人教版七年級(下)相交線與平行線知識點(diǎn)及典型例題

1、相交線與平行線知識點(diǎn)整理及測試題一、相交線1、鄰補(bǔ)角與對頂角兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表：(一)(二) 圖形(三) 頂點(diǎn)(四) 邊的關(guān)系(五) 大小關(guān)系對頂角121與2有公共頂點(diǎn)1的兩邊與2的兩邊互為反向延長線對頂角相等即1=2鄰補(bǔ)角43 3與4有公共頂點(diǎn)3與4有一條邊公共，另一邊互為反向延長線。3+4=180°注意點(diǎn)：1頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個角；如果與是對頂角，那么一定有=；反之如果=，那么與不一定是對頂角如果與互為鄰補(bǔ)角，則一定有+=180°；反之如果+=180°，則與不一定是鄰補(bǔ)角。4兩直線相

2、交形成的四個角中，每一個角的鄰補(bǔ)角有兩個，而對頂角只有一個。練習(xí)：1.如圖所示,1和2是對頂角的圖形有( )毛 圖1-1A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2如圖1-1，直線AB、CD、EF都經(jīng)過點(diǎn)O， 圖中有幾對對頂角？ （圖1-2）3如圖1-2，若AOB與BOC是一對鄰補(bǔ)角，OD平分AOB，OE在BOC內(nèi)部，并且BOE=COE，DOE=72°。求COE的度數(shù)。 ABCDO2、垂線定義，當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。符號語言記作：如圖所示：ABCD，垂足為O垂線性質(zhì)1：過一點(diǎn)有且只有

3、一條直線與已知直線垂直 (與平行公理相比較記)垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。3、垂線的畫法：過直線上一點(diǎn)畫已知直線的垂線；過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線。注意：畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線；過一點(diǎn)作線段的垂線，垂足可在線段上，也可以在線段的延長線上。PABO畫法：一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上，二移：移動三角尺使一點(diǎn)落在它的另一邊直角邊上，三畫：沿著這條直角邊畫線，不要畫成給人的印象是線段的線。4、點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離記得時候應(yīng)該結(jié)合圖形進(jìn)行記憶。如圖，POAB，同P

4、到直線AB的距離是PO的長。PO是垂線段。PO是點(diǎn)P到直線AB所有線段中最短的一條?，F(xiàn)實(shí)生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用。5、如何理解“垂線”、“垂線段”、“兩點(diǎn)間距離”、“點(diǎn)到直線的距離”這些相近而又相異的概念 垂線與垂線段 區(qū)別：垂線是一條直線，不可度量長度；垂線段是一條線段，可以度量長度。 聯(lián)系：具有垂直于已知直線的共同特征。(垂直的性質(zhì)) 兩點(diǎn)間距離與點(diǎn)到直線的距離 區(qū)別：兩點(diǎn)間的距離是點(diǎn)與點(diǎn)之間，點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)與直線之間。 聯(lián)系：都是線段的長度；點(diǎn)到直線的距離是特殊的兩點(diǎn)(即已知點(diǎn)與垂足)間距離。線段與距離：距離是線段的長度，是一個量；線段是一種圖形，它們之間

5、不能等同。例已知：如圖，在一條公路的兩側(cè)有A、B兩個村莊.<1>現(xiàn)在鄉(xiāng)政府為民服務(wù)，沿公路開通公交汽車，并在路邊修建一個公共汽車站P，同時修建車站P到A、B兩個村莊的道路，并要求修建的道路之和最短，請你設(shè)計出車站的位置，在圖中畫出點(diǎn)P的位置，(保留作圖的痕跡)并在后面的橫線上用一句話說明道理 . <2>為方便機(jī)動車出行，A村計劃自己出資修建一條由本村直達(dá)公路的機(jī)動車專用道路，你能幫助A村節(jié)省資金，設(shè)計出最短的道路嗎？，請在圖中畫出你設(shè)計修建的最短道路，并在后面的橫線上用一句話說明道理 .二、平行線1、平行線的概念：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，直線與直線互相

6、平行，記作。2、兩條直線的位置關(guān)系在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交；平行。因此當(dāng)我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時，就可以肯定它們平行；反過來也一樣（這里，我們把重合的兩直線看成一條直線）判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時，可以根據(jù)它們的公共點(diǎn)的個數(shù)來確定：有且只有一個公共點(diǎn)，兩直線相交；無公共點(diǎn)，則兩直線平行；兩個或兩個以上公共點(diǎn)，則兩直線重合（因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線）3、平行公理存在性與惟一性：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行4、平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行如左圖所示，12345678注意符號語言書寫，前提條件是兩直線都平

7、行于第三條直線，才會結(jié)論，這兩條直線都平行。5、三線八角 兩條直線被第三條直線所截形成八個角，它們構(gòu)成了同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角。 如圖，直線被直線所截 1與5在截線的同側(cè)，同在被截直線的上方，叫做同位角（位置相同） 5與3在截線的兩旁（交錯），在被截直線之間（內(nèi)），叫做內(nèi)錯角（位置在內(nèi)且交錯） 5與4在截線的同側(cè)，在被截直線之間（內(nèi)），叫做同旁內(nèi)角。6BAD23415789FEC三線八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；內(nèi)錯角是“Z”型；同旁內(nèi)角是“U”型。6、如何判別三線八角判別同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是找到構(gòu)成這兩個角的“三線”，有時需要將有關(guān)的部分“抽出”或把無關(guān)的線略去不看

