全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)A

1、2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（A卷）說明：1. 評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn). 填空題只設(shè)8分和0分兩檔；其他各題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分，不要增加其他中間檔次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，解答題中第9小題4分為一個(gè)檔次，第10、11小題5分為一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次。一、填空題（本題滿分64分，每小題8分）1. 函數(shù)的值域是 .解：易知的定義域是，且在上是增函數(shù)，從而可知的值域?yàn)?2. 已知函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .解：令，則原函數(shù)化為，即.由 ， ，

2、及 知 即 . （1）當(dāng)時(shí)（1）總成立；對(duì)；對(duì).從而可知 .3. 雙曲線的右半支與直線圍成的區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點(diǎn)（縱橫坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)是 9800 .解：由對(duì)稱性知，只要先考慮軸上方的情況，設(shè)與雙曲線右半支于,交直線于，則線段內(nèi)部的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，從而在軸上方區(qū)域內(nèi)部整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 .又軸上有98個(gè)整點(diǎn)，所以所求整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 .4. 已知是公差不為的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，其中，且存在常數(shù)使得對(duì)每一個(gè)正整數(shù)都有，則 .解：設(shè)的公差為的公比為，則 （1） ， （2）（1）代入（2）得，求得.從而有 對(duì)一切正整數(shù)都成立，即 對(duì)一切正整數(shù)都成立.從而 ， 求得 ， .5. 函數(shù) 在區(qū)間上的最大

3、值為8，則它在這個(gè)區(qū)間上的最小值是 .解：令則原函數(shù)化為,在上是遞增的.當(dāng)時(shí)，,，所以 ；當(dāng)時(shí)，所以 .綜上在上的最小值為.6. 兩人輪流投擲骰子，每人每次投擲兩顆，第一個(gè)使兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6者為勝，否則輪由另一人投擲.先投擲人的獲勝概率是 .解：同時(shí)投擲兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6的概率為，從而先投擲人的獲勝概率為.7. 正三棱柱的9條棱長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，二面角,則 .解一：如圖，以所在直線為軸，線段中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，則，從而，.設(shè)分別與平面、平面垂直的向量是、，則由此可設(shè) ，所以，即.所以 .解二：如圖， .設(shè)與交于點(diǎn) 則 .從而平面 .過在平

4、面上作,垂足為.連結(jié),則為二面角的平面角.設(shè),則易求得.在直角中，,即 .又 .8. 方程滿足的正整數(shù)解（x,y,z）的個(gè)數(shù)是 336675 . 解：首先易知的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 .把滿足的正整數(shù)解分為三類：（1）均相等的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)顯然為1；（2）中有且僅有2個(gè)相等的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，易知為1003； (3)設(shè)兩兩均不相等的正整數(shù)解為.易知 ， ， .從而滿足的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 .二、解答題（本題滿分56分）9. （本小題滿分16分）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，試求的最大值.解一： 由 得 （4分） . （8分） 所以 ， . （12分）又易知當(dāng)（為常數(shù)）滿足題設(shè)條件，所以最大值為.（16分）解二：. 設(shè)

5、，則當(dāng)時(shí)，. 設(shè) ，則. （4分）容易知道當(dāng)時(shí)，. （8分）從而當(dāng)時(shí)， ， 即 ，從而 ,，由 知. （12分）又易知當(dāng)（為常數(shù)）滿足題設(shè)條件，所以最大值為.（16分）10.（本小題滿分20分）已知拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中且.線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求面積的最大值. 解一：設(shè)線段的中點(diǎn)為，則 ， .線段的垂直平分線的方程是 . （1）易知是（1）的一個(gè)解，所以線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為. （5分）由（1）知直線的方程為 ，即 . （2）（2）代入得 ，即 .（3）依題意，是方程（3）的兩個(gè)實(shí)根，且，所以 , . . 定點(diǎn)到線段的距離 . （10分） . （15分）當(dāng)且僅當(dāng)，即,或時(shí)等號(hào)成立. 所以面積的最大值為. （20分）解二：同解一，線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為. （5分） 設(shè)，則 的絕對(duì)值, （10分） , , （15分） 當(dāng)且僅當(dāng)且，即 ,或時(shí)等號(hào)成立. 所以面積的最大值是. （20分）11.（本小題滿分20分）證明：方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，且存在唯一的嚴(yán)格遞增正整數(shù)數(shù)列，使得 .證明： 令，則，所以是嚴(yán)格遞增的.又，故有唯一實(shí)數(shù)根. （5分）所以 ， .故數(shù)列是滿足題設(shè)要求的數(shù)列.