第7章電路的拉普拉斯變換分析

1、主編斯變換的基本性質(zhì) 7.3 拉斯反變換 7.4 復頻域電路 7.5 電路的拉斯變換分析法 東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（，由網(wǎng)學天地獨家制作！）；咨詢7.2拉7.1 拉斯變換的定義第7章 電路的拉斯變換分析法拉斯變換（簡稱拉氏變換）是求解常系數(shù)線性微分方程的工具。拉氏正變換設一個變量t的函數(shù)f(t)，在任意區(qū)間能夠滿足條件（一般電子技術中處理的函數(shù)都滿足這一條件）f (t ) = 0¥t <0t ³ 0òf (t)e -st dt為有限值0S =s + jws > 0下線 0- 后面討論中寫成0數(shù)。f(t)：原函數(shù)；F(S)：f(t)的7.1 拉&

2、#165;-stF (s) = ò0f (t)edt-拉氏正變換斯變換的定義用定義求f(t)數(shù)。其中a為實數(shù)，且a>0。例f (t) = eate (t)根據(jù)拉氏變換的定義解¥=òf (t)e-st dtF (s)0-( s-a )t e- (s - a)¥¥=e edt =dt =òòat-st-( s-a )t¥0-e0-0-1因為s = s + jw=1- lime-( s-a )t -( s-a)t= 0lim es - at®¥t ®¥= lim e-(s -

3、a ) t e- jwtt®¥(s > a)1=s - a=0(s > a)s > a稱為收斂域東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（拉氏反變換由F(s)到f(t)的變換稱為拉，由網(wǎng)學天地獨家制作?。?；咨詢斯反變換，簡稱拉氏反變換ds拉氏變換對F(f ()t拉氏正變換s) 拉氏反變換工程中常見的函數(shù)(除少數(shù)例外)有下列兩類:(1) t的指數(shù)函數(shù)；(2) t的正整冪函數(shù)。許多常用的函數(shù)如階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、衰減正弦函數(shù)等，這兩類函數(shù)導出。下面來討論一些常見函數(shù)的拉斯變換)s= L( ft )=L -1F(f ( t )= 1 òs+j ¥ s(

4、)estF2pj s-j ¥ea te (t )由定義可得的拉斯變換為由此可導出一些常用函數(shù)的變換 ：t >t <)= 1ì00階躍函數(shù)e ( t )1、e( tí0îa=0F (s) = 1s - a東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（，由網(wǎng)學天地獨家制作?。?；咨詢Le (t ) = 1sF (s) =1s - a7.1.1 指數(shù)函數(shù)ea te (t ) (a為常數(shù))2、正弦函數(shù) sin w t e ( t )1 ( t j w t-ej w t )sin we=-2j 故有ìü()e ( )1sitnw( ) =ewet-

5、 wj-jtLtLetíýî2jþ1 æöw1-wj1=ç-÷ =2çjs÷w s+ j+ ws22èøL東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（，由網(wǎng)學天地獨家制作?。?；咨詢sinw et ( )t=ws2+ w 23、余弦函數(shù) cos w t e ( t )coswe = 1 ( tjw t+ e- j w t )2故有et ( ) = L ì1 (j)e ( )ücotswwetwj+-tLetí2ýîþ1 æ

6、;ö1-wj1sç÷ =+2 çs÷w s+ j+ ws22èøL東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（，由網(wǎng)學天地獨家制作?。?；咨詢cowset ( )t=ss2+ w 2(t)e -a t sin we4、衰減正弦函數(shù)sinwt = 1éëe-(a - j w )t- e-(a + j w )t ùûe-a t2j 1 11(s + a) + jw故有Le-at sin wt =-2 j (s + a) - jww(s + a)2 + w 2=(t)e -a t coswe5、衰減余弦函

7、數(shù)與衰減正弦函數(shù)相類似可得Le-a t coswte (t ) =s + a(s + a )2 + w 2Le- at sin wt =w(s + a)2 + w 26、雙曲線正弦函數(shù) sh bt e ( t )sh b t = 1 (eb t- e- b t )2故有7、雙曲線余弦函數(shù) ch bt e ( t )與雙曲線正弦函數(shù)相類似可得Lch b te (t ) =ss2 - b 2Lshb te (t ) =bs2 - b 2由定義可得 tne (t )的拉斯變換為¥( )òu = tn ,dv = e-st dtL t e t=n- stntedt設0則¥

