函數(shù)零點易錯題、三角函數(shù)重難點(教師版)

1、實用標準文案函數(shù)零點易錯題三角函數(shù)重難點教師版函數(shù)的零點是函數(shù)圖象的一個重要的特征，同時也溝通了函數(shù)、方程、不等式以及算法等內(nèi)容，在分析解題思路、探求解題方法中起著重要的作用，因此要重視對函數(shù)零點的學 習.下面就函數(shù)的零點判定中的幾個誤區(qū)進行剖析，希望對大家有所幫助.1 .因“望文生義"而致誤例1 .函數(shù)f (x) =x2 3x+2的零點是()A. (1,0)B. (2,0)C. (1,0 ), (2,0)D. 1 , 2錯解：c錯解剖析：錯誤的原因是沒有理解零點的概念，"望文生義"，認為零點就是一個點. 而函數(shù)的零點是一個實數(shù)，即使f(x)=0成立的實數(shù)x,也是

2、函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標.正解：由f(x)=x2 3x+2=0得，x=l和2,所以選D.點撥：求函數(shù)的零點有兩個方法，代數(shù)法：求方程f(x )=0的實數(shù)根，幾何法：由公式不能直接求得，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標.即使所求.2 .因函數(shù)的圖象不連續(xù)而致誤1 例2 .函數(shù)f (x )= x + 的零點個數(shù)為()xA.O B.l C.2D.3錯解：因為 f (1) =2 , f (1 )=2 ,所以 f (-1 )f(1 )<0,函數(shù) y = f(x)有一個零點，選B .1錯解剖析：分析函數(shù)的有關(guān)問題首先考慮定義域，其次考慮函數(shù)f(x)=x+的圖

3、象是x不是連續(xù)的，這里的函數(shù)圖像是不連續(xù)的，所以不能用零點判定定理.正解：函數(shù)的定義域為(嗎0上(0,收)，當x >0時，f(x)>0,當xc0時，f(x)<012所以函數(shù)沒有零點.也可由 x+ =0得x +1=0方程無實數(shù)解.x點撥：對函數(shù)零點個數(shù)的判定，可以利用零點存在性定理來判定，涉及多個零點的往往借助于函數(shù)的單調(diào)性.若函數(shù) y = f (x庭區(qū)間Q,b】上的圖象是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即f (a )f (b )< 0 ,則在區(qū)間(a,b )內(nèi)，函數(shù)f(x)至少有一個零點，即相應(yīng)的方程 f(x)=0在區(qū)間(a,b戌少有一個實數(shù)解.然而對于函數(shù)的

4、f(x),若滿足f(a)f(b)<0,則f(x位區(qū)間6處內(nèi)不一定有零點；反之， f(x而區(qū)間b,bl內(nèi)有零點也不一定有 f (a )f(b)< 0 .前者是因為圖象不連續(xù)，后者是因為方程有重根.如下圖所示：yxa ob-3.因函數(shù)值同號而致誤例3.判定函數(shù)f(x)=2x-3在區(qū)間L 1,1】內(nèi)是否有零點.錯解：因為 f(1)=f(1)=1,所以 f(1)f(1)>0,函數(shù) f(x)= 2x -3在區(qū)間 Ll,l 內(nèi)沒有零點.錯解剖析：上述做法錯誤地用了函數(shù)零點判定定理，因為函數(shù)f(x)在區(qū)間la,b上的函數(shù)圖像是連續(xù)曲線，且f (a )f(b)>0,也可能在 kb】內(nèi)有

5、零點.如函數(shù)g(x)= 2x -1在 區(qū)間 匚1,1上有g(shù)(1 g(1 )>0,但在 匚1,1】內(nèi)有零點x = 土工.2正解：當xw 1,1時，f僅)=2x 3 W1 ,函數(shù)y= f(x心1,1上的圖象與x軸沒 有交點，即函數(shù)f僅)=2x -3在區(qū)間匚1,1】內(nèi)沒有零點.法二：由2x 3 = 0得*=土|更11,1，故函數(shù)f(x)=2x3在區(qū)間1,1內(nèi) 沒有零點.點撥：對有些函數(shù)，即使它的圖象是連續(xù)不斷的，當它通過零點時，函數(shù)值也不一定變號.如函數(shù)y =(x-1)2有零點1 ,(如上圖)但函數(shù)值沒變號.對函數(shù)零點的判定一定 要抓住兩點：函數(shù) y = f(x庇區(qū)間a,b】上的圖象是連續(xù)曲線

