北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、 北師大版數(shù)學(xué)(八年級(jí)上冊(cè))知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第一章勾股定理 1勾股定理 直角三角形兩直角邊 a, b的平方和等于斜邊 c的平方，即a2 b c2 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長(zhǎng) a，b， c有關(guān)系a2，b2二c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 2 2 2 3、勾股數(shù)：滿足a b = c的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)。 第二章實(shí)數(shù) 、實(shí)數(shù)的概念及分類(lèi) 1、實(shí)數(shù)的分類(lèi) 在理解無(wú)理數(shù)時(shí)，要抓住“無(wú)限不循環(huán)”這一時(shí)之，歸納起來(lái)有四類(lèi): (1) 開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如 .7,3、2等; (2) 有特定意義的數(shù)，如圓周率 n，或化簡(jiǎn)后含有 n的數(shù)，如n +8等； 3 (3) 有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如 0.10100

2、10001等； (4) 某些三角函數(shù)值，如 sin60 0等 二、實(shí)數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對(duì)值 1、 相反數(shù) 實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)時(shí)一對(duì)數(shù)(只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是 零)，從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， 如果a與b互為相反數(shù)， 則有a+b=0， a= b，反之亦成立。 2、 絕對(duì)值 在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做該數(shù)的絕對(duì)值。 (|a| 0)。零的絕對(duì) 值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若 |a|=a，則a0;若|a|=-a，貝U ab=acb。 注意.a的雙重非負(fù)性: （5）平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則a2b2二a : b。 五、算術(shù)平

3、方根有關(guān)計(jì)算（二次根式） 1、含有二次根號(hào)“;被開(kāi)方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。 2、性質(zhì): (1) (.、a)2 = a(a _ 0) 廠 a(a K 0) (2) a2 = a = I a(a 0 b0 y JJ k / 圖像經(jīng)過(guò)一、二、三象限， y 隨x的增大而增大。 0 / x b0 y 1k / 圖像經(jīng)過(guò)一、三、四象限， y 隨x的增大而增大。 0 x / / K0 y i I 圖像經(jīng)過(guò)一、二、四象限， y 隨x的增大而減小 0 x b0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限， y隨x的增大而增大； （2） 當(dāng)k0時(shí)，y隨x的增大而增大 （2） 當(dāng)k0時(shí)，y隨x的增大而減小 6、 正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式

4、的確定 確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式 y=kx（k = 0）中的常數(shù) k。確 定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式 y =kx b（ k = 0）中的常數(shù)k和b。解這類(lèi)問(wèn) 題的一般方法是待定系數(shù)法。 7、 一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系： 任何一個(gè)一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為： kx+b=0 （ k、b為常數(shù)，k工0）的形式. 而一 次函數(shù)解析式形式正是 y=kx+b （ k、b為常數(shù)，k豐0）.當(dāng)函數(shù)值為0時(shí)，？即kx+b=0就與一 元一次方程完全相同. 結(jié)論：由于任何一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為 kx+b=0 （k、b為常數(shù)，k工0）的形式.所以 解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)一次函數(shù)

5、值為 0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值. 從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線 y=kx+b確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值. 第七章二元一次方程組 1、 二元一次方程 含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是 1的整式方程叫做二元一次方程。 2、 二元一次方程的解 適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解。 3、 二元一次方程組 含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。 4二元一次方程組的解 二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二元一次方程組的解。 5、 二元一次方程組的解法 （1）代入（消元）法（2）加減（消元）法 6、 一次函數(shù)與二元一次方程（組）

6、的關(guān)系： （1） 一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系： 直線y=kx+b上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是它所對(duì)應(yīng)的二元一次方程 kx- y+b=0的解 （2） 一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系： 二元一次方程組 = & 的解可看作兩個(gè)一次函數(shù) 丫二-色捲+衛(wèi)1 丿 b b U2x + b2y = C2 和 y -也Xi 蟲(chóng) 的圖象的交點(diǎn)。 b2 b2 當(dāng)函數(shù)圖象有交點(diǎn)時(shí)，說(shuō)明相應(yīng)的二元一次方程組有解； 當(dāng)函數(shù)圖象（直線） 平行即無(wú) 交點(diǎn)時(shí)，說(shuō)明相應(yīng)的二元一次方程組無(wú)解。 第八章數(shù)據(jù)的代表 1、 刻畫(huà)數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)（平均水平）的量： 平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù) 2、 平均數(shù) 1 （）平均數(shù)：一般地，對(duì)于n個(gè)數(shù)XX