8、¥òòt edt =n- studv00亦即¥0¥ò= uv-udv0¥ + nn= - te¥ò- stn-1- sttedt0ss0ns¥òn-1- st=tedt0Ltne (t ) = n Ltn-1e (t )s7.1.2 t的正冪函數(shù) tne (t ) (n為正整數(shù)依次類推，則得Ltne (t ) = n Ltn-1e (t ) = n n - 1 Ltn-2e (t )sss= n n - 1 n - 2 L2 1 1 =n!sn+1ssss s s當n=1時，有L東南大

9、學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（，由網(wǎng)學天地獨家制作！）；咨詢te(t)=1s 2Ltne (t ) = n Ltn-1e (t )s 7.1.3 沖激函數(shù) A d（t） 沖激函數(shù)的定義¥-¥d t ft d t = f (0)( )( )ò¥( )( )ò可得d td t e- st=d t =Ae= A0L AA0沖激函數(shù)來說，可令上式 A=1，即得：對于書中表7 -1給出了一些常見函數(shù)的拉斯變換東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（，由網(wǎng)學天地獨家制作?。?；咨詢L d ( t ) = 1東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（）；咨詢拉氏變換法的實質(zhì)就是將微

10、分方程經(jīng)數(shù)學變換轉(zhuǎn)變成代數(shù)方程，然后進行代數(shù)運算，再將所得的結果變換回去。它 和應用對數(shù)計算數(shù)的乘除相類似。不同的只是在對數(shù)運算 中變換的對象是數(shù)，而在拉氏變換中變換的對象是函數(shù)。拉氏變換法的優(yōu)點：（1）求解過程得以簡化，又同時給出微分方程的特解及齊次方程的通解，而且初始條件能自動包含在變換式中，對 于換路起始時有突變現(xiàn)象的問題處理更方便；（2）對于常用的階躍函數(shù)、沖激函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及一些函數(shù)等經(jīng)變換以后，可轉(zhuǎn)換成為簡單的初等函數(shù)。，由網(wǎng)學天地獨家制作！斯變換的基本性質(zhì)拉斯變換有許多重要性質(zhì)。利用這些基本性質(zhì)可以方便地求出一些較為復雜函數(shù)的數(shù)，同時通過這些基本性質(zhì)可以將電路在時域內(nèi)的線性常微分

11、方程變換為復頻域內(nèi)的線性代數(shù)方程。從而得到復頻域中的等效電路。LL若 f1(t)F1(s)f2(t)F2(s)La f (t) + aa F (s) + a F (s)f (t)則11221122a1，a2為任意常數(shù)7.2拉7.2.1 線性特性東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（）；咨詢證明t¥¥¥t e1t2 ( f)òed = òaò1(d ) ± t- st- std± t- st1t 1 ( f)et2f( ) faaa220-0-0-=F 1± 2aa(1s)2 (F)s例=) ea+1tba2et

12、求函數(shù)的數(shù)ft (解Lbt e = 1b(t=)+saeta fL12s-a1a2L若 f (t)則 f1(at)F (s)1 F(asaLa為大于零的實數(shù))7.2.2 尺度變換，由網(wǎng)學天地獨家制作！東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（）；咨詢證明fsdat- at a¥¥) =fòòe-st)=Lat(at(dt() fat ae00令x=ats1d=x1 F( s¥- xe) aòat)=Lf (f ax()aa0L若 f (t)F (s)Ls ) - set0f ( t -F (t )- t0) e( -tf ( tt )00f (