6、，在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即f(a)f(b)<0.4.因忽略區(qū)間端點而致誤例4 .已知二次函數(shù)f(x)=x2 (m 1)x + 2m在0,1】上有且只有一個零點，求實數(shù) m 的取值范圍.錯解：由函數(shù)的零點的性質(zhì)得f(0)f(1)<0,即2m(m+2)<0,解得2<m<0.所以實數(shù) m的取值范圍為(-2,0 ).錯解剖析：錯解的原因是只注意到函數(shù)零點的應(yīng)用， 而忽略問題的其它形式： 在0,1】上有二重根；終點的函數(shù)值可能為0.正解：當方程x2 - (m - 1)x + 2m = 0在0,1】上有兩個相等實根時， = (m -1 f -8m =0且 0 <

7、m-1 <1 ,此時無解.2當方程x2 一(m1)x+2m = 0有兩個不相等的實根時， 有且只有一根在 0,1】上時，有f(0)f(1)c0,即2m(m+2)<0,解得2<m <0當 f (0 )=0 時，m= 0 , f(x) = x2+x=0,解得 x1 =0,x2 = -1 ,合題意.當f (1)=0時，m =2,方程可化為x2+3x 4 = 0,解得x1=1,x2= Y合題意.綜上所述，實數(shù) m勺取值范圍為1-2,0 1.點撥：在求參數(shù)時，要注意將函數(shù)零點的特殊性質(zhì)與函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)相結(jié)合，進行分類 討論使復(fù)雜的問題簡單化.本文已在學苑新報上發(fā)表方程的根與函數(shù)的

8、零點1 .函數(shù)f(x) = x2 4x+1的零點為()A、T+? B 、-1 -6C 、T士? D 、不存在2 .函數(shù)f(x)=x3 -3x2+2x的零點個數(shù)為()A 0 B 、1 C 、2 D 、33 .函數(shù)f (x) =ln x，2x _6的零點一定位于區(qū)間().A. (1,2) B. (2,3) C. (3, 4) D. (4, 5)1.C 2.D3 .易知函數(shù)f (x)在定義域(0,書c)內(nèi)是增函數(shù).f (1) = ln1 +2 _6 = 4 <0 , f(2) =ln 2 +4_6 =ln 2 _2 <0 , f (3) =ln3 +6_6 =ln3 >0 .f (

9、2)f(3) <0,即函數(shù)f(x)的零點在區(qū)間(2,3). 所以選B.4 .求證方程3x =2x在(0,1)內(nèi)必有一個實數(shù)根.x 14.證明：設(shè)函數(shù)f(x)=3x -2x.由函數(shù)的單調(diào)性定義，可以證出函數(shù) f (x)在(_1，依)是 x 1減函數(shù).而 f(0) =3° 2=1 <0 , f (1)=31 1 =5 >0 ,即 f()宙 0 < ，說明函數(shù) f(x)在區(qū)間(0,1)2 2內(nèi)有零點，且只有一個.所以方程3x =2于在(0,1)內(nèi)必有一個實數(shù)根.x 1點評：等價轉(zhuǎn)化是高中數(shù)學解題中處理問題的一種重要思想，它是將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟3x悉的問題，每個問

10、題的求解過程正是這樣一種逐步的轉(zhuǎn)化 實根個數(shù).此題可變式為研究方程2 - xx+1的5. (1)若方程2ax2 1=0在(0,1)內(nèi)恰有一解，則實數(shù)a的取值范圍是 .(2)已知函數(shù)f(x)=3mx4,若在-2,0上存在x。，使f 聯(lián)，則實數(shù)m的取值范圍是 .5.解：(1)設(shè)函數(shù)f(x)=2ax21,由題意可知，函數(shù) f(x)在(0,1)內(nèi)恰有一個零點.f(0)|_|f (1) = 1M(2a 1) <0,解得 a1.2.在-2,0上存在 x0,使 f(x0)=0,則 f (-2)|Jf(0) <0, (-6m4)x(K)名0,解得 m 三2.3所以， 實數(shù)m的取值范圍是(-

