三角形的全等及其應(yīng)用

1、第十講 三角形的全等及其應(yīng)用時間：2005-9-9 16:10:00 來源：初中數(shù)學(xué)競賽 作者：佚名 在中學(xué)教材中，關(guān)于三角形全等有以下判定公理： (1)邊角邊公理 有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡寫成“SAS”)(2)角邊角公理 有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡寫成“ASA”)推論 有兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡寫成“AAS”)(3)邊邊邊公理 有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡寫成“SSS”)關(guān)于直角三角形有：(4)斜邊、直角邊公理 有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(簡寫成“HL”)利用全等三角形，我們可以得到有關(guān)

2、角平分線、線段的垂直平分線、等腰三角形的許多重要性質(zhì)，在本講中將直接利用這些性質(zhì)借助于全等三角形的知識，我們可以研究很多關(guān)于角和線段相等及不等問題、關(guān)于直線平行與垂直問題例1 如圖2-1所示1=2，ABC=DCB求證：AB=DC分析 用全等三角形證明線段(或角)相等，最常用的方法是探究所求證的線段(或角)分別在一對可證的全等三角形之中本題的AB，DC分別屬于兩對三角形ABE和CDE及ABC和DBC經(jīng)分析可證明ABECDE證 由已知，1=2，ABC=DCB，而EBC=ABC-1，ECB=DCB-2，所以EBC=ECB在ABC及BCD中，ABC=BCD，EBC=ECB，BC=BC，所以 ABCDC

3、B(ASA)，所以 AB=CD說明 線段AB，CD也屬于兩個(事實上)全等的ABE和DCE，因此也可直接證明這兩個三角形全等例2 如圖2-2所示ABC是等腰三角形，D，E分別是腰AB及AC延長線上的一點(diǎn)，且BD=CE，連接DE交底BC于G求證：GD=GE分析 從圖形看，GE，GD分別屬于兩個顯然不全等的三角形：GEC和GBD此時就要利用這兩個三角形中已有的等量條件，結(jié)合已知添加輔助線，構(gòu)造全等三角形方法不止一種，下面證法是其中之一證 過E作EFAB且交BC延長線于F在GBD及GEF中， BGD=EGF(對頂角)， B=F(兩直線平行內(nèi)錯角相等) 又B=ACB=ECF=F，所以，ECF是等腰三角

4、形，從而EC=EF又因為EC=BD，所以BD=EF 由，GBDGEF(AAS)，所以 GD=GE說明 適當(dāng)添加輔助線、構(gòu)造全等三角形的方法可以不止一種，本題至少還有以下兩種方法：(1)過D作DFAC，交BC于F可用同樣方法證明GFDGCE(圖2-3)(2)過D作DFBC于F；過E作EHBC于BC延長線于H，可證明GFDGEH(圖2-4)做完一道題后，再想一想還有沒有其他證明方法，比較一下哪種證法更好，這對于發(fā)展思考、鍛煉能力是大有好處的例3 如圖2-5所示在等邊三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P點(diǎn)，BQAD于Q求證：BP=2PQ分析 首先看到BP，PQ在RtBPQ之中，只要證明BPQ

5、=60°(或PBQ=30°)然而，BPQ是ABP的一個外角，所以BPQ=PAB+PBA但A=PAB+PAC=60°，若能證明PBA=PAC，問題即能解決，這兩個角分別在ABE與CAD中，可以證明這兩個三角形全等證 在ABE與CAD中，EAB=DCA=60°，AB=CA，AE=CD，所以ABECAD(SAS)，所以 ABE=CAD由于BPQ是ABP的外角，所以BPQ=PAB+PBA=PAB+CAD=60°在RtBQP中，BPQ=60°，PBQ=30°，所以BP=2PQ(在RtBPQ中30°角的對邊等于斜邊的一半)說明

6、 發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造全等三角形是利用全等三角形證明題目的關(guān)鍵，為此，我們常從發(fā)現(xiàn)兩個三角形中對應(yīng)元素相等入手，逐步發(fā)現(xiàn)或經(jīng)推理“湊齊”三角形全等的條件如本題在分析到欲證ABP=CAD后，進(jìn)而把注意力集中到ABE與CAD中，這里，可適當(dāng)利用幾何直觀感覺，啟發(fā)我們尋找有希望全等的三角形，例如雖然ABP與APE都含欲證的角，但只需觀察即可知，這兩個三角形無望全等例4 如圖2-6所示A=90°，AB=AC，M是AC邊的中點(diǎn)，ADBM交BC于D，交BM于E求證：AMB=DMC分析1 從圖形觀察AME與DMC所在的兩個三角形AME與DMC顯然不全等，但是這兩個三角形中有其他相等元素：AM=MC若能利用已

7、知條件在現(xiàn)有的三角形中構(gòu)造出新的對應(yīng)相等的元素，形成全等三角形，這是理想不過的事由于C=45°，A=90°，若作A的平分線AG，則在AGM中，GAM=45°=C結(jié)合求證中的AMB=DMC(這當(dāng)然不能作為已知，但在分析中可以“當(dāng)作已知”來考慮，以便尋找思路)，我們可以斷言AGM“應(yīng)該”與CDM全等！為此，只要在這兩個三角形中求得一組邊相等即可圖形及條件啟發(fā)我們可考慮去證明AGBCDA證法1 作BAC的平分線AG，交BM于G在AGB與CDA中，因為AB=CA，BAG=ACD=45°，ABG=90°-AMB， MAD=90°-EAB 由于，

