)時，正好碰到一名女同學(xué)的概率。例 128：5 把鑰匙，只有一把能打開，如果某次打不開就扔掉，問以下事件的概率？第一次打開；第二次打開；第三次打開。

14、（4 4）全概公式）全概公式設(shè)事件nBBB,21滿足1nBBB,21兩兩互不相容，), 2 , 1(0)(niBPi， - 6 - / 622niiBA1，則有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。此公式即為全概率公式。例 129：播種小麥時所用的種子中二等種子占 2，三等種子占 1.5，四等種子占1，其他為一等種子。用一等、二等、三等、四等種子播種長出的穗含 50 顆以上麥粒的概率分別為 0.5，0.15，0.1，0.05，試求種子所結(jié)的穗含有 50 顆以上麥粒的概率。例 130：甲盒有紅球 4 只，黑球 2 只，白球 2 只；乙盒有紅球 5 只，

15、黑球 3 只；丙盒有黑球 2 只，白球 2 只。從這三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是紅球的概率是：A0.5625B0.5C0.45D0.375 E 0.225例 131：100 個球，40 個白球，60 個紅球，不放回先后取 2 次，第 2 次取出白球的概率？第 20 次取出白球的概率？（5 5）貝葉斯公式）貝葉斯公式設(shè)事件1B，2B，nB與A滿足11B，2B，nB兩兩互不相容，)(BiP0，i1，2，n，2niiBA1，0)(AP，則，i=1，2，n。njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(此公式即為貝葉斯公式。， （1i，2，n） ，通常叫先驗概率。， （

16、1i，2，n） ，通)(iBP)/(ABPi常稱為后驗概率。如果我們把A當(dāng)作觀察的“結(jié)果” ，而1B，2B，nB理解為“原因” ，則貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。例 132：假定用甲胎蛋白法診斷肝癌。設(shè)C表示被檢驗者的確患有肝癌的事件，A表示診斷出被檢驗者患有肝癌的事件，已知，95. 0)/(CAP98. 0)/(CAP?，F(xiàn)有一人被檢驗法診斷為患有肝癌，求此人的確患有肝癌的概率004. 0)(CP)|(ACP。5 5、事件的獨立性和伯努利試驗、事件的獨立性和伯努利試驗（1 1）兩個事件的獨立性）兩個事件的獨立性設(shè)事件A、B滿足)()()(BPAPABP，則稱事

17、件A、B是相互獨立的（這個性質(zhì)不是想當(dāng)然成立的） 。 若事件A、B相互獨立，且0)(AP，則有 - 7 - / 62)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP所以這與我們所理解的獨立性是一致的。若事件A、B相互獨立，則可得到A與B、A與B、A與B也都相互獨立。 （證明）由定義，我們可知必然事件和不可能事件 與任何事件都相互獨立。 （證明） 同時， 與任何事件都互斥。（2 2）多個事件的獨立性）多個事件的獨立性設(shè) ABC 是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足 P(ABC)=P(

18、A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互獨立。對于 n 個事件類似。兩兩互斥互相互斥。兩兩獨立互相獨立？例 133：已知，證明事件、相互獨立。)/()/(ABPABPAB例 134：A，B，C 相互獨立的充分條件：（1）A，B，C兩兩獨立（2）A與BC獨立例 135：甲，乙兩個射手彼此獨立地射擊同一目標(biāo)各一次，甲射中的概率為 0.9，乙射中的概率為 0.8，求目標(biāo)沒有被射中的概率。（3 3）伯努利試驗）伯努利試驗定義我們作了n次試驗，且滿足每次試驗只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；n次試驗是重復(fù)進(jìn)行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗是獨立的，即每次試驗A發(fā)生與否與其他次試驗A發(fā)生與否是

19、互不影響的。這種試驗稱為伯努利概型，或稱為n重伯努利試驗。用p表示每次試驗A發(fā)生的概率，則A發(fā)生的概率為qp 1，用)(kPn表示n重伯努利試驗中A出現(xiàn))0(nkk次的概率，knkknnqpkPC)(，nk, 2 , 1 , 0。例 136：袋中裝有 個白球與 個黑球，從袋中任取 a+b 次球，每次放回，試求其中含 a個白球，b 個黑球的概率（a，b） 。例 137：做一系列獨立試驗，每次試驗成功的概率為 p，求在第 n 次成功之前恰失敗 m 次的概率。 - 8 - / 62第二節(jié)第二節(jié) 練習(xí)題練習(xí)題1 1、事件的運(yùn)算和概率的性質(zhì)、事件的運(yùn)算和概率的性質(zhì)例 138：化簡 (A+B)(A+)(+