11、6;°,2.6.已知關(guān)于x的方程x2+2m奸2m+ 3=0的兩個不等實根都在區(qū)間(0, 2)內(nèi)， 求實數(shù)m的取值范圍.26.解：令f (x) =x 2mx 2m 3有圖像特征可知方程f (x) =0的兩根都在(0, 2)內(nèi) 需滿足的條件是>0, f(0)>0, F(2)>0, 0< -m<27. 已知函數(shù))-35 ：m - 1解得 4。a的取值范圍f(x)=| x2-2x-3卜a分別滿足下列條件，求實數(shù)(1)函數(shù)有兩個零點；(2)函數(shù)有三個零點；(3)函數(shù)有四個零點.7 .因為函數(shù)f (x)=| x2-2 x-3|- a的零點個數(shù)不易討論，所以可轉(zhuǎn)化為方

12、程| x2-2 x-3卜a=0根的個數(shù)來討論，即轉(zhuǎn)化為方程 | x2-2 x-3|= a的根的個數(shù)問題，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)=| x2-2x-3|與函數(shù)f(x)=a交點個數(shù)問題.解：設(shè)f(x)=| x2-2x-3|和f(x)=a分別作出這兩個函數(shù)的圖象(圖3-1-1-5),它們交點的個數(shù)，即函數(shù)f(x)=| x2-2x-3卜a的零點個數(shù).(1)若函數(shù)有兩個零點，則a=0或a>4.(2)若函數(shù)有三個零點，則a=4.(3)函數(shù)有四個零點，則0<a<4.8 .已知函數(shù)f (x)= ax3+bx2+cx+d有三個零點，分別是 0、1、2,如圖所示，求證：b<0.9 .證：因為

13、f(0)= f(1)= f(2)=0,所以 d=0, a+b+c=0,4 a+2b+c=0.所以 a= _b ,c= _2b.所以 f (x)= - - x( x2-3 x+2)= -b x(x-1)( x-2).3333當 x<0 時，f (x)<0 ,所以 b<0.證法二：因為 f (0)= f (1)= f(2)=0,所以 f(x)=ax(x-1)( x-2).當x>2時，f(x)>0,所以a>0.比較同次項系數(shù)，得b=-3a.所以b<0.三角函數(shù)的主要考點是：三角函數(shù)的概念和性質(zhì)(單調(diào)性，周期性，奇偶性，最值)三角函數(shù)的圖象，三角恒等變換(主要

14、是求值)，三角函數(shù)模型的應(yīng)用，正余弦定理及其應(yīng)用，平面向量的基本問題及其應(yīng)用.題型1三角函數(shù)的最值：最值是三角函數(shù)最為重要的內(nèi)容之一，其主要方法是利用正余弦函數(shù)的有界性，通過三角換元或者是其它的三角恒等變換轉(zhuǎn)化問題.例1若x是三角形的最小內(nèi)角， 則函數(shù)y =sin x+cosx+sin xcosx的最大值是()A. -1B.2C. -1 .2D. 1 . 22 . .分析：二角形的取小內(nèi)角是不大于一的，而(sinx+cosx) =1 + 2sin xcosx ,換元解3決.7 一斛析：由 0<x<一，令 t=sinx + cosx =v 2 sinx 而一Hx十E 一 冗,得344

15、4 12p.2t2 -1又 t =1+2sin xcosx ,得 sin xcosx =2得 y =t +匚二！ =l(t+1)2 -1,有 1+0<yMT2 +(揚 -1 =y/2+1 .選擇答案 D. 2222點評：涉及到sin x ±cosx與sin xcosx的問題時，通常用換元解決.1斛法一： y =sinx + cosx+sinxcosx = sin x+l+sin2x, 421當 x =一時，ymax =q2 +二,選 D。 42 _._ o. n例 2.已知函數(shù) f (x) = 2asinxcosx+2bcos x .,且 f (0) =8, f ()=12 .