8、在RtMAB中，AEBM，所以AMB=EAB由，ABG=MAD，所以AGBADC(ASA)，于是 AG=CD在AMG與CMD中，還有AM=MC，GAM=DCM=45°，所以 AMGCMD，從而 AMB=DMC分析2 如圖2-7所示注意到在RtABM中，由AEBM得到MAE=MBA，若延長AE，過C作CFAC交AE延長線于F，可構(gòu)成RtABMRtACF，從而有AMB=F設(shè)法證明DMC=F，則問題獲解證法2 引輔助線如分析2所述在RtABM與RtCAF中，ABM=CAF，AB=AC，及BAM=ACF=90°，所以RtABMRtCAF(ASA)，所以AMB=F，AM=CF 在MC

9、D與FCD中，F(xiàn)C=AM=MC(因為M是AC中點(diǎn))由于ACF=90°，ACB=45°，所以FCD=MCD=45°，CD=CD，所以 FCDMCD(SAS)，所以 F=DMC 由， AMB=DMC說明 這兩個證法的思路較為復(fù)雜添加輔助線的結(jié)果造出兩對全等三角形，第一對全等三角形產(chǎn)生一些對應(yīng)相等的元素，為第二對全等三角形做了鋪墊；第一對全等三角形將欲證的一個角“轉(zhuǎn)移”到第二對全等三角形中，從而最后使問題獲解對一些較復(fù)雜的問題采用迂回的辦法，因勢利導(dǎo)地創(chuàng)造全等三角形，產(chǎn)生更多的相等條件，使欲證的角(或邊)轉(zhuǎn)移位置，走出“死角”，最終使問題獲解例5 如圖2-8所示正方形A

10、BCD中，在邊CD上任取一點(diǎn)Q，連AQ，過D作DPAQ，交AQ于R，交BC于P，正方形對角線交點(diǎn)為O，連OP，OQ求證：OPOQ分析 欲證OPOQ，即證明COP+COQ=90°然而，COQ+QOD=90°，因此只需證明COP=DOQ即可這歸結(jié)為證明COPDOQ，又歸結(jié)為證明CP=DQ，最后，再歸結(jié)為證明ADQDCP的問題證 在正方形ABCD中，因為AQDP，所以，在RtADQ與RtRDQ中有RDQ=QAD所以，在RtADQ與RtDCP中有AD=DC，ADQ=DCP=90°，QAD=PDC，所以ADQDCP(ASA)，DQ=CP又在DOQ與COP中，DO=CO，OD

11、Q=OCP=45°，所以DOQCOP(SAS)，DOQ=COP從而POQ=COP+COQ=DOQ+COQ =COD=90°，即OPOQ說明 (1)利用特殊圖形的特殊性質(zhì)，?？砂l(fā)現(xiàn)有用的條件，如正方形對角線互相垂直，對角線與邊成45°角，及OA=OB=OC=OD等均在推證全等三角形中被用到(2)兩個三角形的全等與對應(yīng)元素相等，這兩者互為因果，這是利用全等三角形證明問題的基本技巧例6 如圖2-9所示已知正方形ABCD中，M為CD的中點(diǎn)，E為MC上一點(diǎn)，且BAE=2DAM求證：AE=BC+CE 分析 證明一條線段等于兩條線段和的基本方法有兩種：(1)通過添輔助線“構(gòu)造”

12、一條線段使其為求證中的兩條線段之和(BC+CE)，再證所構(gòu)造的線段與求證中那一條線段相等(2)通過添輔助線先在求證中長線段(AE)上截取與線段中的某一段(如BC)相等的線段，再證明截剩的部分與線段中的另一段(CE)相等我們用(1)法來證明證 延長AB到F，使BF=CE，則由正方形性質(zhì)知AF=AB+BF=BC+CE下面我們利用全等三角形來證明AE=AF為此，連接EF交邊BC于G由于對頂角BGF=CGE，所以RtBGFRtCGE(AAS)，從而于是RtABGRtADM(SAS)，所以過G引GHAE于H因為AG是EAF的平分線，所以GB=GH，從而RtGBFRtGHE(HL)，所以F=HEG，則 AF=AE(底角相等的三角形是等腰三角形)，即 AE=BC+CE說明 我們也可以按分析(2)的方法來證明結(jié)論，為此可先作BAE的平分線AG交邊BC于G，再作GHAE于H，通過證明ABGAHG知AB=AH=BC下面設(shè)法證明HE=CE即可，請同學(xué)們自證 練 習(xí) 十1如圖2-10所示AD，EF，BC相交于O點(diǎn)，且AO=OD，BO=OC，EO=OF求證：AEBDFC2如圖2-11所示正三角形ABC中，P，Q，R分別為AB，AC，BC的中點(diǎn)，M為BC上任意一點(diǎn)(不同于R)，且PMS為正三角形求證：