20、B)BA例 139：ABC=AB(CB) 成立的充分條件為： (1)ABC (2)BC例 140：已知 P(A)=x，P(B)=2x，P(C)=3x，P(AB)=P(BC)，求 x 的最大值。例 141：當(dāng)事件 A 與 B 同時發(fā)生時，事件 C 必發(fā)生，則下列結(jié)論正確的是（A）P（C）=P（AB） 。（B）P（C）=P（AB） 。（C）P（C）P（A）+P（B）-1（D）P（C）P（A）+P（B）-1。2 2、古典概型、古典概型例 142：3 男生，3 女生，從中挑出 4 個，問男女相等的概率？例 143：由四個數(shù)字組成，每個數(shù)字可以是 0,1,2,9 中的任一個數(shù)，由完全不同的數(shù)字組成的概率

21、。例 144：袋中有 6 只紅球、4 只黑球，今從袋中隨機(jī)取出 4 只球，設(shè)取到一只紅球得 2 分，取到一只黑球得 1 分，則得分不大于 6 分的概率是 AB CD 42237442252113例 145：10 個盒子，每個裝著標(biāo)號為“16”的卡片。每個盒子任取一，問 10 中最大數(shù)是 4 的概率？例 146：將 n 個人等可能地分到 N（nN）間房間中去，試求下列事件的概率。A“某指定的 n 間房中各有 1 人” ；B“恰有 n 間房中各有 1 人”C“某指定的房中恰有 m（mn）人”例 147：有 5 個白色珠子和 4 個黑色珠子，從中任取 3 個，問全是白色的概率？3 3、條件概率和乘法

22、公式、條件概率和乘法公式例 148：假設(shè)事件 A 和 B 滿足 P（B | A）=1，則 （A） A 是必然事件。（B）。BA （C）。（D）。BA0)(BAP - 9 - / 62例 149：設(shè) A，B 為兩個互斥事件，且 P（A）0, P(B)0，則結(jié)論正確的是（A）P（B | A）0。（B）P（A | B）=P（A） 。（C）P（A | B）=0。（D）P（AB）=P（A）P（B） 。例 150：某種動物由出生而活到 20 歲的概率為 0.7，活到 25 歲的概率為 0.56，求現(xiàn)齡為 20 歲的這種動物活到 25 歲的概率。例 151：某人忘記三位鎖（每位均有 09 十個數(shù)碼）的最后一

23、個數(shù)碼，因此在正確撥出前兩個數(shù)碼后，只能隨機(jī)地試撥最后一個數(shù)碼，每撥一次算作一次試開，則他在第 4次試開時才將鎖打開的概率是ABCD416152101例 152：在空戰(zhàn)訓(xùn)練中，甲機(jī)先向乙機(jī)開火，擊落乙機(jī)的概率為 0.2；若乙機(jī)未被擊落，就進(jìn)行還擊，擊落甲機(jī)的概率是 0.3；若甲機(jī)未被擊落，則再進(jìn)攻乙機(jī)，擊落乙機(jī)的概率是 0.4，求在這幾個回合中：甲機(jī)被擊落的概率；乙機(jī)被擊落的概率。例 153：為防止意外事故，在礦井同時安裝兩種報警系統(tǒng) A 與 B，每種系統(tǒng)單獨使用時，其有效率 A 為 0.92，B 為 0.93，在 A 失靈條件下 B 有效概率為 0.85。求：（1）這兩種警報系統(tǒng)至少有一個有

24、效的概率；（2）在 B 失靈條件下，A 有效的概率。4 4、全概和貝葉斯公式、全概和貝葉斯公式例 154：甲文具盒有 2 支藍(lán)色筆和 3 支黑色筆，乙文具盒也有 2 支藍(lán)色筆和 3 支黑色筆現(xiàn)從甲文具盒中任取 2 支筆放入乙文具盒，然后再從乙文具盒中任取 2 支筆求最后取出的 2 支筆都是黑色筆的概率。例 155：三個箱子中，第一箱裝有 4 個黑球 1 個白球，每二箱裝有 3 個黑球 3 個白球，第三箱裝有 3 個黑球 5 個白球。現(xiàn)先任取一箱，再從該箱中任取一球，問：（1）取出的球是白球的概率？（2）若取出的為白球，則該球?qū)儆诘诙涞母怕?？?156：袋中有 4 個白球、6 個紅球，先從中任

