一元二次方程的解法易錯(cuò)點(diǎn)剖析

1、一元二次方程易錯(cuò)題剖析一、在確定一元二次方程時(shí)，容易忽視二次項(xiàng)系數(shù)0題目1 關(guān)于x的方程是一元二次方程，求k的值錯(cuò)解：即3，1.錯(cuò)因：方程（0）為一元二次方程，這里強(qiáng)調(diào)0.當(dāng)1時(shí)，使10，原方程是一元一次方程.正解： 3.二、在使用一元二次方程根的判別式時(shí)，容易忽視二次項(xiàng)系數(shù)0題目2 關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)根，求的取值范圍.錯(cuò)解：方程有實(shí)根，0，即0，0，2.錯(cuò)因：因?yàn)轭}中說(shuō)明是一元二次方程，則還應(yīng)滿足10，即1。正解：2，且1.三、忽視根的判別式和二次項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)滿足的條件題目3 已知關(guān)于x的方程的兩根之積比兩根之和的2倍小，并且兩根的平方和為22，求，的值.錯(cuò)解：設(shè)兩根分別為，則，.由題意

2、，得即解得 或 錯(cuò)因：因?yàn)榉匠逃袃筛f(shuō)明根的判斷式0，即0，但7和不滿足，應(yīng)舍去.又這里二次項(xiàng)系數(shù)1是已知的，解題時(shí)可不考慮。正解：當(dāng)7，時(shí)，0，不合題意，舍去；當(dāng)3，時(shí)，>0，3，.四、忽視兩未知數(shù)的值中有一個(gè)是增根的情況題目4 為何值時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.錯(cuò)解：原方程化為.此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，分式方程只有一個(gè)實(shí)根，.錯(cuò)因：當(dāng)方程的兩實(shí)根中有一個(gè)是原方程的增根，另一根是原方程的根時(shí)，命題也成立.正解：把0代入，得l；把1代入，得5.當(dāng)，1，5時(shí)，原分式方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.五、討論不定次數(shù)的方程的解時(shí)，只考慮是二次方程時(shí)的情況，忽視是一次方程時(shí)的情況.題目5 已知關(guān)于的方程有

3、實(shí)根，求的取值范圍.錯(cuò)解：當(dāng)即時(shí)，方程有實(shí)根，0且1時(shí)，方程有實(shí)根.錯(cuò)因：只考慮了方程是一元二次方程時(shí)方程有根的情況.本題并沒(méi)有說(shuō)明方程有“二次”和“兩根”的條件，允許它是一次方程.正解：當(dāng)1O，即1時(shí)，方程化為，.當(dāng)0時(shí)，方程有實(shí)根.六、不理解一元二次方程的定義題目6 方程(m1)xm212mx30是關(guān)于x的一元二次方程，求m的值.錯(cuò)解：由題意可得m212，m±1錯(cuò)因：一元二次方程滿足的條件是：只含有一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)為2；整式方程方程經(jīng)整理可轉(zhuǎn)化為一般形式：ax2bxc0(a0)本題在解題過(guò)程中忽略了一元二次方程系數(shù)不為零的條件正解： 由題意可得，m212，且m10，m

4、±1且m1，m的值是1七、二次三項(xiàng)式的配方與一元二次方程的配方的知識(shí)混淆題目7 用配方法求2x212x14的最小值錯(cuò)解： 2x212x14x26x92(x3)22當(dāng)x3時(shí)，原多項(xiàng)式的最小值是2錯(cuò)因： 一元二次方程配方時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)化為1，方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，而二次三項(xiàng)式的配方不能除以二次項(xiàng)系數(shù)，而應(yīng)提取二次項(xiàng)系數(shù)要注意等式與代數(shù)式變形的區(qū)別正解： 2x212x142(x26x7)2(x26x92)2(x3)24當(dāng)x3時(shí)，原多項(xiàng)式的最小值是-4.八、解方程中錯(cuò)誤使用等式的性質(zhì)題目8 解方程x26x錯(cuò)解： x26x，解這個(gè)方程，得x6錯(cuò)因： 本題想利用等式的性質(zhì)進(jìn)行求解，但方程兩

