二階微分方程

1、二階微分方程1 可降階的二階微分方程一、 形如 （6.7）型的微分方程形如（6.7）式的微分方程是最簡(jiǎn)單的二階微分方程，可以通過(guò)方程兩邊兩次積分求解?！纠}1】 求微分方程 的通解. 解 對(duì)所給方程接連積分二次, 得,這就是方程的通解. 【例題2】 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受力F的作用沿Ox軸作直線運(yùn)動(dòng). 設(shè)力F僅是時(shí)間t函數(shù):F=F(t). 在開(kāi)始時(shí)刻t=0時(shí)F(0)=F0, 隨著時(shí)間t的增大, 此力F均勻地減小, 直到t=T時(shí), F(T)=0. 如果開(kāi)始時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn), 且初速度為零, 求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 解 設(shè)x=x(t)表示在時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置, 根據(jù)牛頓第二定律, 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程為.由題

2、設(shè), 力F(t)隨t增大而均勻地減小, 且t=0時(shí), F(0)=F0, 所以F(t)=F0-kt; 又當(dāng)t=T時(shí), F(T)=0, 從而.于是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程又寫(xiě)為,其初始條件為, . 把微分方程兩邊積分, 得.再積分一次, 得.由初始條件x|t=0=0, , 得于是所求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為, 0£t£T.二、形如 （6.8）型的微分方程。形如（6.8）式的微分方程特點(diǎn)是右端不含有。若設(shè)則方程化為這是自變量為、未知函數(shù)為的一階微分方程。因此可用上一節(jié)的方法求解。而后通過(guò)積分求出的表達(dá)式?！纠}3】 求微分方程滿足初始條件，的特解. 解 所給方程是（6.8）型的. 設(shè) 代入方程

3、并分離變量后, 有.兩邊積分, 得即 其中 由條件 得所以 兩邊再積分, 得 又由條件，得于是所求的特解為三、形如 （6.9）的微分方程形如（6.9）式的微分方程的特點(diǎn)是等式右邊沒(méi)有自變量，若設(shè)則有.方程（6.9）化為.這是一個(gè)關(guān)于自變量為，未知函數(shù)的一階微分方程。若得到的表達(dá)式，則可以利用分離變量法，求出的表達(dá)式?！纠}4】 求微分方程的通解. 解 設(shè)，則, 代入方程, 得.在，時(shí), 約去并分離變量, 得.兩邊積分得整理得 即 .分離變量后兩邊積分, 便得原方程的通解為即 其中，為任意實(shí)數(shù)§二階常系數(shù)齊次線性微分方程形如 (6.10)的二階微分方程,稱為二階線性微分方程,其中都是的

4、已知函數(shù). （1） 當(dāng)時(shí),方程 (6.11)稱為二階線性齊次微分方程;（2）當(dāng)時(shí),方程（6.10）稱為二階線性非齊次微分方程.本節(jié)我們主要介紹二階常系數(shù)線性齊次方程的通解形式,關(guān)于其它形式的二階方程，由于求解較為繁難,我們?cè)诖瞬簧婕?一、二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)有如下定理.定理6.1 若與是二階線性齊次微分方程(6.11)的兩個(gè)解,是任意常數(shù),則也是方程(6.11)的解.證明 根據(jù)定理,假設(shè)有 , .分別用乘上面兩式并相加,得即 這就是說(shuō), 是方程的解.從形式上看,中包含兩個(gè)任意常數(shù),而方程又是二階的,那么,它是否就是該方程的通解呢?我們的回答是不一定.這還要看

5、這兩個(gè)任意常數(shù)能否合并成一個(gè)任意常數(shù).例如,假設(shè)是某個(gè)齊次微分方程的兩個(gè)解,則也是齊次方程的一個(gè)解,但是由于兩個(gè)常數(shù)合并成了一個(gè)任意常數(shù),它就不能構(gòu)成通解了.一般地,設(shè)是兩個(gè)函數(shù),若，（為非零常數(shù)），則稱與是線性相關(guān)的;若則稱與是線性無(wú)關(guān)的.因此我們有如下定理.定理6.2 如果與是二階線性齊次微分方程(6.11)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,則就是所求方程(6.11)的通解. 例如,可以驗(yàn)證與都是二階線性齊次微分方程的解,且不為常數(shù),即與線性無(wú)關(guān),所以與的線性組合就是方程的通解.二、二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解表示由定理6.2可知,求方程(6.10)通解的關(guān)鍵在于找出它的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解與.而方程

6、(6.11)可以看出,必須是同類型的函數(shù)才可能使等式右端等于零,又指數(shù)函數(shù)（為常數(shù)）的各階導(dǎo)數(shù)正好具有這種特性,因此,它有可能是微分方程的解.將代入微分方程(6.11),得 而，因此有 (6.12)由此可見(jiàn),只要是代數(shù)方程(6.12)的一個(gè)根, 就是微分方程(6.11)的一個(gè)解,從而求微分方程的解就轉(zhuǎn)化為求代數(shù)方程的解.代數(shù)方程(6.12)稱為微分方程(6.11)的特征方程,特征方程的兩個(gè)根叫做特征根.求解特征方程會(huì)出現(xiàn)三種情況:(1) 當(dāng)時(shí),是不相等的兩個(gè)實(shí)根:(2) 當(dāng)時(shí),是相等的兩個(gè)實(shí)根:(3) 當(dāng)時(shí),是一對(duì)共軛復(fù)根根據(jù)特征根的三種不同情況,我們討論常系數(shù)齊次微分方程(6.10)的通解.

7、1)因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)特解,且線性無(wú)關(guān),所以微分方程的通解是.【例題5】 求微分方程的通解.解 特征方程為即特征根為微分方程對(duì)應(yīng)的兩個(gè)解為且與線性無(wú)關(guān),因此 所求微分方程的通解為.2) 因?yàn)?常系數(shù)齊次微分方程只有一個(gè)特解,因此要求出通解就需要尋找一個(gè)與線性無(wú)關(guān)的特解,為此我們?cè)O(shè)（不是常數(shù)）,即,求導(dǎo)后代入微分方程(6.11),整理得因?yàn)槭翘卣鞣匠痰闹馗?所以于是上式可化成.滿足上式的函數(shù)有很多,我們只需要取最簡(jiǎn)單的一個(gè),此時(shí)得到另一個(gè)與線性無(wú)關(guān)的特解.為方便,設(shè),則方程(6.11)的通解為 【例題6】 求微分方程為滿足初始條件的特解.解 特征方程為解得特征根為所以微分方程的通解為.代入初始條件,得所以所求微分方程的特解為.3) 是一對(duì)共軛復(fù)根當(dāng)微分方程的特征方程無(wú)實(shí)數(shù)根時(shí)，必定有兩個(gè)不等的復(fù)數(shù)根。設(shè)與是一對(duì)共軛復(fù)根,則是常系數(shù)微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,于是是微分方程的通解.這里我們得到的是微分方程的復(fù)數(shù)形式解,不便于應(yīng)用,為了得到實(shí)數(shù)形式的通解,利用歐拉公式,可得出：是微分方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)形式的解,因此微分方程的通解為【例題7】 求微分方程的通解.解 特征方程為,有共軛復(fù)根.所以方程通解為【例題8】 求微分方程滿足的特解.解 微分方程