人教版選修21橢圓橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程講義

1、案例（二）精析精練課堂合作探究重點難點突破知識點一 對橢圓定義的理解平面內(nèi)與兩個定點，的距離的和等于常數(shù)(大于)的點的軌跡(或集合)叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩個焦點的距離叫做焦距。根據(jù)橢圓的定義可知：橢圓上的點滿足集合，且、都為常數(shù)。當(dāng)即時，集合為橢圓。當(dāng)即時，集合為線段。當(dāng)即時集合為空集。對于后兩種情況我們應(yīng)該注意，它們可以幫助我們理解橢圓的定義，并在具體問題中做出適當(dāng)?shù)呐袛?。知識點二 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合求曲線方程的步驟，尋求它的方程，方程的繁簡取決于坐標(biāo)系的建立。首先，可以結(jié)合橢圓的形狀，感性地認(rèn)識到橢圓具有對稱性，并利用對稱性來建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。其次，如何將橢

2、圓定義中線段長度關(guān)系用坐標(biāo)的形式表示出來，于是設(shè)橢圓上任意一點坐標(biāo)為，點到兩焦點間的距離之和為常數(shù),即，然后化簡方程。其中帶根式方程的化簡較困難，原因可能是方法不當(dāng)，也可能是運算較繁，在推導(dǎo)過程中，只要抓住“怎樣消去方程中的根式”這一關(guān)鍵問題，演算雖較繁，也能迎刃而解。關(guān)于、以及為什么要設(shè),這正是定義中括號內(nèi)內(nèi)容強(qiáng)調(diào)的所在，在學(xué)習(xí)過程中一定要深刻地認(rèn)識和體會。特別地，引入的作用是為了使方程的形式簡單，到下節(jié)研究橢圓的性質(zhì)，就可以明確的幾何意義。至于焦點在軸上的情形，可仿上研究。此外：在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總是；如果橢圓的焦點在軸上，則焦點坐標(biāo)為；如果焦點在軸上，則焦點坐標(biāo)為；、有關(guān)系式；兩種

3、形式的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程都可以寫成，這為后面的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。知識點三 用待定系數(shù)法求橢圓的方程確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程包括“定位”和“定量”兩個方面，“定位”是指確定橢圓與坐標(biāo)系的相對位置，在中心為原點的前提下，確定焦點位于哪條坐標(biāo)軸上，以判斷方程的形式；“定量”則是指確定，的具體的值，常用待定系數(shù)法。用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程步驟如下：（1）作判斷：依據(jù)條件判斷橢圓的焦點在軸上還是在軸上，還是兩個坐標(biāo)軸都有可能；（2）設(shè)方程：依上述判斷設(shè)方程為或；在不能確定焦點位置的情況下也可設(shè)為。（3）找關(guān)系：依據(jù)已知條件，建立關(guān)于，或，的方程組；（4）得方程：解方程組，代入所設(shè)方程即為所求。典型例題分析題型1

4、橢圓定義的應(yīng)用【例1】 在橢圓上求點,使它到右焦點的距離等于它到左焦點距離的4倍。解折 由到橢圓焦點的距離建立兩個關(guān)于、的方程，可求出、的值。答案 原方程可化為。其中,則。，。設(shè)是橢圓上任一點，由橢圓的定義。又，解得，即解得或故點坐標(biāo)為或。 規(guī)律總結(jié) （1）點在橢圓上這個條件的轉(zhuǎn)化常有兩種方法：一是點滿足橢圓的定義，如本題；二是點坐標(biāo)滿足橢圓方程，如本題可由求出，的值； （2）若平面內(nèi)的點滿足,其中，可得點的軌跡是橢圓，進(jìn)而求得這個橢圓方程為。 通過上述（1）、（2）的轉(zhuǎn)化，應(yīng)認(rèn)真領(lǐng)會橢圓定義的充要關(guān)系。【變式訓(xùn)練1】 如右圖，已知橢圓的方程為，若點在第二象限，且，求三角形的面積。答案 由已知