16、 6(1)求實數(shù)a, b的值；(2)求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時 x的值.分析：待定系數(shù)求a, b ；然后用倍角公式和降哥公式轉(zhuǎn)化問題.一二、 33, _ _f(-)=ya+-b=12 ,所以解析：函數(shù) f(x)可化為 f (x) =asin 2x + bcos2x + b .(1)由 f(0)=8, f(一) =12 可得 f(0) =2b = 8, 6b =4 , a = 4石.(2) f (x) =473sin 2x +4cos 2x +4 =8sin(2 x + 土)+46JITEJI故當2x+- = 2kn十一即x = kn + (kw Z)時，函數(shù)f(x )取得最大值為12

17、. 626點評：結(jié)論asin e+bcos9 = V'a2+b2 sin (8+中)是三角函數(shù)中的一個重要公式，它在解決三角函數(shù)的圖象、 單調(diào)性、最值、周期以及化簡求值恒等式的證明中有著廣泛應(yīng)用, 是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的工具，是聯(lián)系三角函數(shù)問題間的一條紐帶，是三角函數(shù)部分高考命題的重 點內(nèi)容.題型2三角函數(shù)的圖象： 三角函數(shù)圖象從“形”上反應(yīng)了三角函數(shù)的性質(zhì)，一直是高考 所重點考查的問題之一.例3.(2009年福建省理科數(shù)學高考樣卷第8題)為得到函數(shù)九1, 一y =cos. 2x+的圖象, 3只需將函數(shù)y=sin2x的圖象A.向左平移旦個長度單位12B.向右平移5個長度單位12C.向左平移2個長

18、度單位6D.向右平移5個長度單位6解析：函數(shù)y =cos 2x + I3=sin i 2x 一 = sin i 2x =sin 2 i xA.例4 （2008高考江西文故要將函數(shù)y =sin2x的圖象向左平移 巨個長度單位，選擇答案y小o22y 八3 二23 二210）函數(shù) y = tanx+sin x - tanxsinx 在區(qū)間（一,）內(nèi)的分析：先統(tǒng)一函數(shù)名稱，在根據(jù)平移的法則解決.文檔圖象是分析：分段去絕對值后，結(jié)合選擇支分析判斷.解析：函數(shù) y = tanx+sinxtanxsinx2tanx,當tanx<sinx寸=i ，.結(jié)合選擇支、2sin x,當tanx 之sinx寸和一

19、些特殊點，選擇答案 D.點評：本題綜合考察三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，當不注意正切函數(shù)的定義域或是函數(shù)分段不準確時，就會解錯這個題目.題型3用三角恒等變換求值：其主要方法是通過和與差的， 二倍角的三角變換公式解決. 分析：所求的sin fa +72）=sin（a十三），將已知條件分拆整合后解決.A.5 （2008高考山東卷理 5）已知cos8一 7tI 6）+ sin « = 4 J3 ,則 sin I 汽十 5的值2 .352 3B. 5C. 454D. 一5I 6 ）6解析：4.33 .、34.3. 二 4C - cos 0 -葉Sina =u -Sina + cosa =y Sin

20、la 十一=一,6522565所以sin上二-sin =三二6.65點評：本題考查兩角和與差的正余弦、誘導(dǎo)公式等三角函數(shù)的知識，考查分拆與整合的數(shù) 學思想和運算能力.解題的關(guān)鍵是對cos la+sina =4J3的分拆與整合.65例 6 （2008 高考浙江理 8）若 cosa+2sina =J5,則 tana 二A. 1B. 2C. - D -2222.1邛=,即 tan ,5 52分析：可以結(jié)合已知和求解多方位地尋找解題的思路.方法一：J5sin （o（十中）=一 J5,其中 sin 審=弓二,cos 再由sin （a+中）=1知道a +中=2kn -（k= Z ）,所以口 =2M -金中

21、，s 冗 、 f n 、 sin '一 中 i 中1 所以 tana = tan 12kn 一 二一甲 Utan 1 -1=2.I 2V 2J s 中sin 中cos -2方法二：將已知式兩端平方得22_. 22cos & " 4cos - sin " , 4sin - =5=5 sin - cos -22= sin - -4sin - cos- > , 4cos - =0 2=tan - -4tan： ' 4=0= tan - - 2方法三：令sin ct -2cos« =t ,和已知式平方相加得 5 = 5 + t2,故t = 0