13、 t -0t )f(t-t0)f(t)t00tt07.2.3 時間變換，由網(wǎng)學天地獨家制作！¥¥-stf (t - t )e-st dt =f (t - t )edtò0òtL f (t - t) =證明0000x = t - t0t = x + t0dt = dx令則t0 為常數(shù)¥L f (t - t0 ) = ò f (x)ee0 dx = F (s)e0-sx-st-st0例求圖中所示的鋸齒波的拉斯變換fa (t)f ( t)E=解t0tT0tfc (t)(t )fT+bT+t00-Ef (t ) = fa (t ) + fb

14、(t ) + fc(t )Ef (t ) = E te (t )L f(t ) =aTs2aTL f (t ) = - E e-sTf (t ) = -Ee (t - T )bbsEL f(t ) = -f (t ) = - E (t - T )e (t - T )e- sTcTs2cT由線性性質(zhì)L f (t ) = L fa(t )+ L fb (t )+ L fc(t )E- E e- sTsEe- sT=-Ts2ETs2()éù=1- Ts +1 e- stëûTs2時間平移特性還可以用來求取有始周期函數(shù)(t0時呈現(xiàn)周期性的函數(shù) ,在t0范圍函數(shù)值

15、為零)的拉斯變換f (t)為有始周期函數(shù)，其周期為T， f 1(t)、 f 2(t) 分別表示函數(shù)的第一周期，第二周期，的函數(shù)f (t ) = f1 (t ) + f2 (t ) + f3 (t ) +L由于是周期函數(shù)，因此 f，2(t)可看成是 f 1(t)延時一個周期的， f 3(t)可看成是 f類推則有1(t)延時二個周期的，依此(f ) =t 1( ) +f1 (tT) +1 ( f- 2 t ) +L T-ft東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（，由網(wǎng)學天地獨家制作?。?；咨詢L f(t ) = F (s)根據(jù)平移特性，若11( )()()()則- sT- 2 sTLft=Fs + Fs

16、e+LF1 (s)Fs e111()é- sT + e- 2 sT+L ù = Fs1 + eëû11 - e- sTf (t)為有始周期函數(shù)，其周期為T，拉斯變換等于第一周期單個函數(shù)的拉斯變換乘以周期因子11- e- sT斯變換求圖中半波正弦函數(shù)的拉例f (t)ET25 T2tT2 T302 T先求第一個半波f1(t)的拉斯變換解f 1(t)f1 (t ) = f1 a (t ) + f1 b (t )t0= E sinwte (t ) + E sinw æ t - T öe æ t - T ö|ç2

17、÷ç2 ÷èøèøf 1a(t)有始正弦函數(shù)的拉斯變換為wLsinw te (t ) =T2Tt0+ w 2s2+故根據(jù)時間平移特性可得f 1b(t)ET2T T 23T2t0東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（，由網(wǎng)學天地獨家制作?。?；咨詢ET3T22EL f1 (t ) = L f1a (t )+ L f1b(t )EwEwEwéù- sT- sT=+=ê1+ ee22ús + ws + ws + w222222ëû半波正弦周期函數(shù)的拉斯變換為- sTL f (t

18、) = Ew1 + e= Ew 12+ w 2 1 - e-sT+ w 2- sT2s2s21 - e東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（，由網(wǎng)學天地獨家制作！）；咨詢L若 f (t)F (s)則L f (t)e -s0t = F (s - s )0證明¥¥òòf (t)e-(s-s0 )t dt = F (s - s )0L f (t)e =f (t)eedt =-sts ts t0000L若 f (t)f '(t)F (s)sF (s) - f (0- )L則證明df (t)dtdf (t) e-st dt dt¥òL f &

19、#39;(t) = L =0-7.2.5 時域微分特性7.2.4 頻率平移特性L由上式應用分部法，有f Ldf ()t¥+fòt (- st¥0-st-¥=dt =+stte()se )(f)te()sFs0dt-0-est)=式中-) sf (t)0®¥t=于是可得L' f(t)sF(- ( f 0應用上式的結果可得L f ¢ ¢f t( =t ) d¢sL = f(t¢)¢ (sf-¢ (- f=0s)2F-() L(s)0)f(-dt依此類推，可得¢