5、邊不能同除以值為零的代數(shù)式正解： x26x， x26x0， x(x6)0，x10，x26九、題目9關(guān)于x的方程1，有一個(gè)增根為4，求k的值1.對(duì)增根概念理解不準(zhǔn)確錯(cuò)解1：把x4代入原方程，得1，解得 k3.錯(cuò)因：本解法錯(cuò)誤在于對(duì)增根概念理解不準(zhǔn)確，既然是增根，代到原方程中去，等式不應(yīng)該成立實(shí)際上解法中把4當(dāng)作原方程的根，而沒(méi)有當(dāng)作增根來(lái)處理2.忽略題中的隱含條件錯(cuò)解2：將原方程化為整式方程，得 4(xk)(x5k)2 (*)把x4代入整式方程(*)，得4(4k)(45k)2解之，得k13，k25答：k的值為3或5錯(cuò)因：本解法已經(jīng)考慮到增根的定義增根是在將無(wú)理方程化為整式方程時(shí)產(chǎn)生的，所以題目中

6、的增根x4肯定是在解整式方程(*)時(shí)產(chǎn)生的將x4代入整式方程(*)，等式應(yīng)該成立求出k13，k25，但本解法忽略了對(duì)k值的驗(yàn)證將無(wú)理方程化為整式方程時(shí)，可能產(chǎn)生增根，也可能不產(chǎn)生增根，因此還必須將求得的k值和x4代到原無(wú)理方程中去驗(yàn)證正解：（1）將k13，x4代入原無(wú)理方程，左邊 1，右邊1左邊右邊當(dāng)k3時(shí)，x4是適合原方程的根(不是增根)（2）將k25，x4代入原無(wú)理方程，左邊1，右邊1，左邊右邊當(dāng)k5時(shí)，x4是原方程的增根綜上所述，原方程有一個(gè)增根為4時(shí)， k的值為5十、忽略前提，亂套公式題目10 解方程：+3x=4.錯(cuò)解：因?yàn)?-4×1×4=-70，所以方程無(wú)解.錯(cuò)因

7、：用公式法解一元二次方程，必須先把方程化為一般形式a+b+c=0(a0).如果同學(xué)們沒(méi)有理解這一點(diǎn)，胡亂地套用公式，解方程時(shí)就會(huì)造成錯(cuò)誤.正解：方程可化為+3-4=0. =-4×1×（-4）=250.x=.即=1, =-4.十一、誤用性質(zhì)，導(dǎo)致丟根題目11方程（-5）(-6)= -5的解是（ ） A.=5 B.=5或=6 C.=7 D.=5或=7錯(cuò)解：選C.將方程的兩邊同時(shí)除以-5得-6=1,解得=7.錯(cuò)因：在解一元二次方程時(shí)，不能在方程的兩邊同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式，否則就會(huì)產(chǎn)生漏根的現(xiàn)象，導(dǎo)致解題出錯(cuò).正解：選D.移項(xiàng)得（-5）(-6)-( -5)=0，因式分解得（-

8、5）(-7)=0,解得=5，=7.十二、考慮不周，顧此失彼題目12 若關(guān)于x的一元二次方程(m+1)- +-m-2=0的常數(shù)項(xiàng)為0，則m的值為（ ）A. m=-1 B.m=2 C.m=-1或m=2 D.m=1或m=-2錯(cuò)解：據(jù)題意可得-m-2=0，解得=-1,=2，所以選C.錯(cuò)因：錯(cuò)解中根據(jù)題中條件構(gòu)造關(guān)于m的方程-m-2=0，以達(dá)到求m的值的目的，這樣思考并沒(méi)有錯(cuò)，錯(cuò)就錯(cuò)在忽略了一元二次方程的一般形式a+b+c=0中必須有a0這一條件.正解：據(jù)題意可得-m-2=0，解得=-1,=2.又因?yàn)閙+10,故m-1，所以m=2，故選B.十三、一知半解，配方不當(dāng)題目13 解方程：-6-6=0.錯(cuò)解：移

