八年級上知識梳理 滬教版數(shù)學(xué)

1、八年級上第十六章 二次根式第一節(jié)： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。取值范圍1. 二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a0時(shí)，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2. 二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a0時(shí)，沒有意義。二次根式（）的非負(fù)性（）表示a的算術(shù)平方根，也就是說，（）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即0（）。注：因?yàn)槎胃剑ǎ┍硎綼的算術(shù)平方根，而正數(shù)的

2、算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0（），這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)應(yīng)用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。二次根式（）的性質(zhì)（）文字語言敘述為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式（）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應(yīng)用：若，則，如：，.二次根式的性質(zhì)文字語言敘述為：一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對值。注：1、化簡時(shí)，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0，則等于a本身，即；若a是負(fù)

3、數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即；2、中的a的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論a取何值，一定有意義；3、化簡時(shí)，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡。與的異同點(diǎn)1、不同點(diǎn)：與表示的意義是不同的，表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)。但與都是非負(fù)數(shù)，即，。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的， ，而2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，=；時(shí)，無意義，而.最簡二次根式（1）被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為1（2）被開方數(shù)不含分母被開方數(shù)同時(shí)符合上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式同類二次根式1幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，如

4、果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式2 合并同類二次根式把幾個(gè)同類二次根式合并為一個(gè)二次根式就叫做合并同類二次根式。3二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的進(jìn)行合并。第二節(jié) 二次根式的運(yùn)算1.積的算數(shù)平方根的性質(zhì) ab=a·b（a0，b0） 2. 乘法法則 a·b=ab（a0，b0） 二次根式的乘法運(yùn)算法則，用語言敘述為：兩個(gè)因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個(gè)因式積的算術(shù)平方根。 兩個(gè)二次根式相乘，被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變。兩個(gè)二次根式相除，被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變。a÷b=a÷b（a0，b>0） 二次根式

5、的除法運(yùn)算法則，用語言敘述為：兩個(gè)數(shù)的算數(shù)平方根的商，等于這兩個(gè)數(shù)商的算數(shù)平方根。分母有理化把分母的根號化去叫做分母有理化，1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。有理化根式。 如果兩個(gè)含有根式的代數(shù)式的積不再含有根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式叫做有理化根式,也稱有理化因式。 二次根式的混合運(yùn)算1確定運(yùn)算順序 2靈活運(yùn)用運(yùn)算定律 3正確使用乘法公式 4大多數(shù)分母有理化要及時(shí) 5在有些簡便運(yùn)算中也許可以約分，不要盲目有理化 第十七章 一元二次方程一元二次方程的概念：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程1. 一元二次方程的一般形式: a0時(shí)，ax2+bx+c=0叫一

6、元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有關(guān)問題時(shí)，多數(shù)習(xí)題要先化為一般形式，目的是確定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具體數(shù)，也可能是含待定字母或特定式子的代數(shù)式.2. 一元二次方程的解法: （1）一元二次方程的四種解法要求靈活運(yùn)用， 其中直接開平方法雖然簡單，但是適用范圍較??；（2）公式法雖然適用范圍大，但計(jì)算較繁，易發(fā)生計(jì)算錯(cuò)誤；（3）因式分解法適用范圍較大，且計(jì)算簡便，是首選方法；（4）配方法使用較少.3. 一元二次方程根的判別式: 當(dāng)ax2+bx+c=0 (a0)時(shí)，=b2-4ac 叫一元二次方程根的判別式.請注意以下等價(jià)命題：0 <=> 有兩個(gè)不