20、s - - (Lf 0 -f(nF )s - n-1 s ()n-2)n-(1)0=s-0f-)t(n )Lf ()'f (t )=df ()tò¥df ()t -stL =edtdt0-dt如果f(t)及其各階導數(shù)的初值為零。則上式變?yōu)長 f ' (t) = sF (s)L f ¢ (t) = s 2 F (s)¼¼¼¼L f (n) (t) = sn F (s)例若電容元件C的端電壓uC(t)的拉氏變換式為UC(s)求電容C中電流的應用微分性質(zhì)數(shù)IC(s)。解duC (t) =CsUC(s)- uC(0-

21、)= CsUC(s)- CuC(0-)IC(s)=LiC(t)=LCdt如果C的端電壓初始值uC(0-)=0則有IC(s) = CsUC(s)L f (n) (t) = sn F (s) - sn-1 f (0- ) - sn-2 f ¢(0- ) -L - f (n-1) (0- ) 7.2.6 時域微分特性 f (t )dt = F (s)tòLL若 f (t)F (s)則s0¥ttLf (t )dt = ò0 òòf (t )dt edt-st證明00對上式進行分部，得¥e- st¥ 1¥tttLf

22、 (t )dt = ò0 f (t )dt edt = -òòò+ ò00f (t )dt-st-stf (t)edtss000=0則F (s)tòLf (t )dt =s0區(qū)間不由0開始而是由-開始如函數(shù)的t0t()()f (t ) dtòòòftdt =ftdt +則因為-¥-¥0故有0f (t )dtò( )F sst-¥()òft dt=-¥ +Ls同前面樣，此處的0意味著0-將性質(zhì)廣到多重L( )F s s2tt()ò

23、2;fl d l dt=則有00書中表7 2列出了拉斯變換的基本性質(zhì)。東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（，由網(wǎng)學天地獨家制作?。?；咨詢利用拉斯變換法對電路進行暫態(tài)分析，最終結果必須返回時域，就是說還要進行拉斯反變換。求拉氏反變換最簡單的方法是氏變換表因為變換表中只列出了常用的一些函數(shù)，它不可能將一切函數(shù)都包括在內(nèi)。因此，下面分式法。一種基本的方法，部分東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（，由網(wǎng)學天地獨家制作?。?；咨詢7.3拉斯反變換利用拉斯變換分析電路的暫態(tài)過程時所遇到的數(shù)一般都是s的實系數(shù)有理函數(shù)，它的結果可表示成兩個多項式之比，即b+a式中的諸系數(shù)an , bn 都是實數(shù)，m、n都是正整數(shù)。如m

24、n時，可以將假分式可分解為多項式與真分式之和。N(S)=0的根被稱為F(S)的零點；D(S)=0的根被稱為F(S)的極點。為了分解F(s)為部分分式，只需討論D(s)=0的根。東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（，由網(wǎng)學天地獨家制作！）；咨詢N (s)bs+ m bsm-1+L+ bs + F (=s)=mm-11 0Ds(s)+ a nsn+-1 asn-2 +L+ asn-1n-210因D(s)是s的n次多項式，故可分解因式如下D(s )ss)由于D(s)無重根，故sn都不相等， F(S)寫成部分分式的形式為A1，A2，. Ak. An為待定系數(shù)，稱為F(s)在各極點處的留數(shù)。Ak 如何確定？

25、東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（，由網(wǎng)學天地獨家制作?。?；咨詢F (s)=A1+A2+L+ Ak+L+ Ans - 1ss - s2s - sks - sn( s=s- )1(s -2s )L-( skL s) -n(7.3.1D(s)=0均為單根，即無重根的情況（設m<n）將等式的兩邊乘以(s-sk)A1A2(s - sk )F (s) = (s - sk )+ (s - sk )+Ls - ss - s12AkAn+ (s - sk )+L + (s - sk )s - sA1s - sknA2= (s - sk )+ (s - sk )+Ls - ss - s12An+ Ak +L