25、取出 4 個，然后再從剩下的 6 個球中任取一個，則它恰為白球的概率是。5 5、獨立性和伯努利概型、獨立性和伯努利概型例 157：設(shè) P(A)0,P(B)0，證明（1）若 A 與 B 相互獨立，則 A 與 B 不互斥；（2）若 A 與 B 互斥，則 A 與 B 不獨立。例 158：設(shè)兩個隨機(jī)事件 A，B 相互獨立，已知僅有 A 發(fā)生的概率為，僅有 B 發(fā)生的概41率為，則 P（A）=，P（B）=。41例 159：若兩事件 A 和 B 相互獨立，且滿足 P(AB)=P(), P(A)=0.4，求 P(B).A B - 10 - / 62例 160：設(shè)兩兩相互獨立的三事件A，B和C滿足條件；ABC

26、=，P（A）=P（B）=P（C），且已知，則P（A）=。21169)(CBAP例 161：A 發(fā)生的概率是 0.6，B 發(fā)生的概率是 0.5，問 A,B 同時發(fā)生的概率的圍？例 162：設(shè)某類型的高炮每次擊中飛機(jī)的概率為 0.2，問至少需要多少門這樣的高炮同時獨立發(fā)射（每門射一次）才能使擊中飛機(jī)的概率達(dá)到 95%以上。例 163：由射手對飛機(jī)進(jìn)行 4 次獨立射擊，每次射擊命中的概率為 0.3，一次命中時飛機(jī)被擊落的概率為 0.6，至少兩次命中時飛機(jī)必然被擊落，求飛機(jī)被擊落的概率。例 164：將一骰子擲 m+n 次，已知至少有一次出 6 點，求首次出 6 點在第 n 次拋擲時出現(xiàn)的概率。例 16

27、5：兩只一模一樣的鐵罐里都裝有大量的紅球和黑球，其中一罐（取名“甲罐” ）的紅球數(shù)與黑球數(shù)之比為 2：1，另一罐（取名“乙罐” ）的黑球數(shù)與紅球數(shù)之比為 2：1 。今任取一罐并從中取出 50 只球，查得其中有 30 只紅球和 20 只黑球，則該罐為“甲罐”的概率是該罐為“乙罐”的概率的(A) 154 倍 (B)254 倍 (C)798 倍 (D)1024 倍 - 11 - / 62第二章第二章 隨機(jī)變量與其分布隨機(jī)變量與其分布第一節(jié)第一節(jié) 基本概念基本概念在許多試驗中，觀察的對象常常是一個隨同取值的量。例如擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，它本身就是一個數(shù)值，因此 P(A)這個函數(shù)可以看作是普通函數(shù)（定義

28、域和值域都是數(shù)字，數(shù)字到數(shù)字） 。但是觀察硬幣出現(xiàn)正面還是反面，就不能簡單理解為普通函數(shù)。但我們可以通過下面的方法使它與數(shù)值聯(lián)系起來。當(dāng)出現(xiàn)正面時，規(guī)定其對應(yīng)數(shù)為“1” ；而出現(xiàn)反面時，規(guī)定其對應(yīng)數(shù)為“0” 。于是)(XX，當(dāng)反面出現(xiàn)，當(dāng)正面出現(xiàn)01稱X為隨機(jī)變量。又由于X是隨著試驗結(jié)果（基本事件）不同而變化的，所以X實際上是基本事件的函數(shù)，即 X=X()。同時事件 A 包含了一定量的 （例如古典概型中 A包含了 1，2，m，共 m 個基本事件） ，于是 P(A)可以由 P(X()來計算，這是一個普通函數(shù)。定義 設(shè)試驗的樣本空間為，如果對中每個事件都有唯一的實數(shù)值 X=X()與之對應(yīng)，則稱 X

29、=X()為隨機(jī)變量，簡記為X。有了隨機(jī)變量，就可以通過它來描述隨機(jī)試驗中的各種事件，能全面反映試驗的情況。這就使得我們對隨機(jī)現(xiàn)象的研究，從前一章事件與事件的概率的研究，擴(kuò)大到對隨機(jī)變量的研究，這樣數(shù)學(xué)分析的方法也可用來研究隨機(jī)現(xiàn)象了。一個隨機(jī)變量所可能取到的值只有有限個（如擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)）或可列無窮多個（如交換臺接到的呼喚次數(shù)） ，則稱為離散型隨機(jī)變量。像彈著點到目標(biāo)的距離這樣的隨機(jī)變量，它的取值連續(xù)地充滿了一個區(qū)間，這稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。1 1、隨機(jī)變量的分布函數(shù)、隨機(jī)變量的分布函數(shù)（1 1）離散型隨機(jī)變量的分布率）離散型隨機(jī)變量的分布率設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為 Xk(k=1,2,)

