專題基本不等式

1、專題：基本不等式基本不等式求最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等號(hào)三個(gè)不等式關(guān)系： （1）a，bR，a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào) （2）a，bR，ab2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào) （3）a，bR，()2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)上述三個(gè)不等關(guān)系揭示了a2b2 ，ab ，ab三者間的不等關(guān)系其中，基本不等式及其變形：a，bR，ab2(或ab()2)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)和為定值時(shí)，可求積的最值；當(dāng)積為定值是，可求和的最值【題型一】利用拼湊法構(gòu)造不等關(guān)系【典例1】（揚(yáng)州市20152016學(xué)年度第一學(xué)期期末·11）已知且，則的最小值為 .【解析】且，解得或，即練習(xí)：1（南京市

2、、鹽城市2015屆高三年級(jí)第一次模擬·10）若實(shí)數(shù)滿足，且，則的最小值為 解析：由log2x+log2y=1可得log2xy=1=log22，則有xy=2，那么=（xy）+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)（xy）=，即x=+1，y=1時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為42.（蘇北四市（徐州、淮安、連云港、宿遷）2017屆高三上學(xué)期期末）若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 3.（無錫市2017屆高三上學(xué)期期末）已知，且，則的最小值為 .【典例2】（南京市2015屆高三年級(jí)第三次模擬·12）已知x，y為正實(shí)數(shù)，則的最大值為 解析：由于=1+=1+1+=，當(dāng)且僅當(dāng)4=，即y=2x時(shí)等號(hào)成立【典例3】若正數(shù)、滿足,則

3、的最小值為_.解析：由,得,解得(當(dāng)且僅當(dāng)且,即時(shí),取等號(hào)).變式：1.若,且滿足,則的最大值為_.解析：因?yàn)?所以由,解得(當(dāng)且僅當(dāng)且,即時(shí),取等號(hào)).2.設(shè)，則的最小值為_ 43.設(shè)，則的最大值為_ 4.（蘇北四市（淮安、宿遷、連云港、徐州）2017屆高三上學(xué)期期中）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為 【題型二】含條件的最值求法【典例4】（蘇州市2017屆高三上期末調(diào)研測(cè)試）已知正數(shù)滿足，則的最小值為 練習(xí)1（江蘇省鎮(zhèn)江市高三數(shù)學(xué)期末·14）已知正數(shù)滿足，則的最小值為 .解析：對(duì)于正數(shù)x，y，由于+=1，則知x>1，y>1，那么+=（+）（1+1）=（+）（+）（+）2=2

4、5，當(dāng)且僅當(dāng)·=·時(shí)等號(hào)成立2.（20132014學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查（一）·11）已知正數(shù)滿足，則的最小值為 解析：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)故答案為：93（南通市2015屆高三第一次調(diào)研測(cè)試·12）已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，如下圖所示，則的最小值為 .解析：由題可得a+b=3，且a>1，那么+=（a1+b）（+）=（4+1）（2+5）=，當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號(hào)成立4（江蘇省蘇北四市2015屆高三第一次模擬考試·12）己知a，b為正數(shù)，且直線 與直線 互相平行，則2a+3b的最小值為_【解析】由于直線ax+by6=0與直線2x+（b3）y

5、+5=0互相平行，則有=，即3a+2b=ab，那么2a+3b=（2a+3b）·=（2a+3b）（+）=+132+13=25，當(dāng)且僅當(dāng)=，即a=b時(shí)等號(hào)成立5.常數(shù)a，b和正變量x，y滿足ab16，.若x2y的最小值為64，則ab_.答案：64；(考查基本不等式的應(yīng)用).6.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 答案：【題型三】代入消元法【典例5】（蘇州市2016屆高三調(diào)研測(cè)試·14）已知，則的最小值為 解析：由得 ，令 則當(dāng)且僅當(dāng) 即 等號(hào)成立練習(xí)1（江蘇省揚(yáng)州市2015屆高三上學(xué)期期末·12）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足x22xy10，則x2y2的最小值是 解析：由x22xy10可

