結(jié)構(gòu)—地基非線性體系水平位移與扭轉(zhuǎn)耦合效應(yīng)研究

1、結(jié)構(gòu)地基非線性體系水平位移與扭轉(zhuǎn)耦合效應(yīng)研究1姜忻良，趙慧芳天津大學建筑工程學院，天津 (300072)E-mail：摘 要：本文基于多線性隨動強化模型，采用非線性有限元求得了基礎(chǔ)和地基土之間的水平剛度與搖擺剛度，從而建立了結(jié)構(gòu)地基空間非線性相互作用體系，利用能量法得到了結(jié)構(gòu)水平側(cè)移和扭轉(zhuǎn)相耦合的振動方程，采用多尺度法研究了結(jié)構(gòu)地基相互作用體系的主共振，比較了多種結(jié)構(gòu)與地基非線性現(xiàn)象給響應(yīng)曲線帶來的影響，揭示了代表高模態(tài)水平振動向低模態(tài)扭轉(zhuǎn)振動傳遞的耦合效應(yīng)現(xiàn)象，為結(jié)構(gòu)抗震分析提供了理論依據(jù)。關(guān)鍵詞：非線性；耦合效應(yīng)；主共振；相互作用體系；能量傳遞。中圖分類號：P315.9651. 引言在強烈

2、地震作用下，結(jié)構(gòu)一般進入彈塑性階段。當考慮結(jié)構(gòu)地基土相互作用時，結(jié)構(gòu)與地基上均會不同程度進入彈塑性階段，因此進行結(jié)構(gòu)地基土相互作用的彈塑性分析十分必要。在以往的研究中，往往僅注重于結(jié)構(gòu)地基土相互作用的動力反應(yīng)，而對其內(nèi)在的特性研究不夠，其原因是問題的復雜性給分析帶來困難1-3。本文將結(jié)構(gòu)地基土相互作用體系做了適當?shù)暮喕紤]不規(guī)則結(jié)構(gòu)質(zhì)量偏心或剛度偏心所造成的水平位移與扭轉(zhuǎn)位移的耦合效應(yīng)，利用能量法導出結(jié)構(gòu)水平側(cè)移和扭轉(zhuǎn)相耦合的振動方程，采用多尺度法研究結(jié)構(gòu)地基相互作用體系的主共振，得到主共振的定常解并討論了其穩(wěn)定性，通過算例分析在不同情況下結(jié)構(gòu)地基土相互作用體系的動力特性進行了比較，得出一些

3、規(guī)律性的現(xiàn)象，為結(jié)構(gòu)地基相互作用耦合效應(yīng)的研究提供有用的參考。2. 相互作用模型及參數(shù)的確定系統(tǒng)介紹結(jié)構(gòu)地基相互作用體系模型如圖1所示。上部結(jié)構(gòu)為單層結(jié)構(gòu)，具有質(zhì)量或剛度偏心，為計算簡便，在基礎(chǔ)與地基交接處將其分開，用有限元法求得地基土的動力特性參數(shù)，得到基礎(chǔ)與地基之間的水平剛度與搖擺剛度，進而建立結(jié)構(gòu)地基土相互作用簡化計算模型如圖2所示。R2Ry圖1 結(jié)構(gòu)地基相互作用體系模型 圖2 結(jié)構(gòu)地基相互作用簡化計算模型1 本課題得到國家自然基金（50278063），博士點基金（20040056032）資助。- 1 -2.1 基礎(chǔ)水平剛度和搖擺剛度為了得到基礎(chǔ)和地基之間的水平剛度和搖擺剛度，利用大型有

4、限元程序ANSYS計算圖3所示基礎(chǔ)與地基模型，通過基礎(chǔ)水平荷載P和水平位移U的關(guān)系可確定基礎(chǔ)的水平剛度變化曲線，通過彎矩M和轉(zhuǎn)角的關(guān)系可確定基礎(chǔ)的搖擺剛度變化曲線。在計算中，基礎(chǔ)按彈性體考慮；土體采用多線性隨動強化模型來進行模擬；基礎(chǔ)與土體之間的界面引入了接觸面單元。土體的側(cè)向和底部邊界取為剛性支桿約束。現(xiàn)考慮混凝土平板基礎(chǔ)尺寸a×b×h=28m×16m×1m，外荷（基礎(chǔ)重量加上部結(jié)構(gòu)重量）基礎(chǔ)彈性模量E3×1010N/m2,容重取2400Kg/m3,泊松比=0.25，土的容重為1.64×104kN，1800Kg/m3,泊松比0.4，