22、 ,即 sin a -2cos a = 0 ,故 tan a = 2 .方法四：我們可以認為點 M （cosa ,sin a漁直線x + 2y = J5上，x =而點M又在單位圓x2 + y2=1上，解方程組可得55 ,v 2、巧從而tana =丫 =2 .這個解法和用方程組卜箕+2sin 了75求解實質(zhì)上是一致的.xsin 二 - cos : -1方法五：a只能是第三象限角，排除 C. D.,這時直接從選擇支入手驗證，,一 1 、由于一計算麻煩，我們假定tana =2,不難由同角二角函數(shù)關(guān)系求出2,2.55 B.sin « =-,cos« =,檢驗符合已知條件，故選55點

23、評：本題考查利用三角恒等變換求值的能力，試題的根源是考生所常見的“已知1sin P +cosP = , P w 0,n ,求tan P的值（人教A版必修4第三章復(fù)習題 B組最后 5一題第一問）”之類的題目，背景是熟悉的，但要解決這個問題還需要考生具有相當?shù)闹R遷移能力.題型4正余弦定理的實際應(yīng)用： 這類問題通常是有實際背景的應(yīng)用問題，主要表現(xiàn)在航海和測量上，解決的主要方法是利用正余弦定理建立數(shù)學模型.例7. （2008高考湖南理19）在一個特定時段內(nèi)，以點 E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點 E正北55海里處有一個雷達觀測站 A,某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點 A北偏東45且與

24、點A相距40 J2海里的位置B,經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點 A北偏東45 +9 （其中sin日=，。" 日 90° ）且與點A相距10彳3海里的位置C .（1）求該船的行駛速度（單位：海里（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛./小時）;判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由.分析：根據(jù)方位角畫出圖形，如圖.第一問實際上就是求BC的長，在 MBC中用余弦定理即可解決；第二問本質(zhì)上求是求點E到直線BC的距離，即可以用平面解析幾何的方法，也可以通過解三角形解決.解析：（1）如圖，AB = 40>/2 8 AC=10A，/BAC =8,sin8 =遮26由于 0二：90”，

25、所以 cos?=1-（ 226）25/2626由余弦定理得 BC 二,AB2 AC2 -2ABACcos<i -10、, 5.所以船的行駛速度為 1025 g5 (海里/小時).3(2)方法一：如上面的圖所示，以 A為原點建立平面直角坐標系，設(shè)點B,C的坐標分別是B(x,y11c(x2,y2 ), BC與x軸的交點為D.由題設(shè)有，x1 = y1 = - AB = 40 , 2x2 = AC cos/CAD =10Vi3cos（45l：，-6） =30, y2 =ACsin. CAD =10 ,T3sin（45）=20.20所以過點B,C的直線l的斜率k= =2,直線l的方程為y=2x 4

26、0 .10又點E (0, 55)到直線l的距離d =|0 55 一40|二35二7 ,所以船會進入警戒水域.；1 . 4解法二：如圖所示，設(shè)直線 AE與BC的延長線相交于點 Q .在AABC中，由余弦定理得,cos/ABC =AB2 +BC2 AC2 =402 父2+102 父 5 102 父13=3日02AB BC2 40,2 10 510從而 sin ABC = . 1 - cos2 ABC在MBQ中，由正弦定理得,AB sin. ABCsin(45； - ABC)40、2 -10_102 2,10210= 40.由于AE =55 >40 =AQ ,所以點Q位于點A和點E之間，且EQ

27、=AEAQ=15.過點E作EP _L BC于點P ,則EP為點E到直線BC的距離.T"3'5".在 Rt AQPE 中，PE =QEsin. PQE =QE sin AQC =QE sin(45 -/ABC) =15所以船會進入警戒水域.點評：本題以教材上所常用的航海問題為背景，考查利用正余弦定理解決實際問題的能力，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)坐標方位畫出正確的解題圖.本題容易出現(xiàn)兩個方面的錯誤，一是對方位角的認識模糊，畫圖錯誤；二是由于運算相對繁瑣，在運算上出錯.題型5三角函數(shù)與平面向量的結(jié)合： 三角函數(shù)與平面向量的關(guān)系最為密切，這二者的結(jié)合有的是利用平面向量去解決三角函

