函數(shù)的周期性與函數(shù)的圖象總結(jié)

1、函數(shù)的周期性 主要知識(shí)：周期函數(shù)的定義：對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，則稱函數(shù)具有周期性，叫做的一個(gè)周期，則（）也是的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期.幾種特殊的抽象函數(shù)：具有周期性的抽象函數(shù)：函數(shù)滿足對(duì)定義域內(nèi)任一實(shí)數(shù)（其中為常數(shù)）, ，則是以為周期的周期函數(shù)； ，則是以為周期的周期函數(shù)；，則是以為周期的周期函數(shù)； ，則是以為周期的周期函數(shù)； ，則是以為周期的周其函數(shù)；，則是以為周期的周期函數(shù)；，則是以為周期的周期函數(shù).函數(shù)滿足（） 若為奇函數(shù)，則其周期為， 若為偶函數(shù)，則其周期為.函數(shù)的圖象關(guān)于直線和都對(duì)稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；函數(shù)的圖象關(guān)于兩點(diǎn)、都對(duì)稱

2、，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；函數(shù)的圖象關(guān)于和直線都對(duì)稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；圖象的對(duì)稱性一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性：1、函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱特殊的有： 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。 函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇函數(shù)）。 函數(shù)是奇函數(shù)關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱。 ，函數(shù)關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱2、兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性：與關(guān)于X軸對(duì)稱。與關(guān)于Y軸對(duì)稱。與關(guān)于直線對(duì)稱。函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱。特殊地: 與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 與關(guān)于直線對(duì)稱。 關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱。 關(guān)于直線對(duì)稱例1 定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：為偶函數(shù)，且，則一定是（ ）A. 是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)B. 是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C. 是

3、奇函數(shù)，也是周期函數(shù)D. 是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)解：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以。所以有兩條對(duì)稱軸，因此是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)，所以x0即y軸也是的對(duì)稱軸，因此還是一個(gè)偶函數(shù)。故選（A）。例2 設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，則_解：因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以的對(duì)稱軸；又因?yàn)榈膶?duì)稱軸。故是以2為周期的周期函數(shù)，所以例3 函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸的方程是（ ）解：函數(shù)的圖像的所有對(duì)稱軸的方程是，所以，顯然取時(shí)的對(duì)稱軸方程是，故選（A）。例4 設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線，則：_解：函數(shù)的圖像既關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于直線對(duì)稱，所以周期是2，又，圖像關(guān)于對(duì)稱，所以，所以例5、函

4、數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則_。例6（08湖北卷6）已知在R上是奇函數(shù)，且A A.-2 B.2 C.-98 D.98例7（08四川卷）函數(shù)滿足，若，則( C )（） （） （） （）例8 （2010安徽理數(shù)）若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)=1，f(2)=2則的值為（ ）A、 B、1 C、 D、2例9 （09江西卷）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對(duì)于，都有，且當(dāng)時(shí)，則的值為 ( C )A B C D例10 2009廣東三校一模）定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)又是以為周期的周期函數(shù),則等于(B)A.-1 B.0 C.1 D.4 例11 （2009全國(guó)卷理）函數(shù)的定義域?yàn)镽，若與都是奇函數(shù)，則(

5、D) A、2009 B、-2009 C 、-2 D.、2例12 的定義域是，且,若求f(2008)的值。解：周期為8，例13 已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則下列命題中：若f（x2）是偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱；若f（x+2）f（x2），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；函數(shù)yf（2+x）與函數(shù)yf（2x）的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱；函數(shù)yf（x2）與函數(shù)yf（2x）的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱.其中正確的命題序號(hào)是 .【解析】 是錯(cuò)誤的，由于f（x2）是偶函數(shù)得f（x2）f（x2），所以f（x）的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱；是錯(cuò)誤的，由f（x+2）f（x2）得f（x+4）f（x），進(jìn)而得f

6、（x+8）f（x），所以f（x）是周期為8的周期函數(shù)；是錯(cuò)誤的，在第一個(gè)函數(shù)中，用x代x，y不變，即可得第二個(gè)函數(shù)，所以這兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；是正確的，令x2t，則2xt，函數(shù)yf（t）與yf（t）的圖象關(guān)于直線t0對(duì)稱，即函數(shù)yf（x2）與yf（2x）的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱.例14（x）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f（2）0，則方程f（x）0在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是 ( D )A2 B3 C4 D5【解析】 f（x）為奇函數(shù)，f（0）0，又函數(shù)f（x）以3為周期，且f（2）0，f（2）0，f（1）0，f（4）0，f（3）0，f（5）0，在區(qū)間（0，6）內(nèi)的解有1，2

7、，3，4，5.故選D.練習(xí)12、對(duì)函數(shù)f（x），當(dāng)x（，）時(shí)，f（2x）f（2+x），f（7x）f（7+x），在閉區(qū)間0,7上，只有f（1）f（3）0.（1）試判斷函數(shù)yf（x）的奇偶性；（2）試求方程f（x）0在閉區(qū)間2005，2005上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.【分析】 由已知f（2+x）f（2x），f（7x）f（7+x）知f（x）的圖象有兩條對(duì)稱軸x2和x7，從而知f（x）是周期為10的周期函數(shù)，又在區(qū)間0，7上，只有f（1）f（3）0，畫圖易知，它是非奇非偶函數(shù)，且在一個(gè)周期0，10上只有2個(gè)根，故易求得方程f（x）0在的根的個(gè)數(shù).【解】 （1）由已知得f（0）0，f（x）不是奇函數(shù)

8、，又由f（2x）f（2+x），得函數(shù)yf（x）的對(duì)稱軸為x2，f（1）f（5）0，f（1）f（1），f（x）不是偶函數(shù).故函數(shù)yf（x）是非奇非偶函數(shù)；（2）由 f（4x）f（14x） f（x）f（x+10），從而知yf（x）的周期是10.又f（3）f（1）0，f（11）f（13）f（7）f（9）0，故f（x）在0，10和10，0上均有兩個(gè)解，從而可知函數(shù)yf（x）在0，2005上有402個(gè)解，在上2005，0有400個(gè)解，所以函數(shù)yf（x）在2005，2005上有802個(gè)解.函數(shù)的圖象1描繪函數(shù)圖象的基本方法有兩種：描點(diǎn)法與圖象變換法。2描點(diǎn)法：通過(guò) 、 、 三步，畫出函數(shù)的圖象，有時(shí)可利用

9、函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性）以利于更簡(jiǎn)便的畫出函數(shù)的圖象。3函數(shù)圖象變換：.圖象變換法(1)平移變換水平平移：y=f(xa)(a0)的圖象，可由y=f(x)的圖象向左(+)或向右(-)平移a個(gè)單位而得到.豎直平移：y=f(x)b(b0)的圖象，可由y=f(x)的圖象向上(+)或向下(-)平移a個(gè)單位而得到.(2)對(duì)稱變換y=f(-x)與y=f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱.y=-f(x)與y=f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱.y=-f(-x)與y=f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.y=f-1(x)與y=f(x)關(guān)于直線y=x對(duì)稱.y=|f(x)|的圖象可將y=f(x)的圖象在x軸下方的部分以x軸為對(duì)稱軸作y=f(x)的圖象的對(duì)稱部分，其余部分不變.y=f(|x|)的圖象可將y=f(x),x0的部分作出，再利