7、等的實(shí)根； =0 <=> 有兩個(gè)相等的實(shí)根；0 <=> 無實(shí)根； 0 <=> 有兩個(gè)實(shí)根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系關(guān)系： 當(dāng)ax2+bx+c=0 (a0) 時(shí)，如0，有下列公式：5. 一元二次方程的解法（1） 直接開平方法 （也可以使用因式分解法） 解為： 解為： 解為： 解為：（2） 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如： 此類方程適合用提供因此，而且其中一個(gè)根為0 （3） 配方法二次項(xiàng)的系數(shù)為“1”的時(shí)候：直接將一次項(xiàng)的系數(shù)除于2進(jìn)行配方，如下所示：示例：二次項(xiàng)的系數(shù)不為“1”的時(shí)候：先提取二次項(xiàng)的系數(shù)，之后的方法同上：示例

8、： （4）公式法：一元二次方程，用配方法將其變形為：當(dāng)時(shí)，右端是正數(shù)因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根： 當(dāng)時(shí)，右端是零因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根： 當(dāng)時(shí)，右端是負(fù)數(shù)因此，方程沒有實(shí)根。備注：公式法解方程的步驟：把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：，并確定出、求出，并判斷方程解的情況。代公式：（要注意符號）5當(dāng)ax2+bx+c=0 (a0) 時(shí)，有以下等價(jià)命題：(以下等價(jià)關(guān)系要求會用公式 ；=b2-4ac 分析，不要求背記)（1）兩根互為相反數(shù) Û = 0且0 Û b = 0且0；（2）兩根互為倒數(shù) Û =1且0 Û a = c且0；（3）只有一個(gè)零根

9、Û = 0且0 Û c = 0且b0；（4）有兩個(gè)零根 Û = 0且= 0 Û c = 0且b=0；（5）至少有一個(gè)零根 Û =0 Û c=0；（6）兩根異號 Û 0 Û a、c異號；（7）兩根異號，正根絕對值大于負(fù)根絕對值Û 0且0Û a、c異號且a、b異號；（8）兩根異號，負(fù)根絕對值大于正根絕對值Û 0且0Û a、c異號且a、b同號；（9）有兩個(gè)正根 Û 0，0且0 Û a、c同號， a、b異號且0；（10）有兩個(gè)負(fù)根 Û 0，0且0 

10、19; a、c同號， a、b同號且0.6求根法因式分解二次三項(xiàng)式公式：注意：當(dāng) 0時(shí)，二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解.ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax2+bx+c=.7求一元二次方程的公式： x2 -（x1+x2）x + x1x2 = 0. 注意：所求出方程的系數(shù)應(yīng)化為整數(shù).第三節(jié) 一元二次方程的應(yīng)用8平均增長率問題-應(yīng)用題的類型題之一 （設(shè)增長率為x）： (1) 第一年為 a , 第二年為a(1+x) , 第三年為a(1+x)2.（2）常利用以下相等關(guān)系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=總和.9分式方程的解法：10. 二元二次方程組的解法：11幾個(gè)常

11、見轉(zhuǎn)化：， ， ， ， 等 ； ；第十八章 正比例函數(shù)和反比例函數(shù)一、函數(shù)的定義：在X值的取值范圍內(nèi)的每一個(gè)值，Y都有唯一一個(gè)值和它對應(yīng)。Y是X的函數(shù)。（唯一性）二、表示函數(shù)的三種方法：1、列表法 2、解析法（函數(shù)關(guān)系式）3、圖象法畫圖像的一般步驟：（1）列表（2）描點(diǎn)（3）連線三、確定函數(shù)自變量的取值范圍1、自變量以整式形式出現(xiàn)，自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)；2、自變量以分式形式出現(xiàn)，自變量的取值范圍是使分母不為0的數(shù)；3、自變量以偶次方根形式出現(xiàn)，自變量的取值范圍是使被開方數(shù)大于或等于0（即被開方數(shù)0）的數(shù)；自變量以奇次方根形式出現(xiàn)，自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。4、 自變量出現(xiàn)在零次冪或負(fù)整

