專題3數(shù)列的綜合應(yīng)用

1、專題3 數(shù)列的綜合應(yīng)用題型1 等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題1. 已知是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為,是等比數(shù)列,且,.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;(2)記,證明:.解:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,由,得,由條件,得方程組,計(jì)算得出,故,.(2)證明:方法一,由(1)得,;   (1);     (2);由(2)得,;而;故.方法二:數(shù)學(xué)歸納法,(3)當(dāng)時(shí),故等式成立,(4)假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立,即,則當(dāng)時(shí)有,.即,因此時(shí)等式成立.(3)(4)對(duì)任意的,成立.2. 數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，。（）證明：；（）求。答案（）證明：由

2、條件，對(duì)任意,有，因而對(duì)任意,，所以。兩式相減，得，。又，所以，故對(duì)一切的，。（）解：由（）知，所以，于是數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。因此，。于是。從而。綜上所述，題型2 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用3. 某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵樹是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)等于_。答案644解析本題主要考查等比數(shù)列的和。第一天是棵，第二天棵，所以第天是棵。，解得。所以的最小值為6。4. 某科研單位欲拿出一定的經(jīng)費(fèi)獎(jiǎng)勵(lì)科研人員,第1名得全部資金的一半多一萬(wàn)元,第二名得剩下的一半多一萬(wàn)元,以名次類推得到剩下的一半多一萬(wàn)元,到第10名恰好資金分完,求此

3、科研單位共拿出多少萬(wàn)元資金進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì).解:設(shè)第十名到第一名得到的獎(jiǎng)金分別是,則,每人所得獎(jiǎng)金數(shù)組成一個(gè)以2為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列,此科研單位共拿出2046萬(wàn)元資金進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì).5. 某企業(yè)2010年初貸款a萬(wàn)元，年利率為r，按復(fù)利計(jì)算，從2010年末開始，每年末償還一定金額，計(jì)劃第5年底還清，則每年應(yīng)償還的金額數(shù)為（）萬(wàn)元6. 一學(xué)生參加市場(chǎng)營(yíng)銷調(diào)查活動(dòng),從某商場(chǎng)得到11月份新款家電M的部分銷售資料.資 料顯示:11月2日開始,每天的銷售量比前一天多t臺(tái)(t為常數(shù)),期間某天由于商 家提高了家電M的價(jià)格,從當(dāng)天起,每天的銷售量比前一天少2臺(tái).11月份前2天 共售出8

4、臺(tái),11月5日的銷售量為18臺(tái).(I)若商家在11月1日至15日之間未提價(jià),試求這15天家電M的總銷售量.若11月1日至15日的總銷售量為414臺(tái),試求11月份的哪一天,該商場(chǎng)售出家電M的臺(tái)數(shù)最多?并求這一天售出的臺(tái)數(shù).解:(I)根據(jù)題意,商家在11月1日至15日之間家電M每天的銷售量組成公差為t的等差數(shù)列,解之得因此,這15天家電M的總銷售量為臺(tái).設(shè)從11月1日起,第n天的銷售量最多,由(I),若商家在11月1日至15日之間未提價(jià),則這15天家電M的總銷售量為450臺(tái),而不符合題意,故; 若,則,也不符合題意,故因此,前n天每天的銷售量組成一個(gè)首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列,第天開始

5、每天的銷售量組成首項(xiàng)為,公差為-2的等差數(shù)列.由已知條件,得,即解之得或(舍去19),出售家電M的臺(tái)數(shù)為臺(tái)故在11月12日,該商場(chǎng)售出家電M的臺(tái)數(shù)最多,這一天的銷售量為46臺(tái).題型3 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合7. 已知數(shù)列中,點(diǎn)(且)滿足,則?答案時(shí),代入,為定值.,數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.時(shí),同樣滿足通項(xiàng)公式,數(shù)列的通項(xiàng)公式為8. 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,數(shù)列的通項(xiàng)公式為,設(shè)若在數(shù)列中,對(duì)任意恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是答案解:若,則,則前面不會(huì)有的項(xiàng),遞增,遞減,遞減,當(dāng)時(shí),必有,即,此時(shí)應(yīng)有,即,得,即,得,.若,則,同理,前面不能有項(xiàng),即,當(dāng)時(shí),遞增,遞減,當(dāng)時(shí),.由,即,

6、得,由,得,得,即.綜上得,.實(shí)數(shù)k的取值范圍是.因此，本題正確答案是:.9. 已知奇函數(shù)是定義在R上的增函數(shù),數(shù)列是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列,滿足,則的值等于 答案4003解:設(shè),則,且,且.結(jié)合奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱性可以知道,.,即.設(shè)數(shù)列通項(xiàng).通項(xiàng).因此，本題正確答案是:4003.10. 定義函數(shù),其中表示不小于x的最小整數(shù),如,.當(dāng),時(shí),函數(shù)的值域?yàn)?記集合中元素的個(gè)數(shù)為,則 答案解:根據(jù)題意易知:當(dāng)時(shí),因?yàn)?所以,所以,所以,;當(dāng)時(shí),因?yàn)?所以,所以,所以,;當(dāng)時(shí),因?yàn)?所以,所以,所以,;當(dāng)時(shí),因?yàn)?所以,所以,所以,;當(dāng)時(shí),因?yàn)?所以,所以,所以,由此類推:,所

7、以,即,以上個(gè)式子相加得,計(jì)算得出,所以,則,因此，本題正確答案是:.11. 已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列  滿足  ,且  是  的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列  的通項(xiàng)公式;(2)若   ,求  成立的正整數(shù)  的最小值.答案(1)  ,  ,  ,  ,  ,  或  ,  為遞增數(shù)列，    (2)  ,錯(cuò)位相減得到   ,  ,  即  .12. 已知數(shù)列是首項(xiàng)為2的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和滿足.數(shù)列是以為首項(xiàng)的等比數(shù)列,且.()求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;()設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若對(duì)任意不等式恒成立,求的取值范圍.解:()設(shè)等差數(shù)列的公差為d,根據(jù)題意得,計(jì)算得出,由,從而公比,.()由()知,又,對(duì)任意,等價(jià)于,對(duì)遞增,.即的取值范圍為.13. 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)