數(shù)列壓軸題(高考)

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載高考數(shù)列壓軸題選講一、填空題1 .已知數(shù)列an中，an=n2+油，且an是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)人的取值范圍(答：九a3)；2 .首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是(答：8<d<3)33 .函數(shù)f(x)由下表te義：右a1=1,a2=5,an=f(an),nwN則22008的值.x12345f(x)3452112.14.1. 正偶數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列：2468101214161820則第n(n>4)行從左向右的第4個(gè)數(shù)為.210.n-n+85.根據(jù)下面一組等式：s=1,s2=23=5,S3=456=15,s4=78910=34,S

2、5=1112131415=65,S6=161718192021=111,可得§+與+距=n4.12.本題是課本中的習(xí)題.考查推理與證明中歸納猜想，數(shù)學(xué)能力是觀察、歸納意識(shí).方法一：S1=1§+S3=16,&+S3+S5=81|，猜想S+S3+|l|+S2n=n4.方法二：先求出&n工=(2n-1)(2n22n+1),然后求和(對(duì)文科學(xué)生要求較高，不必介紹)6 .13.五位同學(xué)圍成一圈依次循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定，第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為2,第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為3,之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出數(shù)的乘積的個(gè)位數(shù)字，則第2010個(gè)被報(bào)出的數(shù)為.13.47

3、.把數(shù)列琮的所有項(xiàng)按照從大到小，左大右小的原則寫成如圖所示的數(shù)表，第k行有2k1個(gè)數(shù)，1一、,第k行的第s個(gè)數(shù)（從左數(shù)起）記為（k,s）,則2010可記為.12i1461 111_810i214iiiii1618202224"（第7題圖）8. （1）正整數(shù)按下列方法分組：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,.記第n組中各數(shù)之和為An；由自然數(shù)的立方構(gòu)成下列數(shù)組：（03,13,13,23,23,33,33,43,.記第n組中后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差為Bn則An+Bn=n,2n31n1n.2.n.（2）、僅n22,nwN,（2x+一）-（3x+-）

4、=a（）+aix+a2x+'+anX,將ak（0kEn）的取小值23，_一_11_11_._記為Tn,則T2=0,T3=-,T4=0,丁5=-,"1,Tn,111其中Tn=.23332535解析：本題主要考察了合情推理，利用歸納和類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，屬容易題13.（10,494）13,對(duì)大于】的自然數(shù)m的二次移，可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式的拆分：盟=345,非=7+9+11,453+15+17,卜19,若159在小的拆分中，則e的值為（3）13（4） .觀察下列等式：o22.23+4=5,102+112+122=132+142,_222_2_22_22_22222_2_222122

5、22232242=252262272362372382392402=412422432442由此得到第n(nwN4等式為.13一159 .數(shù)列an中，an=an+(n之2,n=N),an=,刖n項(xiàng)和Sn=，則a1=222n=(答：ai=3,n=10)；10 .設(shè)等差數(shù)列%的首項(xiàng)及公差均是正整數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn,且a1>1,a4>6,4E12,則a201o=-12 .【4020】11.設(shè)等差數(shù)列Ln的前n項(xiàng)和為Sn,若1wa5W4,2wa6w3,則&的取值范圍是;11.1-12,42【解析】由題知1<a1+4d<4,2Wa1+5d<3則S6=6a+15d=1

6、5(a1+4d)9(a1+5d)由不等式性質(zhì)知0w【12,42或線性規(guī)劃知識(shí)可1 ma14dM4.1得4，令z=S6=6a1+15d同樣得S6w12,42.2 <a15dM312 .等差數(shù)列an中，a。=30,a2。=50,則通項(xiàng)an=(答：2n+10)；13 .設(shè)數(shù)列an中，a1=2,an書=an+n+1,則通項(xiàng)an=。14 .已知等差數(shù)列4的首項(xiàng)a1及公差d都是整數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn(nWN*).若a1>1,a4>3,S3W9,則通項(xiàng)公式an=n+115 .數(shù)歹U弧滿足：&=2,a=1-(n,=2,34若數(shù)列Q有一個(gè)形如an=Asin(8n+知+B的通項(xiàng)公式，其中A

7、、B、紈中均為實(shí)數(shù)，且A0,幻0,忸2,則an.（只要寫出一個(gè)通項(xiàng)公式即可）14.4s所寫n-3)+-21 .1斛：a1=2,a2=，a3=1,a5=，a6=1''故周期為32 214.數(shù)列an滿足a=2,an+=pan+2n(nwN*),其中p為常數(shù).若存在實(shí)數(shù)p,使得數(shù)列4為等差數(shù)列或等比數(shù)列，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=14.2n【解析】本題是等差等比數(shù)列的綜合問題，可采用特殊化的方法來解決。由題意可知a2=2p+2,a3=p（2p+2）+4。若心口是等差數(shù)列，貝U2a2=a+a3,得p2-p+1=0;若an是等比數(shù)列,則（2p+2）2=2p（2p+2）+4,解得p=2.故

