優(yōu)秀教案33直線與圓的方程的應(yīng)用

1、直線與圓的方程的應(yīng)用教材分析本節(jié)內(nèi)容是必修2第四章第2節(jié)的第3課時(shí)，主要是運(yùn)用本章前面所學(xué)過(guò)的知識(shí)和理論原理來(lái)研究和解決直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題以及利用坐標(biāo)法解決平面幾何的證明問(wèn)題因此本節(jié)課在教材中的地位很重要，是整章知識(shí)的整合，不可或缺此外本節(jié)課在教材中還起著深化知識(shí)，提升知識(shí)的作用，使學(xué)生的基本技能上升到一個(gè)新的臺(tái)階，同時(shí)為以后解析幾何的深化學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)課時(shí)分配本節(jié)內(nèi)容用1課時(shí)的時(shí)間完成，主要講解了兩道例題，分別說(shuō)明直線與圓的方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用，以及用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的基本思路及其解題過(guò)程教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)：直線和圓的應(yīng)用性問(wèn)題以及用坐標(biāo)法證明平面幾何問(wèn)題難點(diǎn)：如何用坐標(biāo)法解決

2、實(shí)際問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)：用坐標(biāo)法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題和平面幾何問(wèn)題能力點(diǎn)：在探究直線與圓的方程應(yīng)用的活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合與方程的思想解決問(wèn)題的意識(shí)，提升學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力和反思、歸納的能力教育點(diǎn)：通過(guò)引入實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)就在我們身邊，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣自主探究點(diǎn)：通過(guò)交流、探討，自主歸納出用坐標(biāo)法解題的一般步驟考試點(diǎn)：與直線、圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用及其利用坐標(biāo)法處理平面幾何問(wèn)題易錯(cuò)易混點(diǎn)：利用坐標(biāo)法解題時(shí)，相關(guān)點(diǎn)直線圓的代數(shù)表示拓展點(diǎn)：如何建立“適當(dāng)”的平面直角坐標(biāo)系?教具準(zhǔn)備 多媒體課件、圓規(guī)、直尺課堂模式 學(xué)案導(dǎo)學(xué)一、 復(fù)習(xí)引入(1)知識(shí)回顧：1.直線與圓的位置關(guān)系：相離、相

3、切、相交2.圓與圓的位置關(guān)系：相離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含3.解決直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系的方法直線與圓的位置關(guān)系的判斷，通常有兩種方法：方法1：從幾何的角度來(lái)說(shuō)明，依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長(zhǎng)的關(guān)系，當(dāng)時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)時(shí)，直線與圓相交方法2：通過(guò)直線與圓的方程組成的方程組有無(wú)實(shí)數(shù)解來(lái)判斷如果有解，直線與圓有公共點(diǎn)有兩組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓相交；有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓相切；無(wú)實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓相離和判斷直線與圓的位置關(guān)系一樣，判斷圓與圓的位置關(guān)系也有兩種方法：一種是利用兩圓圓心連心線長(zhǎng)與和的大小關(guān)系判斷，另一種是根據(jù)兩個(gè)圓的方程組成方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)判斷【設(shè)計(jì)意圖

4、】復(fù)習(xí)鞏固前面所學(xué)知識(shí)，為這節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)作好充分準(zhǔn)備(2)新課引入：引導(dǎo)學(xué)生閱讀課本P124“坐標(biāo)法與機(jī)器證明”體會(huì)法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒與中國(guó)數(shù)學(xué)家吳文俊在幾何代數(shù)化以及幾何定理機(jī)器證明方面的貢獻(xiàn)【設(shè)計(jì)意圖】引出本節(jié)課要探究學(xué)習(xí)的主題坐標(biāo)法的應(yīng)用圖4.2-5二、探究新知探究一：直線與圓的方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用 例4圖4.2-5是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖這個(gè)圓的圓拱跨度，拱高，建造時(shí)每間隔需要用一根支柱支撐，求支柱的高度(精確到)圖4.2-6 思考1：如圖4.2-6所示建立直角坐標(biāo)系，那么求支柱的高度，化歸為什么問(wèn)題？學(xué)生：支柱的高度即為點(diǎn)的縱坐標(biāo)思考2：取為長(zhǎng)度單位，如何求圓拱所在圓的方程？學(xué)生