5、，從而，即。在中，由余弦定理得，即，；由橢圓的定義得，即，。代入中，得，所以，即三角形的面積是。題型2 定義法求橢圓的方程【例2】 已知中、成等差數(shù)列，且。（1） 求頂點的軌跡方程；（2） 求重心的軌跡方程。解析 結(jié)合橢圓的定義來探求軌跡問題，并注意重心與頂點的關(guān)系。答案 （1）、成等差數(shù)列，故頂點的軌跡是以、為焦點，長軸為8的橢圓。不妨以線段所在的直線為軸，線段的中心為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，則頂點的軌跡方程為：。（2）設(shè)重心，由于由于。規(guī)律總結(jié) （1）結(jié)合橢圓的定義求解軌跡問題是本題關(guān)鍵；（2） 在已知頂點的軌跡方程的前提下，如何探求的重心的軌跡，本題采用了動點坐標(biāo)轉(zhuǎn)移代入法處理，把

6、未知轉(zhuǎn)化為已知來處理，這是解析幾何中的常規(guī)方法?！咀兪接?xùn)練2】 已知橢圓的焦點地，是橢圓上的一個動點，如果延長到，使得，那么動點的軌跡是 （ ）A. 圓 B.橢圓C.雙曲線的一支 D.拋物線解析 ，即，動點到定點的距離等于定長，故動點的軌跡是圓。答案 A題型3 待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例3】 求經(jīng)過，的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。解析 由于橢圓的焦點不確定，故焦點可能在軸上，也可能在軸上。答案 因為焦點位置不確定，故可能有兩種情況。（1） 焦點在軸上時，設(shè)橢圓的方程為，故有解之得，方程組無解，故橢圓的焦點在軸上不成立。（2） 焦點在軸上時，設(shè)方程為。由題意可知解之得，所求方程為。規(guī)律總結(jié) 求橢圓方程時

7、應(yīng)考慮橢圓方程的兩種形式，待定系數(shù)即可?！咀兪接?xùn)練3】 （1）已知橢圓經(jīng)過點和點，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2） 求經(jīng)過點，且與橢圓有共同焦點的橢圓方程。答案 （1）設(shè)所求的橢圓方程為，因為該橢圓過點和點，代入得解得，故所求的橢圓方程為；（2）橢圓的焦點坐標(biāo)為，依題意則可設(shè)所求的橢圓的方程為，把代入得，解得，所以所求的橢圓方程為?！纠?】 求經(jīng)過兩點，的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。解析 （1）由于橢圓焦點位置不確定，可分焦點在軸、軸兩種情況求解；（2） 可設(shè)橢圓方程為，利用條件求出、。依題意，知（2） 當(dāng)橢圓的焦點在軸上時，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 依題意，知 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。 解法二：設(shè)所求橢圓的方程為：

8、。 依題意，可得 故所求橢圓的方程為。 規(guī)律總結(jié)（1）確定曲線的方程時，若能明確方程的形式，則可設(shè)出曲線方程，建立含參數(shù)的等式，求出參數(shù)的值，再代入所設(shè)方程； (2)由于橢圓包含焦點在軸上或焦點在軸上兩類情況。因此，解法二的處理避免了分類討論，達(dá)到了簡化算的目的。 【變式訓(xùn)練4】 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： （1）兩個焦點坐標(biāo)分別是，橢圓經(jīng)過點；（2）兩個焦點坐標(biāo)分別為，橢圓上一點到兩焦點的距離和為26。 答案 （1）橢圓的焦點在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所求橢圓的方程為。(2)橢圓的焦點在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為。，所求橢圓的方程為。規(guī)律總結(jié) 待定系數(shù)法求曲線方程，關(guān)鍵是從題目條件

9、中挖掘出與待定字母個數(shù)相同的獨立條件，列方程組求解，特別注意這一隱含條件的應(yīng)用。題型4 求與橢圓有關(guān)的軌跡方程【例5】線段的兩個端點、分別在軸、軸上滑動，,點是上一點，且,點隨線段的運動而變化，求動點的軌跡方程。解析 點的變化是由點、的變化引起的，因此，首先建立點和、兩點的坐標(biāo)關(guān)系，以及動點、的運動規(guī)律（方程），然后將點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移動、的運動規(guī)律中去，即可得到的軌跡方程。答案 設(shè)點坐標(biāo)為，設(shè)點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為。因為,所以,又因為，,點為線段的定比分點，且 所以即代人得，即。規(guī)律總結(jié) 轉(zhuǎn)代法實質(zhì)上是利用中間變量求軌跡方程的一種方法，這是解析幾何中的一種常見的方法?！咀兪接?xùn)練5】 已知軸上一定點,為