30、且取各個值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk，k=1,2,，則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式給出：,|)(2121kkkpppxxxxXPX。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：（1）0kp，, 2 , 1k，（2）11kkp。例 21：投骰子，出現(xiàn)偶數(shù)的概率？例 22：4 黑球，2 白球，每次取一個，不放回，直到取到黑為止，令 X()為“取白球的數(shù)” ，求 X 的分布律。例 23：若干個容器，每個標(biāo)號 13，取出某號容器的概率與該成反比，令 X()表示取出的，求 X 的分布律。 - 12 - / 62（2 2）分布函數(shù)）分布函數(shù)對于非離散型隨機(jī)變量

31、，通常有，不可能用分布率表達(dá)。例如日光燈管0)( xXP的壽命，。所以我們考慮用落在某個區(qū)間的概率表示。X0)(0 xXPX,(ba定義定義 設(shè)為隨機(jī)變量，是任意實數(shù)，則函數(shù)Xx)()(xXPxF稱為隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)。 可以得到 X 落入?yún)^(qū)間的概率。也就是說，分布)()()(aFbFbXaP,(ba函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量 X 隨機(jī)取值的統(tǒng)計規(guī)律性。分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，它表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間（，x的概率。)(xF的圖形是階梯圖形，是第一類間斷點，隨機(jī)變量在處的概率就是)(xF,21xxXkx在處的躍度。)(xFkx分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1；, 1)(0 xFx2是單調(diào)不減的函數(shù)，

32、即時，有 ；)(xF21xx )(1xF)(2xF3， ；0)(lim)(xFFx1)(lim)(xFFx4，即是右連續(xù)的；)()0(xFxF)(xF5。)0()()(xFxFxXP例 24：設(shè)離散隨機(jī)變量的分布列為X，214181812 , 1 , 0 , 1，PX求的分布函數(shù)，并求，。X)21(XP)231 ( XP)231 ( XP例 25：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為0001)(xxxAxxF其中A是一個常數(shù)，求（1）常數(shù)A - 13 - / 62（2）P（1X2）（3 3）連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)）連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)定義設(shè))(xF是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù))(xf，對任

33、意實數(shù)x，有xdxxfxF)()(，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。)(xf稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。)(xf的圖形是一條曲線，稱為密度（分布）曲線。由上式可知，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù))(xF是連續(xù)函數(shù)。所以，)()()()()()(1221212121xFxFxXxPxXxPxXxPxXxP密度函數(shù)具有下面 4 個性質(zhì)：1 0)(xf。2 1)(dxxf。1)()(dxxfF的幾何意義；在橫軸上面、密度曲線下面的全部面積等于 1。如果一個函數(shù))(xf滿足 1、2，則它一定是某個隨機(jī)變量的密度函數(shù)。3 。)(21xXxP)()(12xFxF21)(xxdxxf4 若)(xf在x處

34、連續(xù)，則有)()(xfxF。dxxfdxxXxP)()(它在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與kkpxXP)(在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。)(),(,獨立性古典概型，五大公式，APAE)()()()(xXPxFxXX對于連續(xù)型隨機(jī)變量X，雖然有0)( xXP，但事件)(xX 并非是不可能事件 。hxxdxxfhxXxPxXP)()()(令0h，則右端為零，而概率0)( xXP，故得0)( xXP。不可能事件（）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率為 1，而概率為 1 的事件也不一定是必然事件。例 26：隨機(jī)變量 X 的概率密度為 f(x)，求 A

35、和 F(x)。其他, 010 ,)(xxAxf - 14 - / 62例 27：隨機(jī)變量X的概率密度為0 0 0 21)(232xxexxfx求X的分布函數(shù)和)(xF)42(XP2 2、常見分布、常見分布0 01 1 分布分布P(X=1)=p, P(X=0)=q例如樹葉落在地面的試驗，結(jié)果只能出現(xiàn)正面或反面。二項分布二項分布在重貝努里試驗中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為nApA，則可能取值為。XXn, 2 , 1 , 0， 其中，knkknnqpkPkXPC)()(nkppq, 2 , 1 , 0, 10 ,1則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項分布。記為。Xnp),(pnBX

36、nknkknnnnnpqpqpnpqqkXPXCC,|)(2221容易驗證，滿足離散型分布率的條件。當(dāng)時，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二1nkkqpkXP1)(1 . 0k項分布的特例。例 28：某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為 0.001，若獨立地射擊 5000 次，試求射中的次數(shù)不少于兩次的概率。泊松分布泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的分布律為X，ekkXPk!)(02 , 1 , 0k則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者 P()。X)(X泊松分布為二項分布的極限分布（np=，n） 。如飛機(jī)被擊中的子彈數(shù)、來到公共汽車站的乘客數(shù)、機(jī)床發(fā)生故障的次數(shù)、自動控制系統(tǒng)中元件損壞的個數(shù)、

