全等三角形難題集錦整理

1、1、（1）如圖1，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點E，連結(jié)BC求AEB的大小；（2）如圖2，OAB固定不動，保持OCD的形狀和大小不變，將OCD繞著點O旋轉(zhuǎn)（OAB和OCD不能重疊），求AEB的大小. 圖1 圖22、（1）如圖1，現(xiàn)有一正方形ABCD，將三角尺的指直角頂點放在A點處，兩條直角邊也與CB的延長線、DC分別交于點E、F請你通過觀察、測量，判斷AE與AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由（2）將三角尺沿對角線平移到圖2的位置，PE、PF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由（3）如果將三角尺旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，P

2、E、PF之間是否還具有（2）中的數(shù)量關(guān)系？如果有，請說明3、分別是正方形的邊、上的點，且，為垂足，求證： ABCEDOPQ4、C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊和等邊，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結(jié)PQ以下五個結(jié)論： AD=BE； ； AP=BQ； DE=DP； CP=CQ CPQ為等邊三角形共有2對全等三角形 CO平分 CO平分恒成立的結(jié)論有_（把你認(rèn)為正確的序號都填上）5、D為等腰斜邊AB的中點，DMDN，DM，DN分別交BC，CA于點E，F(xiàn)。（1）當(dāng)繞點D轉(zhuǎn)動時，求證：DE=DF。（2）若AB=2，求四邊形DECF的面積。6、

3、如圖，是正三角形，BDC是頂角的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連接MN探究：線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明7、點C為線段AB上一點，ACM， CBN都是等邊三角形，線段AN，MC交于點E，BM，CN交于點F。求證：（1）AN=MB.（2）將ACM繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖所示，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否依然成立？ （3）AN與BM相交所夾銳角是否發(fā)生變化。圖 圖8、復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識時，老師布置了一道作業(yè)題：“如圖，已知在中，AB=AC，P是內(nèi)部任意一點，將AP繞A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ，使，連接BQ、CP，

4、則BQ=CP”小亮是個愛動腦筋的同學(xué)，他通過對圖的分析，證明了ABQACP，從而證得BQ=CP之后，將點P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn)“BQ=CP”仍然成立，請你就圖給出證明9、將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖中的兩張三角形膠片和且。將這兩張三角形膠片的頂點與頂點重合，把繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)，這時與相交于點當(dāng)旋轉(zhuǎn)至如圖位置，點，在同一直線上時，與的數(shù)量關(guān)系是 當(dāng)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖位置時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由10、兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連結(jié)DC（1）請

5、找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識的字母）；（2）證明：DCBE圖1圖2DCEAB11、兩個全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，E、A、C三點在一條直線上，連接BD，取BD中點M，連接ME、MC，試判斷EMC的形狀，并說明理由12、如圖，AD/BC，AD=BC，AEAD，AFAB，且AE=AD，AF=AB，求證：AC=EF13、如圖，AEAB，ADAC，AB=AE，B=E，求證：（1）BD=CE；（2）BDCE14、如圖，BFAC于點F，CEAB于點E，且BD=CD。求證：（1）BDECDF；（2） 點D在A的平分線上

6、15、如圖1，A、E、F、C在同一條直線上，AE=CF，過E、F分別作DEAC，BFAC，（1）若AB=CD，試說明BD平分EF；（2）若將DEC的邊EC沿AC方向移動變?yōu)閳D2時，其余條件不變，BD是否還平分EF，請說明理由。16、如圖，OP是MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在中，如果ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請問，你在（1）中

7、所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖17、如圖1，點M為銳角內(nèi)任意一點，連接AM、BM、CM以AB為一邊向外作等邊，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN（1）求證：AMBENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，則稱點M為的費(fèi)爾馬點若點M為的費(fèi)爾馬點，試求此時、的度數(shù)；（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個作銳角三角形費(fèi)爾馬點的簡便方法：如圖2，分別以的AB、AC為一邊向外作等邊ABE和等邊ACF，連接CE、BF，設(shè)交點為M，則點M即為的費(fèi)爾馬點試說明這種作法的依據(jù)18、如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一