6、得y=，那么x2y2= x2=x2+2=，當(dāng)且僅當(dāng)x2=，即x4=時(shí)等號(hào)成立 2（蘇州市2014屆高三調(diào)研測(cè)試·13）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則x + y 的最小值為 解析：正實(shí)數(shù)x，y滿足xy+2x+y=4，（0x2）x+y=x+=（x+1）+3，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)x+y的最小值為故答案為：3（南通市2014屆高三第三次調(diào)研測(cè)試·9）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 解析：正實(shí)數(shù)x，y滿足（x1）（y+1）=16，x+y=，當(dāng)且僅當(dāng)y=3，（x=5）時(shí)取等號(hào)x+y的最小值為8故答案為：84.（揚(yáng)州市2017屆高三上學(xué)期期中）若，且，則使得取得最小值的實(shí)數(shù)= 。5.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足

7、x2xy10，則xy的取值范圍是_6.已知，且，求的最大值為_【題型四】換元法【典例6】（南京市、鹽城市2016屆高三年級(jí)第二次模擬考試·13）已知函數(shù)f(x)ax2xb(a，b均為正數(shù))，不等式f(x)0的解集記為P，集合Qx|2tx2t若對(duì)于任意正數(shù)t，PQÆ，則的最大值是 【解析】由題意可知任意正數(shù)t，集合Qx|2tx2t，構(gòu)成的集合的交集為，即，令，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，或（舍）故則的最大值是2（2016年江蘇省淮安、宿遷、連云港、徐州高考數(shù)學(xué)一模試卷·14）已知正數(shù)a，b，c滿足b+ca，則+的最小值為解法一：正數(shù)a，b，c滿足b+ca，+=（+）+=+當(dāng)

8、且僅當(dāng)=時(shí)取等號(hào)故答案為：解法二：由 得，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故的最小值為練習(xí)1（江蘇省南京市2016屆高三第三次模擬·14）若實(shí)數(shù)x，y滿足2x2xyy21，則的最大值為 解析：由2x2xyy21可得，令，則，代入得，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值為2設(shè)是正實(shí)數(shù),且,則的最小值是_.解:設(shè),則, 所以= . 因?yàn)?所以. 3.若實(shí)數(shù)x，y滿足2x2xyy21，則的最大值為 4（江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)2016屆高三數(shù)學(xué)教學(xué)情況調(diào)查數(shù)學(xué)試題（一）·14）若實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為 5 .解析：當(dāng)時(shí)，取最大值8，取得最大值，解得，故.【題型五】判別式法

9、【典例7】南通市2015屆高三第三次調(diào)研測(cè)試14已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則xy的取值范圍為 【解析】設(shè)，則，代入得：，由，解得，即xy的取值范圍為.練習(xí)1. （泰州市2016屆高三第一次模擬·13）若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 【解析】令，則，因此，當(dāng)時(shí)，因此的最大值為2.設(shè)，則的最大值為_ 變式1（江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2016屆高三教學(xué)情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試題·14）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的最大值是 解析：由題意得：，對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，因此，即對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，即，對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，即，即，實(shí)數(shù)的最大值是【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判別

10、式法、分離參數(shù)法、換主元法判別式法：將所求問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應(yīng)用判別式法解題。一般地，對(duì)于二次函數(shù),有1）對(duì)恒成立2）對(duì)恒成立分離變量法：若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值。一般地有：1）恒成立2）恒成立確定主元法：如果把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數(shù)，則可簡(jiǎn)化解題過程。2（南京市2014屆高三年級(jí)第三次模擬·14）設(shè)二次函數(shù)（為常數(shù)）的導(dǎo)函數(shù)為對(duì)任意，不等式恒成立，則的最大值為 解析：，對(duì)任意，不等式恒成立，恒成立，即恒成立，故，且，即，故，故答案為：【題型六】分離參數(shù)法【典例8】（2013-2014學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高三（上）期末·14）已知x0，y0，若不等式x3+y3kxy（x+y）恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為_ 解析x0，y0，不等式x3+y3kxy（x+y）可化為，x2xy+y2kxy，即，由基本不等式得，k21=1，實(shí)數(shù)k的最大值為1，故答案為：1練習(xí)1（江蘇省蘇北三市2016屆最后一次模擬·3）已知對(duì)滿足的任意正實(shí)數(shù)，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .解析：，而，因此即實(shí)數(shù)的取值范圍為2若不等式x22xya(x2y2)對(duì)于一