5、經(jīng)分析研究地基深度H=2b,長度L=4a，寬度B=4b,即可達到計算精度。為便于理論分析，將P-U曲線和M-曲線用最小二乘法擬合成三次多項式*其中KH、KR為剛度的線性部分，KH、P=KHU+KH*U3和M=KR+KR*3的形式，圖3 基礎(chǔ)與地基模型KR*為剛度的非線性部分，現(xiàn)僅給出x方向與xoz平面擬合后的曲線如圖4所示。(a)X方向水平剛度曲線 (b)XOZ平面內(nèi)搖擺剛度曲線圖4 水平剛度和搖擺剛度曲線2.2 上部結(jié)構(gòu)的恢復力模型上部結(jié)構(gòu)的恢復力模型采用雙線性恢復力模型，如圖5所示，其中K1為彈性剛度，K2為屈服后的剛度。并且利用最小二乘法將雙線型恢復力模型擬合成三次多項式曲線，其表達式為

6、：S=K1U+K1*U3，其中K1為剛度的線性部分，K分。*1為剛度的非線性部2.3 阻尼系數(shù)在結(jié)構(gòu)體系運動時，一般而言，阻尼力的影響比較小，所以假定阻尼為線性阻尼。結(jié)構(gòu)- 2 -采用瑞雷型阻尼：C=M+bK；地基的阻尼系數(shù)CHx、CHy、CRxCRy則假定僅與地基剛度K中的線性部分成正比，即：取=0,地基的第一自振頻率及阻尼比。b=2/1。其中，1、分別對應(yīng)于3. 相互作用體系的運動方程&g的作用下，建立體x對于圖2 所示的結(jié)構(gòu)地基相互作用簡化體系，在輸入地震運動&系的運動方程。由于體系在x與y方向激勵作用下的振動響應(yīng)類似，因此只討論體系在承受x方向的激勵的響應(yīng)4-6。體系的

7、動能、勢能及非保守力做功分別為：111&2&+x&+y&g+x&0+H&)2+M(y&0+H&)2+JcT=M(x222=Sx(x)dx+Sy(y)dy+i=1x0y0xymy+xiySyi(y)dy+j=1nxyixSxj(x)dx（1）+SHx(x0)dx0+SHy(y0)dy0+Mxd+Myd&+Cyydy&+R=Cxxdxx0y0xy&&&dCd+CRxd+CRy&0dx0+CHyy&0dy0+CHxx其中M為結(jié)構(gòu)總質(zhì)量；Jc為結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動慣量；x0、y0分別為基礎(chǔ)位移

8、；x、y、z分別為上部結(jié)構(gòu)相對基礎(chǔ)的位移；Sx、Sxj分別為結(jié)構(gòu)x向總恢復力和每榀框架恢復力；Sy、Syi分別為結(jié)構(gòu)y向總恢復力和每榀框架恢復力；SHx、SHy、Mx、My分別為基礎(chǔ)在x、y向的恢復力和在xoz、yoz平面內(nèi)的彎矩； Cx、Cy、C分別為結(jié)構(gòu)x、y以及扭轉(zhuǎn)方向的阻尼；CHx、CHy、CRx、CRy分別為基礎(chǔ)在x、y向的水平阻尼系數(shù)和在xoz、yoz平面內(nèi)的&g為外激勵加速度，本文取為余x搖擺阻尼系數(shù)；Fx為地震動的幅值，為地震動的頻率，&弦波的形式。將T、R代入Lagrange能量方程，得到體系振動方程：21x3+4x2+5x2+63+Fxcos(T) &

9、;&+x&+2x3+xx=223223y&&+y&yy=21+2y+3+4y+5y+6（2）其中：,3,4,5,6,1,2,x,y,12,3,4,5,6,1,2,34,5,6,78,9,10是剛度、質(zhì)量、高度等因素的組合系數(shù)，其形式類似于文獻2。4. 主共振分析利用多尺度法求方程組(2)的一階近似解7-9，為使得外激勵與阻尼效應(yīng)和非線性效應(yīng)位于同一攝動方程之中，為小參數(shù)，令：- 3 -=2， 1=21,3=23,Fx=3fx,11=2,=2,=2=2。 33112233并設(shè)：x=x0(T0,T2)+3x1(T0,T2)3y=y0(T0,T2)+y1(T0

10、,T2) 3=+(T,T)1(T0,T2)002影響下的運動振幅調(diào)相10-12(3)其中，T0=t為快尺度，表征及尺度上的運動，T2=2t為慢尺度，表征非線性。假設(shè)：d2d2。 （4） =D0+D1+K， 2=D0+2D0D1+L 其中：Dn=Tndtdt將（3），（4）式代入方程組（2），比較等式兩邊同階的系數(shù)，得到 Order ：D02x0+x2x0=0，D02y0+y2y0=0，D020+20=0 （5）Order 3：D02x1+x2x1=2D0D2x0+(21D0x0+30+2x03+4x020+5x00+60)+fxcosT023D02x1+x2x1=2D0D2y0+(21D0y0