26、 + (s - sk )s - ss = sn令kA= é N ( s ) ( s - s) ùkê D ( s )kúëû s = skF (s) =A1+A2+L +Ak+L +Ans - s1s - s2s - sks - sn在求出了部分分式的 Ak各值之后，就可以逐項對部分分式求拉氏反變換，得AkL-1=Asektk-sskF(s)的原函數(shù)為f0由此可見，數(shù)的拉氏反變換，可表示為若干指數(shù)函數(shù)項之和東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（，由網(wǎng)學天地獨家制作?。蛔稍? t ) =-L1 N (s) = Lå-1Ak=

27、29;s( -s N ( ) s)e stt³nnks = skD(s)k=1s - sk=1D(s)kk4s 2 + 11s + 10例1F (s) =求的原函數(shù)。2s 2 + 5s + 3首先將F(s)化為真分式解éêêùú4s2 + 11s + 10s + 4F (s)úê2 2 úë2 û將分母進行因式分解D s=s + 5 s + 3 ö = (s +1)æ s + 3 öæ()2ç2 ÷ç2 ÷

28、è2øèø將F(s)中的真分式寫成部分分式éùú= 1 ês + 4A1A2+2s2 + 5s + 32 ê s +13 úêús +ë2 û求真分式中各部分分式的系數(shù)éùéùúú()éN s()A =s - sêD (s )11 ö)ëûs=sús +÷1ûøs=-1s=-1éù 

29、46;s +úú3 öA2 = -52 ÷æèø (s +1)ç s +ê÷ úêë2 ø úûs=- 3è2éùF (s) = 2 + 1 é 6 ù + 1 ê -5 ú于是F(s )可展開為2 ê3 ú2 êë s +1úûê s +úë2 û其原函數(shù)為ì

30、;ü- 5ì 4s2 + 11s + 10 üïïì 3üý = L-1 2 + L-1 í 2 L-1 í-+ L1ýí3 ý2s2 + 5s + 3î s + 1þîþï s +ïî2 þæö- 3 t5= 2d (t ) + ç 3e-t÷e (t )- e22èøt ³ 0注意：在對假分式進行反變換時，應首先將

31、假分式變?yōu)檎娣质?，然后再進行部分分式分解。東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（，由網(wǎng)學天地獨家制作?。?；咨詢s例求F (s)=的原函數(shù)。+2s+2s5解方法一先將分母分解因式由D()=s2+s+s 5= 0212得= (s 2-±(- 20) =)j-±4121 ,2是一對共軛復數(shù)= éùs1s+ 12- j 2ú=+j 2+jA()-1( 42)+s1ê1- 2js +j()(1)ëû=s= éùs1s+ 12+ j 2ú=-j 2-jA()-1( 24)+s1ê2- 2js

32、+j()(1)ëû=s東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（，由網(wǎng)學天地獨家制作?。?；咨詢s*為一對共軛值， A1，A2則也必為共軛值，由于s=12所以A2可由A1直接求得。11+ j 1 () 2- j 1)(24于是+ 4F (s)=s+ 1- j 2 s+ 1+ j 2對上式逐項求反變換，并加以整理得1 (2 + j1)1 (2 - j1)s44L-1 = L-1+ L-1+ 2s + 5s +1- j2s +1+ j2s2= 1 (2 + j1)e+(-1+ j 2)t + (2 - j1)e+(-1- j 2)t 4= 1 e-t (2 cos 2t - sin 2t)

33、 2t ³ 0東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（，由網(wǎng)學天地獨家制作?。蛔稍兎椒ǘ擠(s)為二次三項式，且D(s)=0的根為一對共軛復數(shù)時，還可以使用更簡便的方法求原函數(shù)。即將分母配成 二項式的平方，將一對共軛復根作為一個整體來考慮。sssF (s) =F(s)可配方為+ 2s + 5s + 1(s 2 + 2s + 1) + 4(s + 1)2+ 4s 2-1=-(s + 1)2 + 22(s + 1)2 + 22直接查閱拉斯變換表可得s + 11L-1F (s) = L-1-(s + 1)2 + 22(s + 1)2+ 22cos 2t - 1 e-t sin 2t= e-t2