5、：由圓心在軸上，可設(shè)圓的方程為，然后根據(jù)點(diǎn)，在圓上，構(gòu)造方程組即可求解，得到圓的方程思考3：利用這個(gè)圓的方程如何求點(diǎn)的縱坐標(biāo)？學(xué)生：將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入圓的方程可得結(jié)果最后教師歸納概括，給出規(guī)范的解題過(guò)程如下：解：取為長(zhǎng)度單位，建立圖42-6所示的直角坐標(biāo)系，使圓心在在軸上，設(shè)圓心坐標(biāo)是，圓的半徑是，那么圓的方程是，因?yàn)槎荚趫A上，所以它們的坐標(biāo)，都滿足方程于是，得到方程組解得，所以，圓的方程是將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入圓的方程，得，解得(的縱坐標(biāo))答：支柱的高度約為圖4.2-7思考4：如果不建立坐標(biāo)系，你能用幾何法解決這個(gè)問(wèn)題嗎？教師：如圖4.2-7，過(guò)作，由已知，在中，有設(shè)圓拱所在圓的半徑長(zhǎng)是，則有，解得

6、在中，有，因?yàn)?，于是有，又，于是有，所以支柱的高度約為【設(shè)計(jì)意圖】這是一個(gè)我們學(xué)生身邊的例子，通過(guò)這個(gè)例子體會(huì)我們的生活中無(wú)處不在“用”數(shù)學(xué)通過(guò)這一問(wèn)題的解決，進(jìn)一步鞏固用坐標(biāo)法解決實(shí)際問(wèn)題的步驟，了解建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系的必要性同時(shí)，通過(guò)思考4進(jìn)一步體會(huì)坐標(biāo)法在解決一些問(wèn)題上的優(yōu)越性探究二：坐標(biāo)法在研究幾何問(wèn)題中的應(yīng)用例5已知內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線互相垂直，求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對(duì)邊長(zhǎng)的一半圖4.2-8思考1：許多平面幾何問(wèn)題常利用“坐標(biāo)法”來(lái)解決，首先要做的工作是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，在本題中應(yīng)如何選取坐標(biāo)系？教師指出在建立直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)該注意選擇圖形中互相垂直的兩條直線作為軸與軸

7、，并盡可能使得所涉及的點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上，因?yàn)檫@樣可以使得它們的坐標(biāo)比較簡(jiǎn)單（有一個(gè)是0）學(xué)生：以四邊形中互相垂直的兩條對(duì)角線所在直線分別為軸、軸，建立平面直角坐標(biāo)系思考2：如圖4.2-8所示建立直角坐標(biāo)系，設(shè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，那么邊的長(zhǎng)為多少？圖4.2-9學(xué)生：根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得，思考3：四邊形的外接圓圓心的坐標(biāo)如何？學(xué)生合作探究可得：把找出圓心坐標(biāo)的任務(wù)分解為找出它的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)兩件事，因此應(yīng)該由點(diǎn)向軸作垂線，找出垂足的橫坐標(biāo)，也就是點(diǎn)的橫坐標(biāo)類似地，點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是點(diǎn)的縱坐標(biāo)思考4：如何計(jì)算圓心到直線的距離？學(xué)生：由，可知點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)坐標(biāo)為，再由兩點(diǎn)間距