11、+30+2y03+4y020+5y00+60)+6x00+70+8y0+9y00+10y00)其中，（5）的解可以寫為：2332223（6）D021+21=2D0D20+(21D00+3x0+2y0+4x03+5x020x0=A1(T2)eixT0+cciyT0y=ATe+cc ()022=A3(T2)eiT0+cc0將式（7）代入式（6），得到：（7）其中，A1,A2,A3為未知函數(shù)，可由階近似解的可解條件確定，cc表示共軛項。D02x1+x2x1=2ixA1'eixT02i1xA1e+4Ae+222i(2x)T031ixT0+32A121eixT0ixT0+25A33A1e+6A3

12、e33iT01fxeiT0+cc+NST2'iyT0D0y1+yy1=2iyA2e2i1yA2eiyT0+32A22eiyT02iyT0+4A32e2i(2y)T0+25A33A2e+6A33e3iT0（8）+cc+NST- 4 -D01+1=2iA3e22'iT02i1A3eiT0iT0+4A13e3ixT0+29A22A3e'+25A11A3eiT0+6A132ei(x2)T0+37A33e2+8A2e33iyT0iT0+10A232ei(y2)T0+cc+NST'以上三式中，cc代表共軛項，NST為不產(chǎn)生永年項的項，A1,A2分別為A1,A2對T2的導數(shù)。

13、由于振動系統(tǒng)的非線性因素是以三次方的形式出現(xiàn)，所以內(nèi)共振發(fā)生于x3或3x的場合，并且由上式可以看出x的情況下將發(fā)生外共振。5. 主共振穩(wěn)態(tài)解的分析5.1 x3時的主共振由于x，x3，所以根據(jù)多尺度法引進調(diào)諧參數(shù)1,3,設(shè)T0=xT0+1T2 ，xT0=3T0+3T2 （9）用（9）式消去（8）式中的永年項，設(shè)An=aneibn/2(n=1,2,3)，將其分離實虛部，并令（10）'''1=1T2b1， 2=3b3b13T2''注意到方程組（2）的穩(wěn)態(tài)解對應(yīng)于a1=a2=a3=1=2=0與a2=0的情形。因此，由（10）式可得：b1'=1，b3

14、9;= 1xa1+1(1+3)，最后得到 3115a33sin2+fxsin1=0 (11) 8211a3+6a1a32sin2=0 （12）831112a13+4a32a1+5a33cos2+fxcos1+x1a1=0 （13） 848213115a3a12+7a33+6a1a32cos2+(1+3)a3=0 （14）4883結(jié)構(gòu)在此狀態(tài)下的穩(wěn)態(tài)解(一由以上四式可以得到水平與扭轉(zhuǎn)振動的響應(yīng)幅值a1與a3，階近似)為：x=a1cos(t1)111=a3cos(t1+2)3335.2 3x時的主共振(15)由于x,3x，所以根據(jù)多尺度法引進調(diào)諧參數(shù)1,3,設(shè)T0=xT0+1T2，T0=3xT0+

15、2T2 （16）用與5.1節(jié)同樣的方法可以得到此狀態(tài)下的一階近似穩(wěn)態(tài)解：- 5 -x=a1cos(t1)(17) =cos(33+)at312其中：1=1T2b1，2=b33b1+2T26. 算例分析6.1 x3結(jié)構(gòu)平面布置示意圖如圖6所示，主要參數(shù)為：柱截面為400mm×400mm,縱向梁截面為300mm×600mm，橫向梁截面為300mm×500mm，樓板加次梁的折合厚度為120mm，剪力墻厚為220mm，層高6m。地基土取為中軟土，剪切波速Cs取170m/s，土的泊松比取0.4,土的密度取1800Kg/m3。由計算可知：x3。圖6 結(jié)構(gòu)平面布置示意圖(x3)

16、 圖7 結(jié)構(gòu)平面布置示意圖(3x)為了比較非線性因素給計算帶來的影響，取三種不同工況進行計算，工況一為非線性結(jié)構(gòu)非線性地基；工況二為線性結(jié)構(gòu)非線性地基；工況三為非線性結(jié)構(gòu)線性地基。取=0.1， 1=25，3=10，逐漸改變外激勵幅值得到響應(yīng)幅值隨激勵變化的比較曲線如圖8和圖10所示。圖中虛線部分是利用RZ判據(jù)分析得到的不穩(wěn)定解。當=0.1，3=10，fx=15時結(jié)構(gòu)的振幅隨協(xié)調(diào)參數(shù)1的變化，如圖9和圖11所示。由計算結(jié)果可以看到，三種不同工況曲線的性質(zhì)大致相同，每種工況在振動過程中均存在跳躍現(xiàn)象。比較圖8與圖10，由于外激勵的頻率與高頻率相接近，低模態(tài)被激發(fā)，從而導致扭轉(zhuǎn)振動的幅值變化比水平振

