幾種特殊類型行列式及其計算

1、1 行列式的定義及性質(zhì)1.1 定義 級行列式等于所有取自不同行不同列的個元素的乘積的代數(shù)和,這里是的一個排列,每一項都按下列規(guī)則帶有符號:當(dāng)是偶排列時,帶正號，當(dāng)是奇排列時,帶有負(fù)號.這一定義可寫成這里 表示對所有級排列求和.1.2 性質(zhì) 性質(zhì) 行列互換,行列式的值不變. 性質(zhì)1.2.2 某行(列)的公因子可以提到行列式的符號外. 性質(zhì) 如果某行(列)的所有元素都可以寫成兩項的和,則該行列式可以寫成兩行列式的和;這兩個行列式的這一行(列)的元素分別為對應(yīng)的兩個加數(shù)之一,其余各行(列)與原行列式相同. 性質(zhì) 兩行(列)對應(yīng)元素相同,行列式的值為零. 性質(zhì) 兩行(列)對應(yīng)元素成比例,行列式的值為零

2、. 性質(zhì) 某行(列)的倍數(shù)加到另一行(列)對應(yīng)的元素上,行列式的值不變. 性質(zhì) 交換兩行(列)的位置,行列式的值變號.2 行列式的分類及其計算方法2.1 箭形（爪形）行列式 這類行列式的特征是除了第行(列)或第行(列)及主(次)對角線上元素外的其他元素均為零，對這類行列式可以直接利用行列式性質(zhì)將其化為上(下)三角形行列式來計算.即利用對角元素或次對角元素將一條邊消為零.例1 計算階行列式. 解 將第一列減去第二列的倍，第三列的倍第n列的倍，得 .2.2 兩三角型行列式 這類行列式的特征是對角線上方的元素都是,對角線下方的元素都是的行列式，初看，這一類型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由這類行

3、列式變換而來，對這類行列式，當(dāng)時可以化為上面列舉的爪形來計算，當(dāng)時則用拆行(列)法來計算.例2 計算行列式.解 當(dāng)時.將第行到第行都減去第行，則化為以上所述的爪形，即.用上述特征的方法，則有 .當(dāng)時，用拆行(列)法，則.化簡得 . 而若一開始將拆為，則得 . 由，得. 有一些行列式雖然不是兩三角型的行列式，但是可以通過適當(dāng)變換轉(zhuǎn)化成兩三角型行列式進(jìn)行計算.例3 計算行列式.解 將第一行，第一列，得.即化為上情形，計算得.而對于一些每行(列)上有公共因子但不能像上面一樣在保持行列式不變的基礎(chǔ)上提出公共因子的，則用升階法來簡化.例4 計算行列式.解 將行列式升階，得 . 將第行減去第一行的倍，得.

4、這就化為了爪形，按上述特征的方法計算可得 .2.3 兩條線型行列式這類行列式的特征是除了主(次)對角線或與其相鄰的一條斜線所組成的任兩條線加四個頂點(diǎn)中的某個點(diǎn)外，其他元素都為零，這類行列式可直接展開降階，對兩條線中某一條線元素全為的，自然也直接展開降階計算.例5 計算行列式.解 按第一行展開可得 .例6 計算行列式.解 方法1 直接展開可得 .則.方法2 (拉普拉斯定理法) 按第一行和第行展開得 .其余的同法.2.4 Hessenberg型行列式這類行列式的特征是除主(次)對角線及與其相鄰的斜線，再加上第或第行外，其他元素均為零，這類行列式都用累加消點(diǎn)法，即通常將第一行(列)元素化簡到只有一個

5、非零元素，以便于這一行或列的展開降階計算.例7 計算行列式.解 將各列加到第一列得.按第一列展開得 .2.5 三對角型行列式 形如的行列式，這類行列式的特征是除這三條斜線上元素外，其他元素均為零，這是一遞推結(jié)構(gòu)的行列式，所有主子式都有同樣的結(jié)構(gòu)，從而以最后一列展開，將所得的階行列式再展開即得遞推公式. 對這類行列式用遞推法.例8 計算行列式.解 按第一列展開有解特征方程得.則.例9 計算行列式.解 按第一行展開得.解特征方程得.則.分別使得則.2.6 各行(列)元素和相等的行列式 這類行列式的特征是其所有行(列)對應(yīng)元素相加后相等，對這類行列式，將其所有行(列)加到第一行(列)或第行(列)，提

6、取公因式后，再把每一行都減去第一行(列)，即可使行列式中出現(xiàn)大量的零元素.例10 計算行列式.解 將第行到第行都加到第行，得.2.7 相鄰兩行(列)對應(yīng)元素相差的行列式這類行列式的特征是大部分以數(shù)字為元素且相鄰兩行(列)元素相差的行列式，對這類行列式，自第一行(列)開始，前行(列)減去后行(列)，或自第行(列)開始，后行(列)減去前行(列)，即可出現(xiàn)大量元素為或的行列式，再進(jìn)一步化簡即出現(xiàn)大量的零元素.若相鄰兩行(列)元素相差倍數(shù)，則前(后)行(列)減去后(前)行(列)的倍，可使行列式出現(xiàn)大量的零元素.例11 計算行列式 .解 依次用前行減去后行，可得.現(xiàn)將第列加到第列至第列，得 .例11 計算階行列式.解 這是相鄰兩行(列)相差倍數(shù)，可采用前行減