2007第1學(xué)期線性代數(shù)B期終考試試卷A

1、西南交通大學(xué)20072008 學(xué)年第(一)學(xué)期考試試卷課程代碼 2100024 課程名稱 線性代數(shù)B 考試時(shí)間 120 分鐘 注意：1答題前，請(qǐng)?jiān)诿芊饩€內(nèi)清楚、正確地填寫班級(jí)、學(xué)號(hào)、姓名；2請(qǐng)將填空題和選擇題的答案填寫在指定的位置，寫在其它地方不得分。一、填空題（每空4分，共24分）1設(shè)，則= ；2設(shè)，則 （是/不是）向量空間；3已知 3 階方陣有特征值 -1，1，2，則= ；4設(shè)矩陣其中線性無(wú)關(guān)，且，則 的通解為： ；5設(shè)，則的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組為： ， = 。二、選擇題（每小題4分，共24分）6行列式 求=（ ） （A） （B）（C） （D） 7設(shè) ，則中的系數(shù)為( )。(A)

2、-1 ； (B) 1 ； (C) -17 ； (D) 17 。8設(shè) 均為 階可逆方陣，下列各式正確的是( )。(A) ； (B) ；(C) ； (D)。9若4階方陣的行列式等于零，則必有（ ）(A) 中至少有一行向量是其余向量的線性組合(B) 中每一行向量都是其余行向量的線性組合(C) 中必有一行為零行(D) 的行向量組線性無(wú)關(guān)10設(shè)為階方陣，則（ ）(A) 的特征值一定都是實(shí)數(shù)(B) 必有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量(C) 可能有+1個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量(D) 最多有個(gè)互不相同的特征值11設(shè)非齊次線性方程組 的未知量個(gè)數(shù)為 ，方程個(gè)數(shù)為 ，則在條件( )成立時(shí)，一定有解。(A) 矩陣的列向量組線性無(wú)

3、關(guān)； (B) 矩陣的列向量組線性相關(guān)；(C) 矩陣的行向量組線性無(wú)關(guān)； (D) 矩陣的行向量組線性相關(guān)。三、計(jì)算題（46分）12、計(jì)算行列式 。（6分）13、設(shè)矩陣，矩陣滿足，求矩陣。（8分）14、設(shè)向量組 ，向量，問(wèn) 取何值時(shí)（1）能由惟一表示？（2）不能由線性表示？（3）能由線性表示但表達(dá)式不惟一？ （8分）15、已知二次型，記 （1）寫出該二次型的矩陣；（2）求一個(gè)正交矩陣 ，使得 為對(duì)角陣；（3）寫出該二次型在正交變換 下的標(biāo)準(zhǔn)型，其中；（4）該二次型是否為正定二次型，只需回答是或者不是。（14分）16、設(shè)，其中，求。（10分）四、應(yīng)用題（17、18選做1個(gè)）（6分）17、某地的道路交

4、叉處通常建成單行的小環(huán)島，如圖所示，請(qǐng)求出該網(wǎng)絡(luò)流通解，并找出的最小可能值。（圖上箭頭為車行進(jìn)方向，數(shù)字為每小時(shí)車流量，為所標(biāo)路段上的車流量） 18、一個(gè)飲食專家計(jì)劃一份膳食，提供一定量的維生素C，鈣和鎂。其中用到了3種食物，它們的質(zhì)量用適當(dāng)?shù)膯挝挥?jì)量。這些食品提供的營(yíng)養(yǎng)以及食譜需要的營(yíng)養(yǎng)如下表給出：營(yíng)養(yǎng)單位食物所含營(yíng)養(yǎng)（mg）需要的營(yíng)養(yǎng)總量（mg）食物1食物2食物3維生素C102020100鈣504010300鎂301040200請(qǐng)?jiān)O(shè)立合適的變量建立并求解方程確定該食譜。（精確到小數(shù)點(diǎn)后1位）線性代數(shù)B參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題答案填寫處（每空3分）：（1）1；（2） 是 （3） -16

5、；（4） 或 ；（5）（1）任意三列（2） 3 ；。二、選擇題答案填寫處（每題4分）：1 D ； 2 C ； 3 B ； 4 A ； 5 D ； 6 C 。三、1、計(jì)算。（6分）解：注：本題有多種解法，只要行列式性質(zhì)使用正確，并且結(jié)果正確即可給滿分；2、設(shè)矩陣，矩陣滿足，求矩陣。（8分）解：因?yàn)?所以 2分 4分，故可逆6分 8分注：此題如有其它解法，只要計(jì)算過(guò)程及結(jié)果正確，均可給滿分。3、設(shè)向量組 ，向量，問(wèn) 取何值時(shí)（1）能由惟一表示？（2）不能由線性表示？（3）能由線性表示但表達(dá)式不惟一？ （8分）方法一：原題等價(jià)于的解的存在性問(wèn)題則原方程組的系數(shù)行列式為： 2分（1） 當(dāng) D0，即 時(shí)

6、，由Cramer法則知道，原方程組有惟一解，故可惟一表示 3分（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換如下： 系數(shù)矩陣的秩為2，增廣矩陣的秩為3，此時(shí)，方程組無(wú)解，故不能由線性表示 5分（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換如下： 系數(shù)矩陣的秩為1，增廣矩陣的秩為1，未知量的個(gè)數(shù)為3，此時(shí)，方程組有無(wú)窮多解。 這時(shí)能由線性表示但表達(dá)式不惟一 8分方法二：原題等價(jià)于的解的存在性問(wèn)題則增廣矩陣為： 3分（1） 當(dāng)，即時(shí)，原方程組有惟一解。故可惟一表示4分（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換如下： 系數(shù)矩陣的秩為2，增廣矩陣的秩為3，此時(shí)，方程組無(wú)解。故不能由線性表示5分（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)方

7、程組的增廣矩陣作初等行變換如下： 系數(shù)矩陣的秩為1，增廣矩陣的秩為1，未知量的個(gè)數(shù)為3，此時(shí)，方程組有無(wú)窮多解。 這時(shí)能由線性表示但表達(dá)式不惟一 8分4、已知二次型，記 （1）寫出該二次型的矩陣；（2分）（2）求一個(gè)正交矩陣 ，使得 為對(duì)角陣；（8分）（3）寫出該二次型在正交變換 下的標(biāo)準(zhǔn)型，其中；（2分）（4）該二次型是否為正定二次型，只需回答是或者不是。（2分）解：（1）二次型的矩陣 ； 2分（2）方陣A的特征多項(xiàng)式為： 令 ，解得特征值為 4分 將分別代入方程組 ,可得特征向量分別為，6分 對(duì)它們進(jìn)行schimidt正交化再單位化后得到所求正交矩陣， 9分且滿足 10分（3）該二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為： 12分（4）不是。 14分5、設(shè)，其中，求。（10分）解：因?yàn)椋裕?）（4）(6) (7) （10）注：此題還可以通過(guò)