7、2，Xn，我們把一（ x2 川Xn）叫做這n n 個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)平均數(shù)，記為 X。 （2）加權(quán)平均數(shù)： 3、 眾數(shù) 一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。 4、 中位數(shù) 一般地，將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù) 據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。 新北師大版數(shù)學(xué)（八年級(jí)下冊(cè)）知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第一章 三角形的證明 1、等腰三角形 （1） 三角形全等的性質(zhì)及判定 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等， 對(duì)應(yīng)角也相等 判定： SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性質(zhì)及推論 性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角） 判定：有兩個(gè)角相等的三

8、角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊） 推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即“三 線合一”） （3）等邊三角形的性質(zhì)及判定定理 性質(zhì)定理：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于 60 度；等邊三角形 的三條邊都滿足“三線合一”的性質(zhì)；等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形， 有 3 條對(duì)稱(chēng)軸。 判定定理：有一個(gè)角是 60 度的等腰三角形是等邊三角形?；蛘呷齻€(gè)角都相等的 三角形是等邊三角形。 （4）含 30 度的直角三角形的邊的性質(zhì) 定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于 30 度，那么它所對(duì)的直角邊等于斜 邊的一半。 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的兩條直

9、角邊的平方和等于斜邊的平方。 逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方， 那么這個(gè)三角形是直角三 角形。 （2）命題包括已知和結(jié)論兩部分；逆命題是將倒是的已知和結(jié)論交換；正確的 逆命題就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（ HL） 3、線段的垂直平分線 （1）線段垂直平分線的性質(zhì)及判定 性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。 判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。 （2）三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì) 三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。 （3）如何用尺規(guī)作

10、圖法作線段的垂直平分線 分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn) A、B 為圓心，以大于 AB 的一半長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于 點(diǎn) M N;作直線 MN 則直線 MN 就是線段 AB 的垂直平分線。 4、角平分線 （1） 角平分線的性質(zhì)及判定定理 性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等; 判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。 （2） 三角形三條角平分線的性質(zhì)定理 性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。 （3） 如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線 第二章一元一次不等式和一元一次不等式組 一. 不等關(guān)系 孤1. 一般地,用符號(hào)“ V” （或“W”）， “”

11、 （或“”）連接的式子叫做不. O 2.要區(qū)別方程與不等式：方程表示的是相等的關(guān)系；不等式表示的是不 相等的關(guān)系 探 3.準(zhǔn)確“翻譯”不等式，正確理解“非負(fù)數(shù)”、“不小于”等數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ). 非負(fù)數(shù) 大于等于 0（ 0） 0 和正數(shù) 不小于 0 非正數(shù) 小于等于 0（ 0） 0 和負(fù)數(shù) 不大于 0 二. 不等式的基本性質(zhì) 三不等式的解集： 探 1.能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解一；一個(gè)不等式的所有解 組成這個(gè)不等式的解集；求不等式的解集的過(guò)程，叫做解不等式 探 2.不等式的解可以有無(wú)數(shù)多個(gè)，一般是在某個(gè)范圍內(nèi)的所有數(shù)，與方程的 解不同 O 3.不等式的解集在數(shù)軸上的表示： 用數(shù)軸表示不等

