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1、2006年上海市高中數(shù)學(xué)競賽(新知杯)試卷(2006年3月26日 星期日 上午8:3010:30)題 號一二總分189101112得 分評 卷復(fù) 核【說明】解答本試卷不得使用計算器一、填空題(本題滿分60分,前4小題每小題7分,后4小題每小題8分)1設(shè)x,y,z是正實數(shù),滿足,則xyz的最大值是 2設(shè)從正整數(shù)k開始的201個連續(xù)正整數(shù)中,前101個正整數(shù)的平方和等于后100個正整數(shù)的平方和,則k的值為 3設(shè)是給定的整數(shù),是實數(shù),則的最大值是 4在ABC中,已知,過邊AC上一點D作直線DE,與邊AB或者BC相交于點E,使得,且DE將ABC的面積兩等分,則 5對于任意實數(shù)a,b,不等式恒成立,則常
2、數(shù)C的最大值是 (注:表示x,y,z中的最大者)6設(shè),則滿足條件的所有實數(shù)a,b的值分別為 7在直三棱柱中,已知底面積為s平方米,三個側(cè)面面積分別為m平方米,n平方米,p平方米,則它的體積為 立方米8已知函數(shù)RR滿足:對任意R,都有,則所有滿足條件的函數(shù)f為 二、解答題9(本題滿分14分) 已知拋物線,其焦點為F,一條過焦點F,傾斜角為的直線交拋物線于A,B兩點,連接AO(O為坐標(biāo)原點),交準(zhǔn)線于點,連接BO,交準(zhǔn)線于點,求四邊形的面積 10(本題滿分14分) 數(shù)列定義如下:,且當(dāng)時,已知,求正整數(shù)n 密 封 線 11(本題滿分16分) 對一個邊長互不相等的凸邊形的邊染色,每條邊可以染紅、黃、
3、藍(lán)三種顏色中的一種,但是不允許相鄰的邊有相同的顏色問:共有多少種不同的染色方法?12(本題滿分16分) 設(shè),求的最大值和最小值2006年上海市高中數(shù)學(xué)競賽參考答案一、填空題(本題滿分60分,前4小題每小題7分,后4小題每小題8分)1、 2、201003、 4、5、1003 6、,b07、 8、二、解答題9(本題滿分14分) 已知拋物線,其焦點為F,一條過焦點F,傾斜角為的直線交拋物線于A,B兩點,連接AO(O為坐標(biāo)原點),交準(zhǔn)線于點,連接BO,交準(zhǔn)線于點,求四邊形的面積解 當(dāng)時, (4分)當(dāng)時,令設(shè),則由, , 消去x得,所以 , 又直線AO的方程為:,即為,所以,AO與準(zhǔn)線的交點的坐標(biāo)為,而
4、由知,所以B和的縱坐標(biāo)相等,從而軸同理軸,故四邊形是直角梯形(9分)所以,它的面積為(14分)10(本題滿分14分) 數(shù)列定義如下:,且當(dāng)時,已知,求正整數(shù)n解 由題設(shè)易知,又由,可得,當(dāng)n為偶數(shù)時,;當(dāng)是奇數(shù)時, (4分)由,所以n為偶數(shù),于是,所以,是奇數(shù)于是依次可得:, 是偶數(shù),是奇數(shù),是偶數(shù),是奇數(shù),是偶數(shù),是偶數(shù), ,是奇數(shù), (9分),是偶數(shù),是奇數(shù),是偶數(shù),所以,解得,n238 (14分)11(本題滿分16分) 對一個邊長互不相等的凸邊形的邊染色,每條邊可以染紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種,但是不允許相鄰的邊有相同的顏色問:共有多少種不同的染色方法? 解 設(shè)不同的染色法有種易知 (4分) 當(dāng)時,首先,對于邊,有3種不同的染法,由于邊的顏色與邊的顏色不同,所以,對邊有2種不同的染法,類似地,對邊,邊均有2種染法對于邊,用與邊不同的2種顏色染色,但是,這樣也包括了它與邊顏色相同的情況,而邊與邊顏色相同的不同染色方法數(shù)就是凸n1邊形的不同染色方法數(shù)的種數(shù),于是可得 , (10分) 于是 , , 綜上所述,不同的染色方法數(shù)為 (16分)12(本題滿分16分) 設(shè),求的最大值和
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