34、= 1 e-t (2 cos 2t - sin 2t) 2t ³ 0計算步驟大為簡化s + 3e-2sF (s) =s 2例求的原函數(shù)。+ 5s + 6解數(shù)F(s)不是有理函數(shù)，部分分式分解的方法無法直接應用，這時可先將F(s)改寫成3e-2 ss-2sF (s) =s 2+ 5s + 6 + s 2+ 5s + 6 = F1 (s) + F2 (s)esF (s) =其中1s 2+ 5s + 6 3F (s) =2+ 5s + 6s 2分別都是有理函數(shù)，可用部分分式法分解(s)e-2 s 的原函數(shù)，就等于F2(s)的的結果。F根據(jù)時間平移性質(zhì)可知原函數(shù)再平移2個時間2分別求F1(s

35、)，F(xiàn)2(s)的原函數(shù)- 2L +3 =(e )-1F(-13+e-3ts)=2-eLt ()1s + 2s+ 3- 33e )-1F (s)=-1L +(= 3e-2t-3e-3tLt ()2s + 2s+ 3于是可得東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（，由網(wǎng)學天地獨家制作?。?；咨詢f (t)+ L-1s F( )= L-1F (s) =e (F ) s-2s 12= (-2e2t + 3t -3t )e (e)-+ 3( e2(t-2) - 3e-(3t 2) )e (t -)2t ³ 0設D(s)=0在s=s1處有p階重根，這時可將F(s)寫成下面的形式)s把F(s)展開成部分分式

36、A2，A3，. An-p 各留數(shù)仍可照無重根的情況求取東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（，由網(wǎng)學天地獨家制作！）；咨詢F (s)=A11+A12+A13+L(s -) s p(s - s )p-1s -(s p-2 )111+A1 p+A2+A3 +L+ An - p(s - 1s ) s - s2s - s3s - ns- pF (s)=N (s)s(-s) p Q(17.3.2D(s)=0的根有重根的情況（設m<n）(s - s )p令s=s1A11的求取，可將等式的兩邊乘以留數(shù)1A12、A13、. A1p各留數(shù)，不能再采用這種方法。因為這樣將使導數(shù)分母中出現(xiàn)“0”值，而得不出結果。F

37、 (s) = (s - s ) p F (s)為此，引入輔助函數(shù)11于是F (s) = A+ A(s - s ) + A(s - s )2 +L + A(s - s ) p-1 +L1111211311 p1A= (s - s ) N (s)111D(s)s=s1F (s) =A11+A12+A13+L(s - s ) p(s - s ) p-1(s - s ) p-2 111+A1 p+A2+A3+L +An- p(s - s1 )s - s2s - s3s - sn- p¶F (s)對s微分得(s - s ) + . + A( p - 1)(s - s ) p-2= A+ 2 A

38、+ .1¶s121311 p1= ¶F1 (s)A顯然12¶ss=s1d 21=2! ds 2同理A13F1 (s)s=s1依此類推，得一般形式為1d k -1A1k = (k -1)! dsk-1 F1 (s)s=s1F (s) = A+ A(s - s ) + A (s - s )2 +L + A(s - s ) p-1 +L1111211311 p1確定了系數(shù)，就可根據(jù)拉斯變換直接，求取原函數(shù)。-1 ìüA1kA1kk -1 stee(ý =Lt)tí因為1-k -1s )k()!(sîþ1所以F(

39、s)對應的原函數(shù)Let東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（，由網(wǎng)學天地獨家制作?。?；咨詢-1 F()s=A11 tp-1es 1 te()t+A12 tp-2es 1 te()t+ L (p -1)!(p -2)!n - pA+ tes t(1 te ) +Ase1 te ( +t)ås i te(A)1( p- 1)1 pii=2s + 2F (s) =的原函數(shù)。例求s(s + 3)(s + 1)2D(s)=0有四個根，一個二重根s1= -1和s2=0，s3= -3 兩個單根解s + 2A11A12+ A2A3故部分分式可表示為F (s) =+s(s + 2)(s + 1)2(s +