12、式的解集時(shí)，要確定邊界和方向： 邊界:有等號(hào)的是實(shí)心圓圈，無(wú)等號(hào)的是空心圓圈； 方向：大向右，小向左 四. 一元一次不等式： 探 1.只含有一個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的式子是整式，未知數(shù)的次數(shù)是 1像 這樣的不等式叫做一.元一次不等式. 探 2.解一元一次不等式的過(guò)程與解一元一次方程類(lèi)似 ，特別要注意，當(dāng)不等 式兩邊都乘以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)要改變方向. 探 3.解一元一次不等式的步驟：去分母；去括號(hào)；移項(xiàng)；合并同 類(lèi)項(xiàng)；系數(shù)化為 1（不等號(hào)的改變問(wèn)題） 探 4.不等式應(yīng)用的探索（利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題） 列不等式解應(yīng)用題基本步驟與列方程解應(yīng)用題相類(lèi)似，即： 審：認(rèn)真審題,找出題中的不等關(guān)系，要抓住

13、題中的關(guān)鍵字眼，如“大 于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含義； 設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)； 列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式； 解：解出所列的不等式的解集； 答：寫(xiě)出答案，并檢驗(yàn)答案是否符合題意 五. 一元一次不等式與一次函數(shù) 六. 一元一次不等式組 探 1.定義：由含有一個(gè)相同未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式組成的不等式組 叫做一元一次 不等式組. 探2. 一元一次不等式組中各個(gè)不等式解集的公共部分叫做不等式組的解集 如果這些不等式的解集無(wú)公共部分，就說(shuō)這個(gè)不等式組無(wú)解. 幾個(gè)不等式解集的公共部分，通常是利用數(shù)軸來(lái)確定 探 3.解一元一次不等式組的步驟： (1) 分別求出不等式組中各個(gè)不等式

14、的解集； (2) 利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集 兩個(gè)一元一次不等式組的解集的四種情況(a、b 為實(shí)數(shù),且 ab xb 一 j 兩大取較大 a b x ca x vb xa 1 . 兩小取小 a b x na -X vb axb a b 第三章圖形的平移與旋轉(zhuǎn) 、平移 1 、定義 在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形整體沿某方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為 平移。 2、性質(zhì) 平移前后兩個(gè)圖形是全等圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相 等，對(duì)應(yīng)角相等。 二、旋轉(zhuǎn) 1 、定義 在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞某一定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn) 動(dòng)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)中心，

15、轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。 2、性質(zhì) 旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形是全等圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋 轉(zhuǎn)中心的連線所成的角 等于旋轉(zhuǎn)角。 第四章分解因式 一. 分解因式 探 1.把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式 分解因式. 探 2.因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系. 因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系： (1) 整式乘法是把幾個(gè)整式相乘，化為一個(gè)多項(xiàng)式； (2) 因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式相乘. 二. 提公共因式法 探 1.如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái) 從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法. 如:ab a

16、c = a(b c) 探 2.概念內(nèi)涵： (1) 因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”； (2) 公因式可能是單項(xiàng)式,也可能是多項(xiàng)式； (3) 提公因式法的理論依據(jù)是乘法對(duì)加法的分配律，即： ma mb - me 二 m(a b -c) 探 3.易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng)： (1) 注意項(xiàng)的符號(hào)與幕指數(shù)是否搞錯(cuò)； (2) 公因式是否提“干凈”； (3) 多項(xiàng)式中某一項(xiàng)恰為公因式,提出后,括號(hào)中這一項(xiàng)為+1,不漏掉 三. 運(yùn)用公式法 探 1.如果把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式.這種分解 因式的方法叫做運(yùn)用公式法. 探 2.主要公式： (1) 平方差公式：a2 -b(a b)(a-b) (2)完全平方

17、公式： 2 2 2 a 2ab b = (a b) 2 2 2 a -2ab b =(a -b) O 3.易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng)： 因式分解要分解到底.如x4-y4 = (x2 y2)(x2-y2)就沒(méi)有分解到底. 探 4.運(yùn)用公式法： (1) 平方差公式：應(yīng)是二項(xiàng)式或視作二項(xiàng)式的多項(xiàng)式；二項(xiàng)式的每項(xiàng)(不 含符號(hào))都是一個(gè)單項(xiàng)式(或多項(xiàng)式)的平方；二項(xiàng)是異號(hào). (2) 完全平方公式： 應(yīng)是三項(xiàng)式；其中兩項(xiàng)同號(hào)，且各為一整式的平方；還有一項(xiàng)可正負(fù)， 且它是前兩項(xiàng)幕的底數(shù)乘積的 2 倍. 探 5.因式分解的思路與解題步驟： (1) 先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式，若有,則先提取公因式； (2) 再看能否使用公式法； (