28、數(shù)問題，有的是利用三角函數(shù)去解決平面向量問題，更多的時候是平面向量只起襯托作用，三角函數(shù)的基本問題才是考查的重點.例8 ( 2009年杭州市第一次高考科目教學質(zhì)量檢測理科第18題)已知向量 r.f ra = (2cos®x,cos2sx),b = (sinsx,1)a0),令 f(x) = a b ,且 f (x)的周期為冗. 求f 三 的值；(2)寫出f (x )在工，口上的單調(diào)遞增區(qū)間.44 )2 2分析：根據(jù)平面向量數(shù)量積的計算公式將函數(shù)f(x2解析式求出來，再根據(jù)f(x)的周期為H就可以具體確定這個函數(shù)的解析式，下面只要根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識解決即可.解析：f ff-JIf

29、(x) = a b =2cosoxsinwx +cos2wx =sin 2©x +cos2cox = V2sin(20x +一),4fn,' f(x)的 周期為 n .8=1, f(x) = v,'2sin(2x+),JTJT二 f() =sin +cos =1422，一一 r - n、(2) 由于 f (x) = 42 sin(2x+一)，4兀n冗._ _.當+2。M2x+E +2心(k 匚 Z )時，f x)單增，242r一 3 二二._ ,二二.即十knWxW 一 + k (k 匚 Z), x 匚,一882 2 3 二二f(x昨-鼻上的單調(diào)遞增區(qū)間為-y -.點

30、評：本題以平面向量的數(shù)量積的坐標運算為入口，但本質(zhì)上是考查的三角函數(shù)的性質(zhì)，這是近年來高考命題的一個熱點.例9 (2009江蘇泰州期末15題)一一3 3 . L. ,3n)一已知向量 a = (3sina ,cos), b =(2sina,5sin a 4cosc( ), a = I 2n匕且12 ')(1)求tan a的值；(a n )(2)求 cos 十 I的值.23分析：根據(jù)兩個平面向量垂直的條件將問題轉(zhuǎn)化為一個三角函數(shù)的等式，通過這個等式探究第一問的答案，第一問解決后，借助于這個結(jié)果解決第二問.I _.斛析：(i) a_Lb, ab=0 .而 a=(nsso( a),b =(2

31、sin a ,5sina _4cosa ),2-4cos =0故 a b = 6sin2 工二 5sin j cos-：26 t ： a n ：5= t, a n 40解得 tanot =4，或 tanot =1tana <0,1,人，、4故 tanot =a （舍去）.1- tana =-.（2）件2。一22a人，tan=2 （舍去）.241由 tan a =,求得 tan =,二：-：?5 _ _ 12 5sin =,cos=25252.5 .1510豆n）an汽汽cos .+I = cos-cossinsin =123 J2323點評：本題以向量的垂直為依托，實質(zhì)上考查的是三角恒等

32、變換.在解題要注意角的范圍對解題結(jié)果的影響.題型6三角形中的三角恒等變換：這是一類重要的恒等變換，其中心點是三角形的內(nèi)角和是冗，有的時候還可以和正余弦定理相結(jié)合，利用這兩個定理實現(xiàn)邊與角的互化，然 后在利用三角變換的公式進行恒等變換，是近年來高考的一個熱點題型.例10.(安徽省皖南八校2009屆高三第二次聯(lián)考理科數(shù)學17題)三角形的三內(nèi)角 A,B , C所對邊的長分別為 a , b , c,設(shè)向量m = (c a,b a), n = (a + b,c),若m/n ,(1)求角B的大?。?2)求sin A +sin C的取值范圍.分析：根據(jù)兩個平面向量平行的條件將向量的平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形邊的關(guān)

33、系，結(jié)合余 弦定理解決第一問，第一問解決后，第二問中的角 A,C就不是獨立關(guān)系了， 可以用其中 的一個表達另一個，就把所要解決的問題歸結(jié)為一個角的三角函數(shù)問題.解析：(1) '/,/- c(c-a)-(b-a)(a+b),222712.22 a c -b1 _，c ac=b -a，,=1 . 由余弦te理，得 cosB= ,B =ac22 二(2) , A+B +C =n,. A+C =，3,.八 .，2 二 、.2二 2二.sin A sin C =sin A sin(-A) = sin A sin cos A - cossin A 3333 . =sin A2cos A =、3si

