課堂導(dǎo)學(xué)（3.1.3復(fù)數(shù)的幾何意義）

1、.課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一,復(fù)數(shù)的點(diǎn)表示【例1】 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=5，且3+4iz在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二四象限的角平分線上，|z-m|=5 mR，求z和m的值.解：設(shè)z=a+bia，bR，|z|=5，a2+b2=25.而3+4iz=3+4ia+bi=3a-4b+4a+3bi又3+4iz在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二、四象限角平分線上，3a-4b+4a+3b=0得b=7a.a=±，b=±，即z=±+i，z=±1+7i.當(dāng)z=1+7i時(shí)，有|1+7i-m|=5，即1-m2+72=50.得m=0，m=2.當(dāng)z=-1+7i時(shí)，同理可得m=0，m=-2.溫馨提示 由復(fù)數(shù)的幾

2、何意義知，復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此在解決復(fù)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，我們可以利用復(fù)平面上的點(diǎn)的一些數(shù)學(xué)關(guān)系來(lái)解決.二、復(fù)數(shù)的向量表示【例2】 平行四邊形OABC的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)O、A、C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0，3+2i，-2+4i.試求：1表示的復(fù)數(shù)；2表示的復(fù)數(shù)；3B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).解：1=，AO表示的復(fù)數(shù)為-3+2i即-3-2i.2=-，表示的復(fù)數(shù)為3+2i-2+4i=5-2i.3=+=+，表示的復(fù)數(shù)為3+2i+-2+4i=1+6i，即B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+6i.溫馨提示 此題給出了幾何圖形及一些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).因此，借助加法、減法的幾何意義求解.三、復(fù)數(shù)模的幾何意義【例3】 設(shè)zC，滿足以下條

3、件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？1z=4； 22z4.解:1復(fù)數(shù)z的模等于4，就是說(shuō)，向量OZ的模等于4，所以滿足條件z=4的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以4為半徑的圓.2不等式2z4可化為不等式組.不等式z4的解集是圓z=4內(nèi)部所有的點(diǎn)組成的集合，不等式z2的解集是圓z=2外部所有的點(diǎn)組成的集合，這兩個(gè)集合的交集，就是上述不等式組的解集，也就是滿足條件2z4的點(diǎn)Z的集合.容易看出，點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以2及4為半徑的圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊界.溫馨提示 滿足條件z=rr為正常數(shù)的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心,r為半徑的圓. 把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，這是數(shù)形轉(zhuǎn)化的一種形態(tài)，是常用的數(shù)學(xué)思

4、維方法之一.各個(gè)擊破類(lèi)題演練 1 復(fù)數(shù)x2-6x+5+x-2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，務(wù)實(shí)數(shù)x的范圍.解:x為實(shí)數(shù)，x2-6x+5和x-2都是實(shí)數(shù).復(fù)數(shù)x2-6x+5+x-2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，解得1x2，即1x2為所務(wù)實(shí)數(shù)x的范圍.變式提升 1 復(fù)數(shù)z1、z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且3z1+z2-2i=2z2-1+z1i,求z1和z2.解:由于z1、z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，有z2=-z1，代入等式,得3z1+-z1-2i=-2z1-1+z1i.解得5z1=i.z1=i,z2=-i.類(lèi)題演練 2 向量表示的復(fù)數(shù)為3+2i，將向量向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向

5、左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，將得到向量，分別寫(xiě)出：1向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；2點(diǎn)O對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；3向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).解：如下圖，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,2，向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度再向左平移2個(gè)單位后，點(diǎn)O的坐標(biāo)為-2,3，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,5，坐標(biāo)平移不改變的方向和模.1向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+2i.2點(diǎn)O對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+3i.3向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3-2i.變式提升 2 兩個(gè)向量a、b對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是z1=3和z2=-5+5i，求向量a與b的夾角.解:a=3，0，b=-5，5，所以a·b=-15·|a|=3·|b|=5.設(shè)a與b的夾角為，所以cos=因?yàn)?，所以=.類(lèi)題演練 3 z=3+ai

6、，且|z-2|<2，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍.解法1：利用模的定義.從兩個(gè)條件中消去z.z=3+aiaR.由|z-2|<2，得|3+ai-2|<2，即|1+ai|<2，解之- <a<.解法2：利用復(fù)數(shù)的幾何意義.由條件|z-2|<2可知.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z，在以2，0為圓心.2為半徑的圓內(nèi)不包括邊界，如右圖，由z=3+ai可知z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在直線x=3上，所以線段AB除去端點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)Z的集合.由圖知：-<a<.變式提升 3 點(diǎn)集D=z|z+1+3i|=1，zC，試求|z|的最小值和最大值.解：點(diǎn)集D的圖象為以點(diǎn)C-1，-3為圓心，以1為半徑的圓，圓上任一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，那么|OP|=|z|.由圖知，當(dāng)OP過(guò)