18、3) 用分組分解法，即通過(guò)分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來(lái)達(dá)到分解 的目的； (4) 因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積，否則不是因式分解； (5) 因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止 . 四. 十字相乘法： 探 1.對(duì)于二次三項(xiàng)式ax2 bx c,將 a 和 c 分別分解成兩個(gè)因數(shù)的乘 a1 C1 a / 積，a = a1日2 , c = G C2, 且滿足b = &C2 a2&,往往寫(xiě)成 2 二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解 C2的形式，將 如:ax2 bx c = Qx c1 )(a2x c2) 探 2.二次三項(xiàng)式x2 px q的分解： p 二 a b

19、q 二 ab 1 a x2 px q = (x a)(x b) l/ b 探3.規(guī)律內(nèi)涵： (1) 理解：把x2 px q分解因式時(shí)，如果常數(shù)項(xiàng) q 是正數(shù),那么把它分 解成兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù) p 的符號(hào)相同 (2) 如果常數(shù)項(xiàng) q 是負(fù)數(shù),那么把它分解成兩個(gè)異號(hào)因數(shù)，其中絕對(duì)值較 大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù) p 的符號(hào)相同，對(duì)于分解的兩個(gè)因數(shù)，還要看它們的 和是不是等于一次項(xiàng) 系數(shù) p. 探 4.易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng)： (1) 十字相乘法在對(duì)系數(shù)分解時(shí)易出錯(cuò)； (2) 分解的結(jié)果與原式不等，這時(shí)通常采用多項(xiàng)式乘法還原后檢驗(yàn)分解的是 否正確. 第五章分式 一.分式 探 1.兩個(gè)整數(shù)不能整除時(shí)

20、，出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)；類(lèi)似地,當(dāng)兩個(gè)整式不能整除時(shí)，就 出現(xiàn)了分式. 整式 A 除以整式 B,可以表示成的形式.如果除式 B 中含有字母, B 那么稱(chēng)-為分式,對(duì)于任意一個(gè)分式，分母都不能為零. B r整式 探 2.整式和分式統(tǒng)稱(chēng)為有理式，即有： 有理式丿八亠 .分式 探 3.進(jìn)行分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，常要進(jìn)行約分和通分，其主要依據(jù)是分 數(shù)的基本性質(zhì): 分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的 值不變 A go) B B M B B- M 探 4. 一個(gè)分式的分子、分母有公因式時(shí)，可以運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，把 這個(gè)分式的分子、分母同時(shí)除以它的們的公因式，也就是把分子、分母的公 因式約去

21、,這叫做約分. 二.分式的乘除法 探 1.分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母；分 式除以以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘. 測(cè) A C AC AC AD AD 即： ， BDBD BDBCBC 探 2.分式乘方，把分子、分母分別乘方. 探 3.分子與分母沒(méi)有公因式的分式，叫做最簡(jiǎn)分式. 三.分式的加減法 探 1.分式與分?jǐn)?shù)類(lèi)似，也可以通分.根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分 母的分式分別化成與原來(lái)的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分. 探 2.分式的加減法： 分式的加減法與分?jǐn)?shù)的加減法一樣，分為同分母的分式相加減與異分 母的分式相加減. (1)同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減； A B A 十 B 上述法則用式子表示是：上二出 B C C C (2)異號(hào)分母的分式相加減，先通分,變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減； A C AD BC AD 二 BC 上述法則用式子表示是:- B D BD BD BD An B7 (n 為正整數(shù)) 逆向運(yùn)用 An fA、n 6，當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，仍然有戸 An 刁成立. 即: 探 3.概念內(nèi)涵： 通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)分母，其方法如