37、某商店中來到的顧客人數(shù)等，均近似地服從泊松分布。 - 15 - / 62例 29：某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為 0.001，若獨立地射擊 5000 次，試求射中的次數(shù)不少于兩次的概率，用泊松分布來近似計算。超幾何分布超幾何分布),min(,2 , 1 , 0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 n,N,M 的超幾何分布。例 210：袋中裝有 個白球與 個黑球，從袋中任取 a+b 個球，試求其中含 a 個白球，b 個黑球的概率（a，b） 。（非重復(fù)排列）babaCCC例 211：袋中裝有 個白球與 個黑球，從袋中連續(xù)地取 a+b 個球（不放回） ，試求其中含

38、 a 個白球，b 個黑球的概率（a，b） 。（非重復(fù)排列）babababaPPCC例 212：袋中裝有 個白球與 個黑球，從袋中連續(xù)地取 a+b 個球（放回） ，試求其中含 a 個白球，b 個黑球的概率（a，b） 。（重復(fù)排列）ababaC)()(幾何分布幾何分布，其中 p0，q=1-p。, 3 , 2 , 1,)(1kpqkXPk隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 p 的幾何分布。例 213：5 把鑰匙，只有一把能打開，如果某次打不開不扔掉，問以下事件的概率？第一次打開；第二次打開；第三次打開。均勻分布均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在a，b，其密度函數(shù))(xf在a，b上為常數(shù) k，即 其他，, 0,)(

39、kxf其中 k=，ab 1則稱隨機(jī)變量X在a，b上服從均勻分布，記為 XU(a，b)。分布函數(shù)為 0， xa，,abax axb axb - 16 - / 62xdxxfxF)()( 當(dāng) ax1b。)(xf,xe 0 x,0, 0 x,)(xF,1xe 0 x, 0 xc)4 , 1 ( NX)2 . 75( XP)6 . 10( XP=2P(Xc)。例 217：某人需乘車到機(jī)場搭乘飛機(jī)，現(xiàn)有兩條路線可供選擇。第一條路線較短，但交通比較擁擠，到達(dá)機(jī)場所需時間 X（單位為分）服從正態(tài)分布 N（50，100） 。第二條路線較長，但出現(xiàn)意外的阻塞較少，所需時間 X 服從正態(tài)分布 N（60，16） 。

40、 （1）若有 70 分鐘可用，問應(yīng)走哪一條路線？（2）若有 65 分鐘可用，又應(yīng)選擇哪一條路線？3 3、隨機(jī)變量函數(shù)的分布、隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量是隨機(jī)變量的函數(shù)，若的分布函數(shù)或密度函數(shù)YX)(XgY X)(xFX知道，則如何求出的分布函數(shù)或密度函數(shù)。)(xfX)(XgY )(yFY)(yfY（1 1）是離散型隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量X - 18 - / 62已知的分布列為X ，,)(2121nnipppxxxxXPX顯然，的取值只可能是，若互不相等，則的)(XgY ),(,),(),(21nxgxgxg)(ixgY分布列如下：，,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgy

41、YPY若有某些相等，則應(yīng)將對應(yīng)的相加作為的概率。)(ixgiP)(ixg例 218：已知隨機(jī)變量的分布列為X，31,31,312, 1, 0PX求的分布列。2XY （2 2）是連續(xù)型隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量X先利用 X 的概率密度 fX(x)寫出 Y 的分布函數(shù) FY(y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。例 219：已知隨機(jī)變量，求的密度函數(shù)其他, 010),13(52)(xxxfXXYln。)(yfY第二節(jié)第二節(jié) 練習(xí)題練習(xí)題1 1、常見分布、常見分布例 220：一個袋中有 5 只球，編號為 1，2，3，4，5，在其中同時取 3 只，以 X 表示取出的 3 個球中的最大，試求

42、X 的概率分布。例 221：設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 f(x)=A ，x0,則 A=。272xex例 222：是概率密度函數(shù)的充分條件是：)()(21xfxf（1）均為概率密度函數(shù))(),(21xfxf（2）1)()(021xfxf - 19 - / 62例 223：一個不懂英語的人參加 GMAT 機(jī)考，假設(shè)考試有 5 個選擇題，每題有 5 個選項（單選） ，試求：此人答對 3 題或者 3 題以上（至少獲得 600 分）的概率？例 224：設(shè)隨機(jī)變量 XU（0，5） ，求方程有實根的概率。02442XXxx例 225：設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為其他, 06 , 3,92 1 , 0,31)

