九年級(jí)數(shù)學(xué)二次根式的加減法華東師大版

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)第二十二章第3節(jié)二次根式的加減法 華東師大版【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：22.3 二次根式的加減法二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 重點(diǎn)： （1）了解同類二次根式的概念，掌握二次根式的加減運(yùn)算； （2）能進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算. 2. 難點(diǎn)： （1）能結(jié)合乘法公式和因式分解的方法進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算. （2）能夠運(yùn)用二次根式的混合運(yùn)算解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.三. 知識(shí)梳理： 1. 同類二次根式 幾個(gè)二次根式經(jīng)過化簡(jiǎn)之后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式。如，所以和是同類二次根式。說明：（1）判斷同類二次根式的方法：首先將不是最簡(jiǎn)形式的二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式；再看

2、被開方數(shù)是否相同。 （2）幾個(gè)二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，而與根號(hào)外的因式無關(guān)。 合并同類二次根式與合并同類項(xiàng)類似，理論依據(jù)都是逆用乘法對(duì)加法的分配律，合并同類二次根式，只是把它們的系數(shù)相加，根指數(shù)和被開方數(shù)都不變。 2. 二次根式的加減法 二次根式的加減實(shí)質(zhì)上就是合并同類二次根式，它與合并同類項(xiàng)類似。如4+35=（4+35）。必須注意不是同類二次根式的不能合并，如+。二次根式的加減一般可以分三步進(jìn)行：將每一個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；找出其中的同類二次根式；合并同類二次根式。需要注意的是：進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，過去在學(xué)習(xí)整式的加減運(yùn)算中的交換律，結(jié)合律及去括號(hào)，

3、添括號(hào)法則仍然適用；二次根式的加減運(yùn)算結(jié)果應(yīng)寫成最簡(jiǎn)結(jié)果或幾個(gè)非同類二次根式的和。 3. 二次根式的混合運(yùn)算 （1）二次根式的混合運(yùn)算與整式的混合運(yùn)算類似。其運(yùn)算順序是：先乘方開方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的（或先去括號(hào)再計(jì)算）。 （2）在二次根式混合運(yùn)算的過程中，每個(gè)二次根式可以看做一個(gè)“單項(xiàng)式”，幾個(gè)被開方數(shù)不同的二次根式的和可以看做“多項(xiàng)式”，故二次根式的運(yùn)算可以看做整式的運(yùn)算。 （3）實(shí)數(shù)運(yùn)算中的運(yùn)算律，運(yùn)算法則及乘法公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用?！镜湫屠}】 例1. 把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）。分析：化簡(jiǎn)二次根式的一般步驟：

4、（1）把被開方數(shù)（式）分解質(zhì)因數(shù)（式），化為積的形式；（2）把根號(hào)內(nèi)能開得盡方的因數(shù)（或式）移到根號(hào)外；（3）化去根號(hào)內(nèi)的分母.有帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù)，有小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。解：（5） 例2. 下列二次根式中，哪些是同類二次根式?分析：先化二次根式為最簡(jiǎn)二次根式.最簡(jiǎn)二次根式只要被開方數(shù)相同，就是同類二次根式，與根號(hào)外面的因式無關(guān)。解： 例3. 已知最簡(jiǎn)根式、是同類根式，求代數(shù)式的值。分析：同類根式必須同時(shí)滿足以下條件：為最簡(jiǎn)根式；根指數(shù)相同；被開方數(shù)相同。同類二次根式概念為本題提供了求出、的條件，從而最終求出代數(shù)式的值。解：因?yàn)樽詈?jiǎn)根式、是同類根式， 例4. 計(jì)算：分析：先化簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二