34、n( A ) 62 二 二 二 5 二0 ： A < ,.：A :3 666.:sin( A ' ) <1,. 3 : sin A sin C < . 3 262點評：本題從平面向量的平行關(guān)系入手，實質(zhì)考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等 變換，解決三角形中的三角恒等變換要注意三角形內(nèi)角和定理和角的范圍對結(jié)果的影 響.題型7用平面向量解決平面圖形中的問題：由于平面向量既有數(shù)的特征 （能進行類似數(shù)的運算）又具有形的特征，因此利用平面向量去解決平面圖形中的問題就是必然的了，這在近年的高考中經(jīng)常出現(xiàn).考試大綱明確指出用會用平面向量解決平面幾何問題.例11.如圖，已知點 G

35、是AABO的重心，點 P在OA上，點Q在OB上，且PQ過 一.11ABO 的重心G , OP =mOA , OQ = nOB，試證明一十一為常數(shù)，并求出這個常m n分析：根據(jù)兩向量共線的充要條件和平面向量基本定理，把題目中需要的向量用基向量表達出來，本題的本質(zhì)是點P,G,Q共線，利用這個關(guān)系尋找 m,n所滿足的方程.解析：令oA=a, oB=b,則OP =ma, OQ = nb,設(shè)AB的中點為M ,顯然OM =1(a + b).,因為G是AABC的重心，所以O(shè)G =-OM23G、Q三點共線，有PG、GQ共線，所以，有且只有一個實數(shù)1 , 夫 ,-=-(a + b).由 P、3九，使 PG =

36、ZGQ ,1而 PG =OG -OP (a b)- 311ma = (一 一m)a +b,33Gq-OQ-OG1 .=nb- -(a b)1 41 .a (n )b33，1、. 1 . 14 ,1、士所以(m)a+ b = M a+ (n _)b.333311、m- - m = 一一九又因為a、b不共線，由平面向量基本定理得 <33,消去人，11、-=九（n -）,33» 一,11一*、*，整理得3mn = m+ n,故 一 + = 3.結(jié)論得證.這個吊數(shù)是 3 .m n【點評】平面向量是高中數(shù)學的重要工具，它有著廣泛的應(yīng)用，用它解決平面幾何問題 是一個重要方面，其基本思路是根

37、據(jù)采用基向量或坐標把所要解決的有關(guān)的問題表達出 來，再根據(jù)平面向量的有關(guān)知識加以處理.課標區(qū)已把幾何證明選講列入選考范圍，應(yīng) 引起同學們的注意.題型8用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)問題：導(dǎo)數(shù)是我們在中學里引進的一個研究函數(shù)的重要工 具，利用導(dǎo)數(shù)探討三角函數(shù)問題有它極大的優(yōu)越性，特別是單調(diào)性和最值.JT 31例 12.已知函數(shù) f （x） =cos2 x+2tsinxcosx sin2x ,若函數(shù) f （x）在區(qū)間（一，一上12 6是增函數(shù)，求實數(shù)t的取值范圍.分析：函數(shù)的f （x揖數(shù)在（一，一大于等于零恒成立.12 6解析：函數(shù)f （x）在區(qū)間（三，三上是增函數(shù)，則等價于不等式f6）之0在區(qū)間（,-12

38、612 6,Ji Ji上恒成立，即f （x）= 2 si n 2+ t2 cos<2在區(qū)間（一，一上恒成立， 從而12 6JI J J Jttan2（在區(qū)間（一，一上恒成立， 而函數(shù)y = tan2x在區(qū)間（一，一上為增函數(shù)，12 612 6JI JIn尸L所以函數(shù)y=tan2x在區(qū)間（一，一上的最大值為ymax = tan（2父一）=。3 ,所以t之J312 66為所求.點評：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，是解決高中數(shù)學問題的一種重要的思想意識.本題如將 f (x)化為f (x ) = tsin 2x + cos2x = Jt2 +1sin(2 x)中)的形式, 則中與t有關(guān)