43、(xxxf其使得，則 k 的取值圍是。32)( kXP例 226：已知某種電子元件的壽命（單位：小時）服從指數(shù)分布，若它工作了 900 小時而未損壞的概率是，則該種電子元件的平均壽命是9 . 0eA990 小時 B1000 小時 C1010 小時 D 1020 小時例 227：設(shè)隨機(jī)變量X 的概率密度為：則其分布函數(shù)F(x)是)( ,21)(|xexx（A）. 0, 1, 0,21)(xxexFx（B）. 0211, 0,21)(xexexFxx（C）. 0, 1, 0,211)(xxexFx（D）. 1, 1, 10,211, 0.,21)(xxexexFxx例 228：XN(1,4)，YN

44、(2,9)，問 P(X-1)和 P(Y5)誰大？ - 20 - / 62例 229：XN(,2)，0，0，且 P()=，則 ？x212 2、函數(shù)分布、函數(shù)分布例 230：設(shè)隨機(jī)變量 X 具有連續(xù)的分布函數(shù) F(x)，求 Y=F（X）的分布函數(shù) F（y） 。（或證明題：設(shè) X 的分布函數(shù) F(x)是連續(xù)函數(shù)，證明隨機(jī)變量 Y=F（X）在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布。）例 231：設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 F(x)，則 Y=-2lnF(X)的概率分布密度函數(shù) fY(y)=.例 232：設(shè) XU，并且 y=tanx，求 Y 的分布密度函數(shù) f(y)。2,2例 233：設(shè)隨機(jī)變量 X 服從指數(shù)分布

45、，則隨機(jī)變量Y=minX, 2的分布函數(shù)（A）是連續(xù)函數(shù)（B）至少有兩個間斷點（C）是階梯函數(shù)（D）恰好有一個間斷點第三章第三章 二維隨機(jī)變量與其分布二維隨機(jī)變量與其分布第一節(jié)第一節(jié) 基本概念基本概念1 1、二維隨機(jī)變量的基本概念、二維隨機(jī)變量的基本概念（1 1）二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布與邊緣分布）二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布與邊緣分布如果二維隨機(jī)向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個有序?qū)Γ▁,y）時，則稱為離散型隨機(jī)量。理解：（X=x,Y=y）（X=xY=y）設(shè)=（X，Y）的所有可能取值為，且事件=的概), 2 , 1,)(,(jiyxji),(jiyx率為pij,稱), 2 ,

46、 1,(),(),(jipyxYXPijji為=（X，Y）的分布律或稱為 X 和 Y 的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時也用下面的概率分布表來表示： - 21 - / 62 YXy1y2yjpix1p11p12p1jp1x2p21p22p2jp2xipi1pipjp1p2pj1這里pij具有下面兩個性質(zhì)：（1）pij0（i,j=1,2,） ；（2）. 1ijijp對于隨機(jī)向量（X，Y） ，稱其分量 X（或 Y）的分布為（X，Y）的關(guān)于 X（或 Y）的邊緣分布。上表中的最后一列（或行）給出了 X 為離散型，并且其聯(lián)合分布律為，), 2 , 1,(),(),(jipyxYXPijji則 X 的邊緣分布為

47、；), 2 , 1,()(jipxXPPijjiiY 的邊緣分布為 。), 2 , 1,()(jipyYPPijiii例 31：二維隨機(jī)向量（X，Y）共有六個取正概率的點，它們是：（1，-1） ， （2，-1） ，（2，0） ，2，2） ， （3，1） ， （3，2） ，并且（X，Y）取得它們的概率一樣，則（X，Y）的聯(lián)合分布與邊緣分布為 YX-1012p1161000612616106121300616131pj316161311（2 2）二維連續(xù)型隨機(jī)向量聯(lián)合分布密度與邊緣分布）二維連續(xù)型隨機(jī)向量聯(lián)合分布密度與邊緣分布對于二維隨機(jī)向量，如果存在非負(fù)函數(shù)，),(YX),)(,(yxyxf使對

48、任意一個其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域 D，即 D=(X,Y)|axb,cyd有DdxdyyxfDYXP,),(),( - 22 - / 62則稱為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱 f(x,y)為=（X，Y）的分布密度或稱為 X 和 Y 的聯(lián)合分布密度。分布密度 f(x,y)具有下面兩個性質(zhì)：（1）f(x,y)0;（2） . 1),(dxdyyxf一般來說，當(dāng)（X，Y）為連續(xù)型隨機(jī)向量，并且其聯(lián)合分布密度為 f(x,y)，則 X 和 Y 的邊緣分布密度為.),()(),()(dxyxfyfdyyxfxfYX，注意：聯(lián)合概率分布邊緣分布例 32：設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布密度為其他, 0, 0, 0,),()