10、橢圓上任一點，求的中點的軌跡方程。答案 設(shè)中點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為,利用中點公式，得在橢圓上，。將代入上式得。故所求的中點的軌跡方程是。規(guī)律 方法 總結(jié) （1）理解橢圓的定義時，對式子（其中為平面內(nèi)的動點，、為兩定點，為常數(shù))，只有時，動點的軌跡才表示橢圓。（2）理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，要注意：參數(shù)、的意義：橢圓方程中，表示橢圓上的點到兩焦點間距離的和的一半，可借助圖形幫助記憶，、(都是正數(shù))恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，是斜邊，如圖，所以,且，其中是焦距的一半，叫做半焦距；橢圓與的統(tǒng)一形式為當(dāng)橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上時，對應(yīng)的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程，同一橢圓在不同坐標(biāo)系下其方程是不同的。

11、（3）用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：第一步：依據(jù)條件設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。若焦點在軸上可設(shè)成；若焦點在軸上可設(shè)成；若焦點的位置在哪個坐標(biāo)軸上不確定時可設(shè)。第二步：依據(jù)條件建立參數(shù)、或、的等式。第三步：求解待定的參數(shù)，明確橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（4） 求與橢圓有關(guān)的軌跡方程的常用方法： 定義法：依據(jù)條件確定動點滿足的幾何等式，聯(lián)想橢圓定義來確定方程。代入法：若問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規(guī)律運動而形成的，可選用代入法求軌跡方程。第一步：設(shè)所求軌跡上的動點是，再設(shè)具有某種運動規(guī)律上的動點。第二步：找出、之間坐標(biāo)的關(guān)系，并表示為第三步，將代入，即得所求軌跡方程。定時 鞏固 檢測第1課時 橢圓的定義與

12、標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)訓(xùn)練1.的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 （ ）A. B.C. D.以上都不對【答案】D（點撥：焦點位置不確定。）2.已知橢圓的方程為，焦點在軸上，則的取值范圍是 （ ）A. B.C.或 D.【答案】 B（點撥：由可得）3.若的兩個頂點坐標(biāo)為，的周長為18,則頂點的軌跡方程為 （ ）A. B.C. D.【答案】 D（點撥：頂點滿足）4.已知動圓和定圓內(nèi)切而和定圓；外切，設(shè)，則 ?！敬鸢浮?25（點撥：利用圓與圓的位置關(guān)系求解）5.已知橢圓中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，橢圓與軸的交點到兩焦點的距離分別為3和1，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ?！敬鸢浮磕芰μ嵘?.過點且與有相同焦點的橢圓方程是 ?！敬鸢浮浚c撥

13、：焦點坐標(biāo)為，設(shè)方程為，將代入確定，故可求得方程為。）7.已知為常數(shù)且,求證：不論為怎樣的正實數(shù)，橢圓的焦點不變?！敬鸢浮?，焦點在軸上，由，得橢圓的焦點坐標(biāo)為，由為常數(shù)，得橢圓的焦點不變。8.已知、分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓上的點，滿足，的平分線交于，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。第2課時 橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用1.若圓上每個點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的，則所得曲線的方程是（ ）A. B.C. D.【答案】C（點撥：利用坐標(biāo)變換公式求解即可。）2.已知橢圓的方程為，它的兩個焦點分別為，弦過，則的周長為 （ ）A.10 B.20C. D.【答案】D（點撥：利用橢圓定義求解即可。)3.已知橢圓的左、右焦點分別為、,點在橢圓上，若,、是一個直角三角形的三個頂點，則點到軸的距離為 （ ）A. B.3C. D.【答案】D（點撥：利用橢圓定義與面積相等綜合求解。）4.已知的兩頂點、，兩邊、所在直線的斜率之積為，則頂點的軌跡方程為 ?！敬鸢浮浚c撥：直接法。）5.橢圓 的焦點為,點為其上動點，當(dāng)為鈍角時，點的橫坐標(biāo)的變化范圍是 ?！敬鸢浮浚c撥：用定義和余弦定理。