8、點。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不與點A，B重合），另一條直角邊與CBM的平分線BF相交于點F.（1）如圖1，當(dāng)點E在AB邊的中點位置時： 通過測量DE，EF的長度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ； 連接點E與AD邊的中點N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ； 請證明你的上述兩猜想.（2）如圖2，當(dāng)點E在AB邊上的任意位置時，請你在AD邊上找到一點N， 使得NE=BF，進(jìn)而猜想此時DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系并證明圖1 圖219、如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別為邊BC、CD的中點，AF、DE相交于點G，則可得結(jié)論：AF=DE；AFDE.（不需要證明

9、）（1）如圖2，若點E、F不是正方形ABCD的邊BC、CD的中點，但滿足CE=DF.則上面的結(jié)論、是否仍然成立？（請直接回答“成立”或“不成立”）（2）如圖3，若點E、F分別在正方形ABCD的邊CB的延長線和DC的延長線上，且CE=DF，此時上面的結(jié)論、是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.20、如圖1、圖2、圖3，AOB，COD均是等腰直角三角形，AOBCOD90º，（1）在圖1中，AC與BD相等嗎，有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由。（2）若COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達(dá)圖2的位置，請問AC與BD還相等嗎，還具有那種位置關(guān)系嗎？為什么？（3）若COD繞點O

10、順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達(dá)圖3的位置，請問AC與BD還相等嗎？還具有上問中的位置關(guān)系嗎？為什么？21、如圖1，在中，BC邊在直線l上，ACBC，且AC = BCEFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP（1）在圖1中，請你通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將EFP沿直線l向左平移到圖14-2的位置時，EP交AC于點Q，連結(jié)AP，BQ猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想；（3）將EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q，連結(jié)AP，BQ你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還

11、成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由 圖1 （F） B C P A（E）l l P A E B C Q F 圖2 l B P A 圖3 E F Q C 22、如圖所示，在和中，且點，在一條直線上，連接，分別為的中點（1）求證：；（2）在圖的基礎(chǔ)上，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，得到圖所示的圖形請直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立. CENDABM圖CAEMBDN圖23、數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，且EF交正方形外角的平分線CF于點F，求證：AE=EF經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM

12、=EC，易證，所以在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由； （2）小華提出：如圖3，點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立你認(rèn)為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由ADFCGEB圖1ADFCGEB圖2ADFCGEB圖324、問題背景，如下命題： 如圖1，在正三角形ABC中，N為BC邊上任一點，CM為正三角形外角

13、ACK的平分線，若，則AN=NM。 如圖2，在正方形ABCD中，N為BC邊上任一點，CM為正方形外角DCK的平分線，若，則AN=NM。 如圖3，在正五邊形ABCDE中，N為BC邊上任一點，CM為正五邊形外角DCK的平分線，若，則AN=NM。任務(wù)要求：（1）請你證明以上三個命題；（2）請你繼續(xù)完成下面的探索： 如圖4，在正（3）邊形ABCDEF中，N為BC邊上任一點，CM為正邊形外角DCK的平分線，問當(dāng)ANM等于多少度時，結(jié)論AN=NM成立（不要求證明）. 如圖5，在梯形ABCD中，ADBC，AB=BC=CD，N為BC延長線上一點，CM為DCN的平分線，若ANM=ABC，請問AN=NM是否還成立

14、？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.25、已知AOB=90°，AOB的平分線OM上有一點C，將一個三角板的直角頂點與點C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB或它們的反向延長線相交于D、E。（1）當(dāng)三角形繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時（如圖1），易證：CD=CE（2）當(dāng)三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，在圖2圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立，請給予證明，若不成立，請寫出你的猜想，不需證明。26、已知AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90°，求五邊形ABCDE的面積 27、已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求證：（1）EC=BF；（2）

15、ECBF28、已知BE，CF是的高，且BP=AC，CQ=AB，試確定AP與AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系29、已知E是正方形ABCD的邊CD的中點，點F在BC上，且DAE=FAE。求證：30、已知PA=，PB=4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點落在直線AB的兩側(cè).（1）如圖，當(dāng)APB=45°時，求AB及PD的長;（2）當(dāng)APB變化，且其它條件不變時，求PD的最大值，及相應(yīng)APB的大小.31、已知點是正方形的邊上一點，點是的延長線上一點，且 求證：32、以的邊、為邊分別向外作正方形和正方形，連結(jié)，試判斷與面積之間的關(guān)系，并說明理由AGFCBDE33、用兩個全等的等邊和ACD拼成菱