9、項(xiàng)，得-6=6，故（x-3）2=0解得=3.錯(cuò)因：運(yùn)用配方法解一元二次方程時(shí)，同學(xué)們最容易犯的錯(cuò)誤是方程等號(hào)一邊加上了一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，而另一邊卻忘了加或者加錯(cuò).所以用配方法解一元二次方程時(shí)，要正確理解配方法的實(shí)質(zhì)及解題的步驟，避免配方不當(dāng)產(chǎn)生錯(cuò)誤.正解：移項(xiàng)，得-6=6,所以-6+9=6+9,即=15,解得=3+,=3-.十四、概念不清，導(dǎo)致錯(cuò)誤題目14 下列方程中，一元二次方程為 .； ； ； ； .錯(cuò)解：多找了(2)或(6)或少找了(3)或(4) 錯(cuò)因：多找了(2)或(6)是因?yàn)闆](méi)將方程整理，少找(3)是將它看作是分式方程，少找了(4)是因?yàn)榉匠虥](méi)有一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)過(guò)于簡(jiǎn)單判斷一方程是

10、否為一元二次方程，首先看它是否為整式方程，若是整式方程，再進(jìn)行整理，整理之后再看它是否符合定義的另兩個(gè)特點(diǎn).正解：是方程(1),(3),(4) 十五、忽略二次項(xiàng)系數(shù)a0導(dǎo)致字母系數(shù)取值范圍擴(kuò)大題目15.如果關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)解是0，求m的值錯(cuò)解：將x0代入方程中，得，.錯(cuò)因：由一元二次方程的定義知，而上述解題過(guò)程恰恰忽略了這一點(diǎn)，正解：將代入方程中，得.又因?yàn)椋?十六、忽略一元二次方程的“元”和“次”都是對(duì)合并同類項(xiàng)之后而言的，導(dǎo)致錯(cuò)解題目16關(guān)于x的方程是一元二次方程的條件是什么？錯(cuò)解：由一元二次方程的定義知.錯(cuò)因：一元二次方程的“元”和“次”都是對(duì)合并同類項(xiàng)之后而言的.而上述解

11、題過(guò)程恰恰忽略了這一點(diǎn)，整理得，正解：關(guān)于的方程是一元二次方程的條件為十七、忽略一元二次方程有實(shí)根條件0導(dǎo)致錯(cuò)解題目17. 已知,是方程的兩實(shí)根，求的最大值.錯(cuò)解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，所以當(dāng)時(shí)，有最大值19.錯(cuò)因：當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)?，此時(shí)0，方程無(wú)實(shí)根.錯(cuò)因是忽略了0這一重要前提.正解：由于方程有兩實(shí)根，故0，即,解得4k.所以當(dāng)時(shí)，有最大值18.十八、未挖掘題目中的隱含條件導(dǎo)致錯(cuò)解題目18.若,則=_.錯(cuò)解：解得=4或=-2錯(cuò)因：忽視了的非負(fù)性，所以應(yīng)舍去=-2.正解：4題目19、已知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求 的取值范圍錯(cuò)解： 已知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 0，即 a.所以的取值范圍是大于或等于的實(shí)數(shù)錯(cuò)

12、因：因已知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，這個(gè)方程必須是一元二次方程，解答過(guò)程忽略了二次項(xiàng)系數(shù)不為0 的條件。正解： 且0題目20、 當(dāng)k 為何值時(shí)，方程有實(shí)根?錯(cuò)解： 已知方程有實(shí)根， = (2)²4× 3 k0，解得k又k0， 當(dāng)k且k0 時(shí)，方程kx²2x + 3= 0 有實(shí)根錯(cuò)因： 題目未說(shuō)明已知方程為一元二次方程，當(dāng)k = 0 時(shí)，方程為一元一次方程，此時(shí)有實(shí)根x=，也符合題意。正解：當(dāng)k時(shí)，已知方程有實(shí)根題目21、 已知關(guān)于x 的方程( m² 1) x² ( m + 1) x + 1 = 0 的兩實(shí)數(shù)根互為倒數(shù)，求m的值.錯(cuò)解：已知方程的兩根互為倒數(shù)，由根與系數(shù)關(guān)系，知，解得經(jīng)檢驗(yàn)，它們都是方程的根，所以m 的值為，錯(cuò)因：求出的m 值需保證已知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此m 的值除滿足是解題過(guò)程中的分式方程的根外( m ± 1) ，還需代入已知方程的根的判別式進(jìn)行檢驗(yàn)實(shí)際上，當(dāng)m =時(shí)，方程為， =，此時(shí)已知方程無(wú)實(shí)數(shù)根 正