49、43(yxCeyxfyx試求：（1）常數(shù) C；（2）P0X1, 0Yx1時，有 F（x2,y）F(x1,y);當(dāng) y2y1時，有 F(x,y2)F(x,y1);（3）F（x,y）分別對 x 和 y 是右連續(xù)的，即);0,(),(), 0(),(yxFyxFyxFyxF（4）. 1),(, 0),(),(),(FxFyFF - 25 - / 622 2、隨機(jī)變量的獨立性、隨機(jī)變量的獨立性（1 1）一般型隨機(jī)變量）一般型隨機(jī)變量F(X,Y)=FX(x)FY(y)（2 2）離散型隨機(jī)變量）離散型隨機(jī)變量jiijppp例 35：二維隨機(jī)向量（X，Y）共有六個取正概率的點，它們是：（1，-1） ， （2

50、，-1） ，（2，0） ，2，2） ， （3，1） ， （3，2） ，并且（X，Y）取得它們的概率一樣，則（X，Y）的聯(lián)合分布與邊緣分布為 YX-1012p1161000612616106121300616131pj316161311（3 3）連續(xù)型隨機(jī)變量）連續(xù)型隨機(jī)變量f(x,y)=fX(x)fY(y)聯(lián)合分布邊緣分布f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形例 36：如圖 3.1，f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3, fY(y)=4y-4y3，不獨立。例 37：f(x,y)=其他, 010 , 20 ,2yxAxy（4 4）二維正態(tài)分布）

51、二維正態(tài)分布,121),(2222121211221)(2)1(212yyxxeyxf=0（5 5）隨機(jī)變量函數(shù)的獨立性）隨機(jī)變量函數(shù)的獨立性 - 26 - / 62若 X 與 Y 獨立，h,g 為連續(xù)函數(shù)，則：h（X）和 g（Y）獨立。例如：若 X 與 Y 獨立，則：3X+1 和 5Y-2 獨立。3 3、簡單函數(shù)的分布、簡單函數(shù)的分布兩個隨機(jī)變量的和兩個隨機(jī)變量的和 Z=X+YZ=X+Y離散型：例 38：設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布為X Y0120121611211316161求(i)Z1=X+Y; (ii)Z2=X-Y; (iii) Z3=XY 的分布列。連續(xù)型fZ(z)dxxzxf ),(兩個

52、獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（） 。222121,例 39：設(shè) X 和 Y 是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，且 XU（0，1） ，Ye（1） ，求 Z=X+Y 的分布密度函數(shù) fz(z)?；旌闲屠?310：設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 獨立，其中 X 的概率分布為,7 . 03 . 021X而 Y 的概率密度為 f(y)，求隨機(jī)變量 U=X+Y 的概率密度 g(u)。 - 27 - / 62第二節(jié)第二節(jié) 練習(xí)題練習(xí)題1 1、二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)、二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)例 311：如下四個二元函數(shù)，哪個不能作為二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)？（A）., 0,0 ,0),1)(1 (),(1其他yx

53、eeyxFyx（B）.3arctan22arctan21),(22yxyxF（C）. 12, 0, 12, 1),(3yxyxyxF（D）., 0,0 ,0,2221),(4其他yxyxFyxyx例 312：設(shè)某班車起點站上車人數(shù) X 服從參數(shù)為的泊松分布，每位乘客在中途)0(下車的概率為 p(0p1)，并且他們在中途下車與否是相互獨立的，用 Y 表示在中途下車的人數(shù)，求：（1）在發(fā)車時有 n 個乘客的條件下，中途有 m 人下車的概率；（2）二維隨機(jī)向量（X，Y）的概率分布。例 313：一射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率為 p（0p2|Y0)xeE(X)=， D(X)=121正態(tài)分布 XN(,2)

54、，222)(21)(xexfE(X)=， D(X)=2例 410：罐中有 5 顆圍棋子，其中 2 顆為白子，另 3 顆為黑子，如果有放回地每次取 1子，共取 3 次，求 3 次中取到的白子次數(shù) X 的數(shù)學(xué)期望與方差。例 411：在上例中，若將抽樣方式改為不放回抽樣，則結(jié)果又是如何？例 412：設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 0 的泊松分布，且已知 E（X-1） （X-2）=1，求。例 413：設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 1 的指數(shù)分布，求 E（X-3e-2x） 。例 414：設(shè)（X，Y）服從區(qū)域 D=（x,y）|0 x1, 0y1上的均勻分布，求 E（X+Y） ，E（X-Y） ，E（XY） ，D（