8、離公式可得最后教師歸納概括，給出規(guī)范的解題過(guò)程如下：證明：如圖4.2-9，以四邊形互直垂直的對(duì)角線， B所在直線分別為軸，軸，建立直角坐標(biāo)系設(shè)，過(guò)四邊形外接圓的圓心分別作，的垂線，垂足分別為，則，分別是線段，的中點(diǎn)由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得，圖4.2-10所以又，所以思考5：由上述計(jì)算可證明結(jié)論成立你能用平面幾何知識(shí)證明這個(gè)命題嗎？教師提示：如圖4.2-10，連接并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接，這樣就找出，即，然后證明【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)本例進(jìn)一步延伸了坐標(biāo)法的應(yīng)用范圍幾何證明對(duì)于思考5，在教學(xué)中我們僅僅是指出思路，突破難點(diǎn)并沒(méi)有花費(fèi)過(guò)多的時(shí)間去證明解答，我們的目的是通過(guò)幾何法和坐標(biāo)法的比較，讓學(xué)生體會(huì)幾何證

9、法的奇巧性和坐標(biāo)法應(yīng)用的一般性三、理解新知用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題時(shí)，先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素：點(diǎn)、直線、圓，然后通過(guò)對(duì)坐標(biāo)和方程的代數(shù)運(yùn)算，把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系，得到幾何問(wèn)題的結(jié)論這就是用坐標(biāo)方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題；第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論四、運(yùn)用新知1( 課本P132練習(xí)3)某圓拱橋的水面跨度20m，拱高4m現(xiàn)有一船，寬10m，水面以上高3m，這條船能否從橋下通過(guò)？ 【設(shè)計(jì)意圖】本題是例4的一個(gè)延續(xù)，設(shè)置目的是進(jìn)一步

10、強(qiáng)化學(xué)生從直觀認(rèn)識(shí)過(guò)渡到數(shù)學(xué)思想方法的能力，鞏固直線和圓的方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力 解：建立如圖所示的坐標(biāo)系依題意，有，設(shè)所求圓的方程是于是有解此方程組，得，所以這座圓拱橋的拱圓的方程是把點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入上式，得由于船在水面以上高，所以該船可以從橋下穿過(guò)2 (課本P132練習(xí)4)等邊中，點(diǎn)、分別在邊，上，且，相交于點(diǎn)求證：【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生進(jìn)一步熟悉和掌握平面幾何問(wèn)題與代數(shù)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，加深坐標(biāo)法的解題步驟，鞏固所學(xué)知識(shí)解：以為原點(diǎn)，邊所在直線為軸，線段長(zhǎng)的為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的坐標(biāo)系則，由已知，得，直線的方程為直線的方程為解以上兩方程聯(lián)立成的方程組，得，所以，點(diǎn)

11、P的坐標(biāo)是直線PC的斜率因?yàn)?，所以，五、課堂小結(jié)1知識(shí)方面：（1）直線和圓的方程在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用；（2）坐標(biāo)法在平面幾何中的應(yīng)用；（3）利用坐標(biāo)法解題的“三步曲”2思想方法方面： 體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)本節(jié)知識(shí)的歸納概括，體會(huì)坐標(biāo)法在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用六、布置作業(yè) 必做題：教材P132習(xí)題4.2 A組8 ；P133B組1選做題：教材P133習(xí)題4.2 B組2【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)A組8 和B組1進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)直線和圓的方程在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用以及坐標(biāo)法在平面幾何中的應(yīng)用的認(rèn)識(shí) B組2屬于考查坐標(biāo)法的應(yīng)用的問(wèn)題，不過(guò)難度較大，故而作為選做題存在七、教后反思1本教案的亮點(diǎn)：本教案系統(tǒng)地研究了直線和圓的方程在實(shí)際問(wèn)題和平面幾何等問(wèn)題中的應(yīng)用嚴(yán)格遵循了新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，控制了例題和練習(xí)的難度，在例題和練習(xí)的選擇上避免了繁難的證明，突出了坐標(biāo)法的應(yīng)用，這對(duì)全體學(xué)生而言是適當(dāng)?shù)脑谛轮骄恐型怀隽藢W(xué)生的主體地位，通過(guò)一問(wèn)一答啟發(fā)了學(xué)生的思維，使得教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)重點(diǎn)落到實(shí)處2本節(jié)課的弱項(xiàng)：對(duì)于探究“直線與圓的方程在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)