39、，討論起來極不方便，而借助于導(dǎo)數(shù)問題就很容易解決.題型9三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用：將三角函數(shù)和其它的知識點相結(jié)合而產(chǎn)生一些綜合性的試題，解決這類問題往往要綜合運用我們的數(shù)學知識和數(shù)學思想，全方位的多方向進 行思考.例13.設(shè)二次函數(shù)f (x) =x2+bx + c(b,cw R),已知不論 a , B為何實數(shù)，恒有f(sin «)之0和 f (2 +cosP) <0 .(1)求證：b + c = -1 ；(2)求證：c >3 ；(3)若函數(shù)f(sin 口)的最大值為8,求b, c的值.分析：由三角函數(shù)的有界性可以得出f (1 )=0,再結(jié)合有界性探求.解析：(1 )因為一1

40、 Wsi n M且f (sina)父0恒成立，所以f (1)之0,又因為1M2+cosPM3 且 f (2 +cos?) <0 恒成立，所以 f (1)<0 , 從而知 f(1)=0 ,1 +b +c = 0 ,即 b +c = -1 .(2)由 1 W2+cosP M3 且 f (2 +cos P) E 0 恒成立得 f (3) < 0 , 即 9 + 3b+c<0 ,將b=1c代如得 933c+cM0, IP c>3.91 c 91 c 9(3) f (sin a) =sin 口+(Tc)sin 口 +c = (sin 口 -) +c (),221 c. _1

41、 -b c=8因為 之2,所以當sin 口 = 一1時f (sinB)max =8 ,由4, 斛得21 b c=0b = -4 , c = 3.一 ,，f, f (sin ： ) - 0 r 人、一一點評：本題的關(guān)鍵是b+c = -1,由<()利用正余弦函數(shù)的有界性得出f (2 cos ”0If 1 -0V，從而f (1)=0,使問題解決，這里正余弦函數(shù)的有界性在起了重要作用.f 1工0【專題訓練與高考預(yù)測】-、選擇題1.若 口三02近,且 J1 cos2a + J1sin2。= since cosot ,則a 的取值范圍是(2.A- 0,5設(shè)汽是銳角，且a. m - nr r冗 rB.

42、 一 , 二2lg(1 cosot) = m ,lgc 1 ,1、B. (m -)r 3二】C. -：,2D.1=n，則 lgsin a1 cos ;m - n C2D.1/1、-(n)2 m3.若 |a| = 2sin150,| b| = 4cos150 , a與 b的夾角為 304.5.6.A 3 A. 2B. ,3C. 2、3若O為AABC的內(nèi)心，且滿足(OBOC) <OB+OCA.等腰三角形在AABC中，若A.直角三角形C.鈍角三角形D.2OA) = 0 ,則AABC的形狀為B.正三角形bcos A cosB已知向量OB =(2,0)、OC的夾角的取值范圍是一二 5 二.A- -

43、，12 12二、填空題C.直角三角形c,則AABC是 cosCB.等邊三角形D.等腰直角三角形D.鈍角三角形=(2,2)、CA = (<'2cosa,V2sina),則直線 OA與直線 OB二 5二.8- 一,4 12一 5二二.C. ，12 2D. 0,4,6622 7.sin x+cos x+3sin xcos x 的化簡結(jié)果是8.若向量a與b的夾角為0,則稱a Mb為它們的向量積，其長度為|axb|=|a| |b|sin日,已知 |a|=1, |b|=5,且 a b = -4,則 |aMb|二9.一貨輪航行到某處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°,與燈塔S相距20海

44、里，隨后貨輪 按北偏西30中的方向航行30分鐘后，又得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為每小時 海里.、解答題21sin 2( 一二) 4cos :10 . 已知：tan(幾+a) = , tan(a + P)=2-310cos" sin 2 ;(1)求 tan(< + B)的值;(2)求tan P的值.11 .已知函數(shù) f (x )=V3sin i2x£1+ 2sin2(x三)(xwR 612(1)求函數(shù)f (x )的最小正周期；(2)求使函數(shù)f ( x )取得最大值的x的集合.Jb = (cosP,sin P),12.已知向量 a =(cosa,sin a),513<0 ,且sin P =(1)求 cos(a 一 P)的值；(2)育 0<c( < 一 , <P 22且cos a <0 ,故得正確選項 B.【參考答案】1 .解析：B由已