12、數(shù)次冪的底數(shù)中，自變量的取值范圍是使底數(shù)不為0的數(shù)。說明：當(dāng)函數(shù)解析式表示具有實(shí)際意義的函數(shù)時(shí)，自變量取值范圍除應(yīng)使函數(shù)解析式有意義外，還必須符合實(shí)際意義。）正比例函數(shù)正比例：如果兩個(gè)變量的每 一組對應(yīng)值的比值是一個(gè)常數(shù)（這個(gè)常數(shù)不等于0），那么就說這兩個(gè)變量成正比例。解析式如 Y=kx，（k0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，k叫做比例系數(shù)。K>0時(shí)，正比例函數(shù)圖像的兩支分別在第一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi)，當(dāng)自變量x的值逐漸增大時(shí)，y的值隨著逐漸增大K<0時(shí)，函數(shù)圖像的兩支分別在第二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi)，當(dāng)自變量x的值逐漸增大時(shí)，y的值隨著逐漸減少。反比例如果兩個(gè)量的每一組對應(yīng)值的乘積是一

13、個(gè)不等于的常數(shù)，那么就說這兩個(gè)變量成反比例，解析式如y=(k是常數(shù)，k0)的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，其中k也叫做比例系數(shù).K>0時(shí)，函數(shù)圖像的兩支分別在第一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi)，當(dāng)自變量x的值逐漸增大時(shí)，y的值隨著逐漸減小K<0時(shí)，函數(shù)圖像的兩支分別在第二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi)，當(dāng)自變量x的值逐漸增大時(shí)，y的值隨著逐漸增大圖像的兩支都無限接近于x軸和y軸，但不會與x軸和y軸相交。第十九章 幾何證明判定一件事情的句子叫做命題，其判定正確的命題叫做真命題，其判定錯(cuò)誤的命題叫做假命題公理：人們從長期的實(shí)踐中總結(jié)出來的真命題叫做公理定理：有些命題是從公理或其他真命題出發(fā)，用推理的方法證明為正

14、確的，并進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理。命題1、命題：凡是可以判斷出真（正確）、假（錯(cuò)誤）的語句叫做命題。2、命題分類 真命題：正確的命題 命題 假命題：錯(cuò)誤的命題4、反例：符合命題條件，但不滿足命題結(jié)論的例子稱為反例。第二節(jié) 線段的垂直平分線與角平分線線段的垂直平分線2、 互逆命題 3、 原命題：如果p，那么q；4、 逆命題：如果q，那么p。 （說明：交換一個(gè)命題的條件和結(jié)論就是它的逆命題。）1、定義：經(jīng)過線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線。PAB2、性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端距離相等。 直線l垂直平分AB，點(diǎn)P在l上 PA=PB

15、ABP2、 判定：與線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。 PA=PB 點(diǎn)P在AB的垂直平分線上五、角的平分線1、性質(zhì)：角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。2、判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。 軌跡點(diǎn)的軌跡：我們有時(shí)也把符合某些條件的所有點(diǎn)的集合，叫做點(diǎn)的軌跡和線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線在一個(gè)角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的角平分線到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是以這個(gè)定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓。7、直角三角形全等的判定1、 定義：有一個(gè)角是90°的三角形叫做直角三角形。2、 性質(zhì)：（1）

16、邊性質(zhì)：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。（勾股定理） （2）角性質(zhì)：兩個(gè)銳角互余。3、含30°角的直角三角形性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。定理：如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等（簡記為H.L）定理1 直角三角形的兩個(gè)銳角互余定理2 直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半推論1 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.推論2 在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這個(gè)直角邊所對的角等于30°。定理 在直角三角形中， 斜邊大于直角

17、邊勾股定理 直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2c2）要點(diǎn)詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在中，則，）（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題2：勾股定理的逆定理如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關(guān)系a2+b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。要點(diǎn)詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直

18、角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長邊長為：c；（2）驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2a2+b2，則ABC是以C為直角的直角三角形（若c2>a2+b2，則ABC是以C為鈍角的鈍角三角形；若c2<a2+b2，則ABC為銳角三角形）。（定理中，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。4：互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。5：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過割補(bǔ)