16、形ABCD，把一個含60°角的三角尺與這個菱形疊合，使三角尺的60°角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB，AC重合.將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn).（1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點E，F(xiàn)時，（如圖131），通過觀察或測量BE，CF的長度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長線相交于點E，F(xiàn)時（如圖132），你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？簡要說明理由. 34、在等邊的兩邊AB，AC所在直線上分別有兩點M，N，D為外一點，且，探究：當(dāng)點M，N分別愛直線AB，AC上移動時，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周

17、長與等邊的周長L的關(guān)系（1）如圖，當(dāng)點M，N在邊AB，AC上，且DM=DN時，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系式_；此時=_（2）如圖，當(dāng)點M，N在邊AB，AC上，且時，猜想（1）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；（3）如圖，當(dāng)點M，N分別在邊AB，CA的延長線上時，若AN=x，則Q=_（用x，L表示）35、在等邊中， P在延長線上一點，以PA為邊作等邊，EC延長線交BP于M，連接AM。求證：（1）BP=CE；（2）EMPM=AM.PBACEM36、在等邊中，點D為直線BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時針排列），使DAF=60

18、6;，連接CF（1）如圖1，當(dāng)點D在邊BC上時，求證：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如圖2，當(dāng)點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結(jié)論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系37、在等邊中，過邊上的點作，交于點，在的延長線上取點，使，連接，（1）求證：；（2）過點作，交于點，請你連接，并判斷是怎樣的三角形，試證明你的結(jié)論38、在等腰中，是的中點，過作，且求證：39、在等腰中，ACB90°，AD是BC邊上的中線，過C作

19、AD的垂線，交AB于點E，交AD于點F。求證：ADCBDE40、在等腰中，ACB=90°，F(xiàn)是AB的中點，直線l經(jīng)過點C，分別過點A、B作l的垂線，即，（1）如圖1，當(dāng)CE位于點F的右側(cè)時，求證：ADCCEB；（2）如圖2，當(dāng)CE位于點F的左側(cè)時，求證：ED=BE-AD；（3）如圖3，當(dāng)CE在的外部時，試猜想ED、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想41、四邊形ABCD中，AB=BC，BF是ABC的平分線，AFDC，連接AC、CF。求證：CA是DCF的平分線。42、在四邊形ABCD中，AC平分ÐBAD，CEAB 于E，且ÐB+ÐD=180°

20、，求證：AE=AD+BE 43、在正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù). 44、在正方形中，求證：45、在中，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)角得,交于點，分別交、于、兩點如圖1，觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論。ADBECFADBECF46、在中，為邊的中點，繞點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或它們的延長線）于、。當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到于時（如圖1），易證當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到和不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明AECFBD圖1圖3ADFECBADBCE圖2

21、F47、在中，A=90°，D是AC上的一點，BD=DC，P是BC上的任一點，PEBD，PFAC，E、F為垂足求證：PE+PF=AB48、在中，ABC=45°，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連結(jié)DH與BE相交于點G。（1）求證：BF=AC；（2）求證：CE=BF；（3）CE與BC的大小關(guān)系如何？試證明你的結(jié)論。49、在中，ACB90°，ACBC，AE是BC邊上的中線，過C作CFAE，垂足為F，過B作BDBC交CF的延長線于D求證：（1）AECD；（2）若AC12 cm，求BD的長 50、在中，ACB為銳角，點D為射

22、線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的左側(cè)作等腰直角ADE，解答下列各題：如果AB=AC，BAC=90°（1）當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖甲，猜想并證明線段BD，CE之間的位置關(guān)系。（2）當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖乙，（1）中的結(jié)論是否還成立？為什么？51、在中，BAC=60°，C=40°，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q。求證：。52、在中，AB=AC，D是CB延長線上一點，ADB=60°，E是AD上一點，且DE=DB，求證：53、在中，AB=AC=6cm，B=C，BC=4cm，點D為AB的中點（1）如果點P在線段BC上以1cm/s的速度由點B向點C運(yùn)動，同時，點Q在線段CA上由點C向點A運(yùn)動若點Q的運(yùn)動速度與點P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，BPD與CQP是否全等，請說明理由；若點Q的運(yùn)動速度與點P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點Q的運(yùn)動速度為多少時，能夠使BPD與CQP全等？（2）若點Q以中的運(yùn)動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運(yùn)動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