40、1)2s + 1s + 3s其中各待定系數(shù)分別確定如下s + 2s(s + 3) | s = -1= - 1A= F (s)(s +1)2 =112s=-1d s + 2A= d F (s)(s +1)2 =ds s(s + 3)12dss=-1s=-1= s(s + 3) - (s + 2)(2s + 3) = - 3s2 (s + 3)2 | s = -14s + 2)( s += 2=s =AF()ss+32(s=02 1) 3s=0=s + 21=)( s + s3=A( F)s+13=s3-(s2)12=s3- 1- 32 3s1故得s)=2+4+ 12F (s + 1 2 )s+

41、1+s 3L ( F) =取反變換得tsetet以上了用部分分式法求拉氏反變換的基本方法。在分析具體問題時，可根據(jù)F(s)的分母有無重根分別用前述兩種方法求各極點的留數(shù)，只要這些留數(shù)一經(jīng)求得，就能得出反變換。用拉氏變換分析電路暫態(tài)時可不必寫出微分方程再進行變換，可先將時域電路變成復頻域電路模型，再根據(jù)復頻域電 路直接寫出運算形式的電路方程，使計算過程更為簡化。根據(jù)元件電壓、電流的時域關系，可以推導出各元件電壓電流關系的運算形式。在時域中，有u(t) = Ri(t)Ri(t)u (t)7.4.1 電阻元件7.4 復頻域電路Lu(t) = U (s)Li(t) = I (s)設等式兩邊取拉氏變換，

42、得，RI(s)Ri(t)U(s)u (t)時域形式復頻域形式U (s) = RI (s)u(t) = Ri(t) 7.4.2 電容元件 Ci(t)在時域中，有u(t)11t11Ctidt0- tid+ttòòòid òt(=t)= =(+u 0uid)C-CCCC-¥-¥00-u ( C t ) =令L CU(s)(it) =LI (s )對等式取拉氏變換并應用性質(zhì)得)東南大學電氣學院詳見：網(wǎng)學天地（，由網(wǎng)學天地獨家制作?。?；咨詢U(=s)1 I (s) +u(C0-CsCs容端電壓的是電流的數(shù)（稱象電壓）由兩部分組成：第一部分數(shù)（稱

43、象電流）與運算形式的容抗（簡言容抗）的積；第二部分相當于某階躍電壓的運算電壓源。數(shù)，稱為內(nèi)電容C在復頻域中串聯(lián)形式的電路模型 1 sCuC(0-)sI(s)U(s)U(s) =1 I (s) + uC (0- )CsCs象電流也由兩部分組成：第一部分是sC（稱容納）和象電壓UC(s)的乘積；第二部分相當于某電流源的 數(shù)，稱內(nèi)運算電流源 。電容C在復頻域中并聯(lián)形式的電路模型sCI(s)CuC(0-)U(s)I (s) = sCUC (s) - CUC (0- )U(s) =1 I (s) + uC (0- )CsCsLi(t)di在時域中，有u(t) = Lu(t)dt令Lu (t)=U (s)

44、,Li(t)=I(s)，對上式取拉氏變換Li(0-)I(s)sLU(s)串聯(lián)形式的電路模型1或sLI(s)Li(0- )sL內(nèi)運算電壓源感抗U(s)并聯(lián)形式的電路模型iL (0- )內(nèi)運算電流源s i(0-)sI (s) = 1 U (s) + i(0- )sLsU (s) = sLI (s) - Li(0- )7.4.3 電感元件在時域中，有i (t)i1(t)2di1 + M di2u= LM11dtdtu (t)u1(t)L1L22di2 + M di1u= L22dtdt耦合電感元件對等式兩邊取拉氏變換有U1 (s) = sL1 I1 (s) - L1i1 (0- ) + sMI 2 (s) - Mi2 (0- )U 2 (s) = sL2 I 2 (s) - L2 i2 (0- ) + sMI1 (s) - Mi1 (0- )復頻域形式sMMi1 (0- )Mi2 (0- )I2(s)I1(s)互感運算阻抗sM附加的電壓源sL1sL2U2(s)U (s)L i (0 )L i (0 )11 1-2 2-附加電壓源的方向與電流i1、i2的參考方向有關。Mi1(0-)Mi (0 )2-7.4.4 互感元件線性受控源電路，在時域電路中滿足u1=i1R