17、動的幅值變化大的多。比較三種工況的曲線可以看出工況一響應(yīng)幅值隨激勵幅值變化最快，說明當兩者均為非線性時，結(jié)構(gòu)與地基土剛度減弱較快，使幅值變化較大。從圖9與圖11同樣可以看到，由于工況一上部結(jié)構(gòu)與地基均考慮為非線性，其表現(xiàn)出來的軟彈簧特性更加明顯，幅值響應(yīng)曲線的峰值最大。比較工況二與工況三兩種情況，它們的響應(yīng)幅值變化則取決于上部結(jié)構(gòu)與地基的相對剛度，工況二相對結(jié)構(gòu)而言，剛度較大，而地基的非線性特性明顯，因此響應(yīng)幅值隨激勵幅值變化較工況三大，同樣其共振放大效應(yīng)比工況三明顯。- 6 -a1況3a1fx1圖8 響應(yīng)幅值隨激勵變化曲線(a1)圖9 幅頻響應(yīng)曲線(a1)a3a3fx1圖10 響應(yīng)幅值隨激勵

18、變化曲線(a3) 圖11 幅頻響應(yīng)曲線(a3)6.2 3x結(jié)構(gòu)布置改為如圖7，主要計算參數(shù)同上，計算得：3x。取=0.1,1=252=5，可得到外激勵與振幅之間的關(guān)系，如圖12、13所示。由圖12與圖13對比可以得到：由于外激勵的頻率與低模態(tài)的頻率相接近，高模態(tài)并沒有被激發(fā)。就是說在這種情況下，橫向模態(tài)的能量只有很少一部分傳遞到了較低的模態(tài)即扭轉(zhuǎn)角相對橫向振動的幅值a1來說不會很大；其他的情況與以上討論相同。a1a3fxfx圖12 響應(yīng)幅值隨激勵變化曲線(a1) 圖13 響應(yīng)幅值隨激勵變化曲線(a3)6.3地基性質(zhì)對體系反應(yīng)的影響相互作用體系同前，僅改變地基土的性質(zhì)，地基土取中硬土，剪切波速C

19、s為270ms，密度為2000kgm3，泊松比為0.3。在x=3,x時的計算結(jié)果及與中軟土地基的對比見圖14和圖15。- 7 -320280240200值a11601208040a1值0fx1圖14 響應(yīng)幅值隨激勵變化曲線 圖15 響應(yīng)幅值隨激勵變化曲線 由圖14和圖15可以看出，同等大小的激勵幅值作用下，中軟土地基上的響應(yīng)要大于中硬土地基上的響應(yīng)，軟土地基體系的自振周期延長，自振頻率減小，阻尼比加大，共振的放大效應(yīng)明顯。7. 結(jié)論本文通過結(jié)構(gòu)地基作用的非線性分析，揭示了相互作用非線性振動的復雜現(xiàn)象。當結(jié)構(gòu)與地基土均考慮其非線性因素后，其響應(yīng)幅值隨激勵幅值變化加大；地基性質(zhì)也是影響幅值的重要因

20、素，中軟土地基的響應(yīng)幅值明顯大于中硬土的響應(yīng)幅值。研究分析表明，當體系的某兩頻率成某種比例時，在外激勵的頻率與高模態(tài)的頻率相接近的情況下，低模態(tài)被激發(fā)，加強了低模態(tài)的變化幅值。由計算結(jié)果可以看出，當x且x=3時，代表扭轉(zhuǎn)變形的低模態(tài)被激發(fā)，從而導致扭轉(zhuǎn)振動的幅值變化比水平振動的幅值變化大得多，水平與扭轉(zhuǎn)位移耦合現(xiàn)象加劇，這一現(xiàn)象應(yīng)引起工程設(shè)計人員的重視。參考文獻1 姜忻良，賈勇結(jié)構(gòu)-滑移基礎(chǔ)-土非線性相互作用體系主共振與分叉J工程力學，2002.5：103-1072 姜忻良，駱蘭月考慮空間效應(yīng)的非線性結(jié)構(gòu)主共振分析J地震工程與工程振動，2003.3：68-733 姜忻良，鄭剛，常好誦地基結(jié)構(gòu)相

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