8、，有時又需要把圖形補(bǔ)全。例如：如圖，判斷下列各對角的位置關(guān)系：1與2；1與7；1與BAD；2與6；5與8。我們將各對角從圖形中抽出來（或者說略去與有關(guān)角無關(guān)的線），得到下列各圖。如圖所示，不難看出1與2是同旁內(nèi)角；1與7是同位角；1與BAD是同旁內(nèi)角；2與6是內(nèi)錯角；5與8對頂角。ABC17ABF21ABCD26ADBF1BAFE58C注意：圖中2與9，它們是同位角嗎？不是，因?yàn)?與9的各邊分別在四條不同直線上，不是兩直線被第三條直線所截而成。同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的判斷1如圖3-1，按各角的位置，下列判斷錯誤的是（ ）（A）1與2是同旁內(nèi)角 （B）3與4是內(nèi)錯角（C）5與6是同旁內(nèi)角 （D

9、）5與8是同位角2.如圖3-2，與EFB構(gòu)成內(nèi)錯角的是_ _,與FEB構(gòu)成同旁內(nèi)角的是_ _.圖3-1圖3-27、兩直線平行的判定方法方法一兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行 簡稱：同位角相等，兩直線平行方法二兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行 簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行方法三兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行ABCDEF1234 簡稱：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行幾何符號語言：32 ABCD（同位角相等，兩直線平行）12ABCD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）42180°ABCD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）注意

10、：平行線的判定是由角相等，然后得出平行。即先寫角相等，然后寫平行。幾何中，圖形之間的“位置關(guān)系”一般都與某種“數(shù)量關(guān)系”有著內(nèi)在的聯(lián)系，常由“位置關(guān)系”決定其“數(shù)量關(guān)系”，反之也可從“數(shù)量關(guān)系”去確定“位置關(guān)系”。上述平行線的判定方法就是根據(jù)同位角或內(nèi)錯角“相等”或同旁內(nèi)角“互補(bǔ)”這種“數(shù)量關(guān)系”，判定兩直線“平行”這種“位置關(guān)系”。根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有兩種： 如果兩條直線沒有交點(diǎn)（不相交）， 那么兩直線平行。 如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行。例題：判斷下列說法是否正確，如果不正確，請給予改正：不相交的兩條直線必定平行線。在同一平面內(nèi)不相重

11、合的兩條直線，如果它們不平行，那么這兩條直線一定相交。過一點(diǎn)可以且只可以畫一條直線與已知直線平行ABCDEF1234三、平行線的性質(zhì)1、平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。幾何符號語言：ABCD12（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）ABCD32（兩直線平行，同位角相等）ABCD42180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）EGBCFHD2、兩條平行線的距離如圖，直線ABCD，EFAB于E，EFCD于F，則稱線段EF的長度為兩平行線AB與CD間的距離。注意：直線ABCD，在直線AB上任取一點(diǎn)G，過點(diǎn)G作CD的垂線段GH，則垂

12、線段GH的長度也就是直線AB與CD間的距離。4、平行線的性質(zhì)與判定平行線的性質(zhì)與判定是互逆的關(guān)系兩直線平行同位角相等；兩直線平行內(nèi)錯角相等；兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)。其中：由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)。（圖4-2）練習(xí)題1.已知兩個角的兩邊分別平行，其中一個角為52°，則另一個角為_.2兩條平行直線被第三條直線所截時，產(chǎn)生的八個角中，角平分線互相平行的兩個角是（ ） A.同位角 B.同旁內(nèi)角 C.內(nèi)錯角 D. 同位角或內(nèi)錯角3如圖4-2，要說明 ABCD，需要什

13、么條件？試把所有可能的情況寫出來，并說明理由。4如圖4-3，EFGF，垂足為F，AEF=150°，圖4-3DGF=60°。試判斷AB和CD的位置關(guān)系，并說明理由。5如圖4-4，ABDE，ABC=70°，CDE=147°，求C的度數(shù)圖4-4圖4-56如圖4-5，CDBE，則2+3的度數(shù)等于多少？圖4-67如圖4-6：ABCD，ABE=DCF，求證：BECF 9.如圖，已知12求證：直線，8.如圖，ABDE，試問B、E、BCE有什么關(guān)系解：BEBCE 過點(diǎn)C作CFAB，則_（ ）又ABDE，ABCF，_（ ）E_（）BE12 即BEBCE10.閱讀理解并在括

14、號內(nèi)填注理由：如圖，已知ABCD，12，試說明EPFQ證明：ABCD，MEBMFD（）又12，MEB1MFD2，即MEP_ EP_（）四、命題：命題的概念：判斷一件事情的語句，叫做命題。命題的組成：每個命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知事項(xiàng)；結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。命題常寫成“如果，那么”的形式。具有這種形式的命題中，用“如果”開始的部分是題設(shè)，用“那么”開始的部分是結(jié)論。 有些命題，沒有寫成“如果，那么”的形式，題設(shè)和結(jié)論不明顯。對于這樣的命題，要經(jīng)過分析才能找出題設(shè)和結(jié)論，也可以將它們改寫成“如果，那么”的形式。注意： 命題的題設(shè)（條件）部分，有時也可用“已知”或者“若”等形式表述；命