55、X+Y） ，D（2X-3Y） 。2 2、二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征、二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征（1 1）協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)）協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)對于隨機(jī)變量 X 與 Y，稱它們的二階混合中心矩為 X 與 Y 的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為11，即),cov(YXXY或).()(11YEYXEXEXY與記號相對應(yīng)，X 與 Y 的方差 D（X）與 D（Y）也可分別記為與。XYXXYY協(xié)方差有下面幾個性質(zhì)：(i)cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii)cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)

56、-(E(X)(E(Y). - 34 - / 62對于隨機(jī)變量 X 與 Y，如果 D（X）0, D(Y)0，則稱)()(YDXDXY為 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù)，記作（有時可簡記為） 。XY|1，當(dāng)|=1 時，稱 X 與 Y 安全相關(guān)：完全相關(guān)時，負(fù)相關(guān)，當(dāng)時，正相關(guān)，當(dāng)11而當(dāng)時，稱 X 與 Y 不相關(guān)。0與相關(guān)系數(shù)有關(guān)的幾個重要結(jié)論（i）若隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨立，則；反之不真。0XY（ii）若（X，Y）N（） ，則 X 與 Y 相互獨立的充要條件是，,2221210即 X 和 Y 不相關(guān)。（iii）以下五個命題是等價的：；0XYcov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X

57、+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).例 415：設(shè) D（X）=25，D（Y）=36，。求 D（X+Y）與 D（X-Y） 。4 . 0XY（2 2）二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望）二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望 為連續(xù)型。，為離散型；，),(),(),(),(),(),(YXdxdyyxfyxGYXpyxGYXGEijijji（3 3）原點矩和中心矩）原點矩和中心矩對于正整數(shù) k，稱隨機(jī)變量 X 的 k 次冪的數(shù)學(xué)期望為 X 的 k 階原點矩，記為 vk,即uk=E(Xk), k=1,2, .于是，我們有 - 35 - / 62. ,)(續(xù)型時為連當(dāng)為離散型時，當(dāng)XdxxpxXpxuk

58、iikik對于正整數(shù) k，稱隨機(jī)變量 X 與 E（X）差的 k 次冪的數(shù)學(xué)期望為 X 的 k 階中心矩，記為，即k., 2 , 1,)(kXEXEkk于是，我們有. ,)()()(續(xù)型時為連當(dāng)為離散型時，當(dāng)XdxxpXExXpXExukiikik對于隨機(jī)變量 X 與 Y，如果有存在，則稱之為 X 與 Y 的k+l階混合原點矩，)(lkYXE記為，即klu).()(YEYXEXEukkl第二節(jié)第二節(jié) 練習(xí)題練習(xí)題1 1、一維隨機(jī)變量與其函數(shù)的數(shù)字特征、一維隨機(jī)變量與其函數(shù)的數(shù)字特征例 416：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)是其他010)(2xcbxaxxf且已知EX=0.5, DX=0.1

59、5，求系數(shù)a,b,c。例 417：將 10 封信放入到 9 個信箱中去，設(shè)每封信落入各個信箱是等可能的，求有信的信箱數(shù) X 的數(shù)學(xué)期望。例 418：一輛送客汽車，載有 50 位乘客從起點站開出，沿途有 10 個車站可以下車，若到達(dá)一個車站，沒有乘客下車就不停車。設(shè)每位乘客在每一個車站下車是等可能的并且各旅客是否下車相互獨立。設(shè) X 表示停車的次數(shù)。試求 E(X)和 D(X)。例 419：設(shè)某一機(jī)器加工一種產(chǎn)品的次品率為 0.1，檢驗員每天檢驗 4 次，每次隨機(jī)地抽取 5 件產(chǎn)品檢驗，如果發(fā)現(xiàn)多于 1 件次品，就要調(diào)整機(jī)器。求一天中調(diào)整機(jī)器次數(shù)的概率分布與數(shù)學(xué)期望。例 420：地鐵到達(dá)一站時間為

60、每個整點的第 5 分、25 分、55 分鐘，設(shè)一乘客在早 8點9 點之間隨機(jī)到達(dá)，求侯車時間的數(shù)學(xué)期望。2 2、二維隨機(jī)變量與其函數(shù)的數(shù)字特征、二維隨機(jī)變量與其函數(shù)的數(shù)字特征例 421：設(shè) XN（1，2） ，YN（2，4）且 X，Y 相互獨立，求 Z=2X+Y-3 的分布密度函數(shù) - 36 - / 62f(z)。例 422：設(shè) X1，X2，Xn為獨立同分布的隨機(jī)變量，均服從，證明),(2N服從分布。niiXnX11),(2nN例 423：設(shè)二維隨機(jī)向量（X，Y）的聯(lián)合分布密度函數(shù), 0, 5, 102),()5(其他yxxeyxfy則 E（XY）=。例 424：設(shè)（X，Y）服從在 A 上的均勻