幾何體的外接球與內(nèi)切球

1、幾何體的外接球與內(nèi)切球1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等。2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合。4、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法。一、外接球（一）多面體幾何性質(zhì)法1、 已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是A. B. C. D.小結(jié) 本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對(duì)角線的長(zhǎng)等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來(lái)求解的.2、一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1，2，3，則此球的表面積為 。（二）補(bǔ)形法1、若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)

2、均為，則其外接球的表面積是 .2、設(shè)是球面上的四點(diǎn),且兩兩互相垂直,若,則球心到截面的距離是 .小結(jié) 一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)度分別為，則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為，則有.3、三棱錐中，兩兩垂直，且，則三棱錐外接球的表面積為（ ）A B C D4、三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，其中是正三角形 平面則該球的體積為（ ）A. B. C. D. 答案及解析：10.B點(diǎn)評(píng)：本題考查球的內(nèi)接體與球的關(guān)系，考查空間想象能力，利用割補(bǔ)法結(jié)合球內(nèi)接多面體的幾何特征求出球的半徑是解題的關(guān)鍵5、如圖的幾何體是長(zhǎng)方

3、體 的一部分，其中 則該幾何體的外接球的表面積為(A (B) (C) ( D)答案及解析：12.【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的結(jié)構(gòu). G1B 解析：該幾何體的外接球即長(zhǎng)方體的外接球，而若長(zhǎng)方體 的外接球半徑為R ，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為2R，所以，所以該幾何體的外接球的表面積，故選 B. 【思路點(diǎn)撥】分析該幾何體的外接球與長(zhǎng)方體的外接球的關(guān)系，進(jìn)而得結(jié)論. 6、一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積是（）A 12B4C3D12答案及解析：14.考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積分析：三視圖復(fù)原幾何體是四棱錐，擴(kuò)展為正方體，它的體對(duì)角線，就是球的

4、直徑，求出半徑，解出球的表面積解答：解：由三視圖知該幾何體為四棱錐，記作SABCD，其中SA面ABCD面ABCD為正方形，將此四棱錐還原為正方體，易知正方體的體對(duì)角線即為外接球直徑，所以2r=S球=4r2=4×=3答案：C點(diǎn)評(píng)：本題考查三視圖求表面積，幾何體的外接球問題，是基礎(chǔ)題（三）尋求軸截面圓半徑法1、正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，都在同一球面上，則此球的體積為 .小結(jié) 根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個(gè)軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實(shí)質(zhì)就是通過(guò)尋找外接球的一個(gè)軸截面

5、圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來(lái)研究.這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí).2、求棱長(zhǎng)為 a 的正四面體 P ABC 的外接球的表面積3、三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=2且AA1平面ABC，ABC是邊長(zhǎng)為的正三角形，該三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積為（）A8BCD8答案及解析：7.C考點(diǎn)：球的體積和表面積 專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離分析：根據(jù)題意，正三棱柱的底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球的球心，求出球的半徑即可求出球的體積解答：解：由題意可知：正三棱柱的底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球的球心，因?yàn)锳BC是邊長(zhǎng)為的正三角形，所以底面中心到頂點(diǎn)的距離為：1；因

6、為AA1=2且AA1平面ABC，所以外接球的半徑為：r=所以外接球的體積為：V=r3=×（）3=故選：C點(diǎn)評(píng)：本題給出正三棱柱有一個(gè)外接球，在已知底面邊長(zhǎng)的情況下求球的體積著重考查了正三棱柱的性質(zhì)、正三角形的計(jì)算和球的體積公式等知識(shí)，屬于中檔題8.4、已知三棱錐中，直線與底面所成角為，則此時(shí)三棱錐外接球的體積為A. B. C. D. 答案及解析：11.D（四）球心定位法1、在矩形中，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為A. B. C. D.2、如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體外接球的表面積為 A. 8 B. 16 C. 32 D. 643、三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)

7、為2的正三角形， 底面，且，則此三棱錐外接球的半徑為（ ）A B C D4、如圖，在三棱錐ABCD中，ACD與BCD是全等的等腰三角形，且平面ACD平面BCD，AB=2CD=4，則該三棱錐的外接球的表面積為 BC 答案及解析：D 27.EF 考點(diǎn)：球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體 G 專題：空間位置關(guān)系與距離H 分析：取AB，CD中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接EF，AF，BF，求出EF，判斷三棱錐的外接球球心O在線段EF上，連接OA，OC，求出半徑，然后求解表面積I 解答：解：取AB，CD中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接EF，AF，BF，由題意知AFBF，AF=BF，EF=2，易知三棱錐的外接球球心O在線段EF上

8、，連接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=CF2+OF2，求得，所以其表面積為J 故答案為：KL 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查球的內(nèi)接幾何體的相關(guān)計(jì)算問題，對(duì)考生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想都提出很高要求，本題是一道綜合題，屬于較難題M 28.N 29.5、在三棱錐中，底面為邊長(zhǎng)為的正三角形，頂點(diǎn)在底面上的射影為的中心， 若為的中點(diǎn)，且直線與底面所成角的正切值為O ，則三棱錐外接球的表面積為_P 答案及解析：Q 29.R二、內(nèi)切球問題1、一氣球（近似看成球體）在不變形的前提下放在由長(zhǎng)為2的12根木條搭成的正方體中，該氣球球表面積最大是_2、正三棱錐的高為 1，底面邊長(zhǎng)為 。求棱錐的內(nèi)切球的表面積。3、 三棱錐的兩條棱,其余各棱長(zhǎng)均為，求三棱錐的內(nèi)切球半徑.4、如圖，已知球O是棱長(zhǎng)為1 的正方體ABCDA1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為( )ABCD答案及解析：4.C考點(diǎn)：截面及其作法 專題：空間位置關(guān)系與距離分析：根據(jù)正方體和球的結(jié)構(gòu)特征，判斷出平面ACD1是正三角形，求出它的邊長(zhǎng)，再通過(guò)圖求出它的內(nèi)切圓的半徑，最后求出內(nèi)切圓的面積解答：解：根據(jù)題意知，平面ACD1是邊長(zhǎng)為的正三角形，且球與以點(diǎn)D為公共點(diǎn)的三個(gè)面的切點(diǎn)恰為三角形ACD1三邊的中點(diǎn)，故所求截面的面積是該正三角形的內(nèi)切圓的面