5、次根式。解： 例5. 計(jì)算：分析：這里可以把二次根式看成是一個(gè)“單項(xiàng)式”或者“多項(xiàng)式”利用整式乘法或除法法則進(jìn)行運(yùn)算。第（1）、（2）、（3）題都與整式運(yùn)算類似。第（4）題，因?yàn)槌ú粷M足分配律，可先轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)形式，再分母有理化。解： 例6. 計(jì)算：分析：原來學(xué)過的所有運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式仍然適用二次根式的運(yùn)算.這三道題都可以利用平方差公式或完全平方公式。解：（1） 例7. 已知，求的值。 分析：直接代入求值比較麻煩，可考慮把代數(shù)式化簡(jiǎn)再求值，并且、的值的分母是兩個(gè)根式，且互為有理化因式，故必然簡(jiǎn)潔且不含根式，的值也可以求出來。解：由已知得：，； 原式.例8. 計(jì)算：分析：一般地，兩個(gè)含

6、有二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，如果它們的積不含二次根式，我們就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。解決此題首先要化去分母中的根號(hào)，則關(guān)鍵是選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)（或代數(shù)式），用這個(gè)數(shù)（或代數(shù)式）去乘分式的分子和分母，從而使分母不含根號(hào)，即分母有理化。解： 例9. 已知x，y都是正整數(shù)，且 ，求 的值.分析：因?yàn)橹挥型惗胃讲拍芎喜?，?，所以易知、與是同類二次根式，于是可求出x，y的值。解：=設(shè)=，=，（、為正整數(shù)）則有+= ，即+=3；、為正整數(shù)， =1，=2或=2，=1，=222，=888或=888，=222+=1110. 例10. 有一艘船在點(diǎn)O處測(cè)得一小島上的電視塔A在北偏西60°的方向

7、上，船向西航行20海里到達(dá)B處，測(cè)得電視塔在船的西北方向。問再向西航行多少海里，船離電視塔最近？（結(jié)果保留根號(hào)）分析：此題將二次根式與解直角三角形相結(jié)合，先解直角三角形，再根據(jù)二次根式的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).船離電視塔最近時(shí)，應(yīng)為線段AC的長(zhǎng)。解：設(shè)BC=，則在RACB中，ABC=45°，所以AC=BC=在RACO中，AOC=30°，AC=（+20）÷，所以有：（+20）÷=，解得：=即=+10答：再向西航行（+10）海里，船離電視塔最近?！灸M試題】（答題時(shí)間：40分鐘）一、選擇題 1. 下列根式中，最簡(jiǎn)二次根式是 （ ）毛 A. B. C. D. 2.

8、與不是同類二次根式的是 （ ） A. B. C. D. 3. 下列根式中，是同類二次根式的是 （ ） A. 和B. 和 C. 和D. 和 4. 下列計(jì)算中，錯(cuò)誤的是（ ）A. B. C. D. 5. 化簡(jiǎn) 的結(jié)果是（ ） A. 0B. C. D. 6. 下列計(jì)算中，正確的是 （ ） A. B. C. D. 7. 若m<0，則把式子 根號(hào)外面的因式移到根號(hào)里的式子應(yīng)是 （ ）A. B. C. D. 8. 計(jì)算 的結(jié)果是（ ） A. B. C. 1D. 1 9. 已知a=，b=，則a與b的關(guān)系是 （ ） A. a=bB. a+b=0C. ab=1D. ab=1 10. 下列計(jì)算正確的是（ ） A. B. ； C. D. 二、填空題 11. 化簡(jiǎn)=_；=_（x>0，y>0）。 12. 若 與是同類二次根式，則b=_。 13. 若最簡(jiǎn)二次根式和是同類二次根式，則x=_。 14. 在二次根式中，_是同類二次根式。 15. 若最簡(jiǎn)根式和是同類根式，則m=_，n=_。 16. =_，=_。 17. 若x=，則x2x+1=_。18. 化簡(jiǎn)=_。三、解答題 19. 計(jì)算或化簡(jiǎn)：（1）（2）（3）（4）（5）（6） 20. 已知x=，求的值?！驹囶}答案】一、選