8、an=2n.點(diǎn)評(píng)：對(duì)于客觀題可以采用特殊化的方法，避免復(fù)雜的計(jì)算。求前n項(xiàng)和Sn16.設(shè)an是等比數(shù)列，公比q = J2 , Sn為an的前n項(xiàng)和。記Tn =17&一 S2nan 1,n= N .設(shè) Tn0 為數(shù)列Tn的最大項(xiàng)，則no=【答案】4【解析】本題主要考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)及平均值不等式的應(yīng)用，屬于中等題。17ai1-(2門ai1-(、2)2nT=1-2_1-、21 - .2na(2)n二叱2)n-因?yàn)椋ㄊ﹏+7=-=8,當(dāng)且僅當(dāng)（J2）n=4,即n=4時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)n°=4時(shí)Tn有最大值。（n【溫馨提示】本題的實(shí)質(zhì)是求Tn取得最大值時(shí)的n值，求解時(shí)

9、為便于運(yùn)算可以對(duì)（J2）n進(jìn)行換元，分子、分母都有變量的情況下通?？梢圆捎梅蛛x變量的方法求解17.設(shè)f(n)=2+24+27+210+.+23n枇(nWN),貝Uf(n)等于18.在等差數(shù)列an中,201119 .在數(shù)列an 中,若對(duì)任意的n均有an + an書+ an卡為定值（nw N*）,且a7 = 2, a9 =3, a98 = 4 ,則此數(shù)列an的前100項(xiàng)的和Sioo.299解：此數(shù)列只有三個(gè)數(shù):2; 9; 3循環(huán)20.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn =12n -n2 ,求數(shù)列| an |的前n項(xiàng)和Tn （答:Tn-2*12n -n (n <6,ne N )-2_ 一 一一* 一n

10、 -12n 72(n 6,n N )已知 an 是等差Tn丑11 +|a21訓(xùn)+| an | （nw N沖）.某學(xué)生設(shè)計(jì)了一個(gè)求 Tn的部分算法流程圖（如圖），圖中空白處理框中是用 n的表達(dá)式對(duì)Tn賦值,則空白處理框中應(yīng)填入：Tn 210. n -9n +40a a。a21 .設(shè)an是等差數(shù)列，求證：以bn=2n nw設(shè)N*為通（第10題圖）項(xiàng)公式的數(shù)列bn為等差數(shù)列。22 .等差數(shù)列an中，Sn是其前n項(xiàng)和，a1=2011,S2012S20102012 2010=2 ,則S2011的值為13. 2011;23 .已知a,b,c（a <b <c）成等差數(shù)列，將其中的兩個(gè)數(shù)交換,得到

11、的三數(shù)依次成等比數(shù)列， 則22的值為b214. 2024 .設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S2n =3（a1 +a3中+ a2n),a1a2a3 =8 則 an分析：本題要求等比數(shù)列 Qn 的通項(xiàng)an,可以先由a1a2a3=8求出a2,再利用右a1005+a1006+a1007=3,則該數(shù)列的前2011項(xiàng)的和為S2n=3（a1+a3+十a(chǎn)2n）求出公比q.思路正確，問題在怎樣求出q?如果將S2n=3（ai+a3+a2n）的兩邊分別求和，得到q的方程，再解方程求出q,顯然計(jì)算量大，容易出錯(cuò).如果仔細(xì)觀察命題，可以發(fā)現(xiàn)S2n是等比數(shù)列前2n項(xiàng)的和，S2n=（a+a3+a2n）+（a2+a4+a

12、2n）其中ai+a3+a2n是前2n項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)的和，a2+a4+a2n是前2n項(xiàng)中所有偶數(shù)項(xiàng)的和，從整體考慮，可以發(fā)現(xiàn)在等比數(shù)列中a2+a4+a2n=（a+a3+a2n）q,利用這個(gè)關(guān)系可使結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，便于求解解：由、n）是等比數(shù)列，得aia3=a2,因?yàn)閍1a2a3=8,所以a2=2.由S2n=3（a+a3+a2ni,得a2+a4+a2n=2（ai+a3+a2n），因?yàn)閚a2+a4+a2n=（a+a3+a?n二）q,所以q=2.an=225 .若數(shù)列匕口滿足：對(duì)任意的nWN,只有有限個(gè)正整數(shù)m使得am<n成立，記這樣的m的個(gè)數(shù)為（an）”,則得到一個(gè)新數(shù)列（an）*.例如，若數(shù)列QJ

13、是1,2,3，n,，則數(shù)列（an）”是0,1,2,，n-1,.已知對(duì)任意的nwN*,an=n2,則（a5）*=,（an）*f=.【答案】2,產(chǎn)*【解析】因?yàn)?lt;5,而%=所以tn=l/所以（牝=2*因?yàn)?=0.（W=L（Oj）*=二L3=J=24的）72.”（色J，=3<心）=%（可。*=3.所以（/）=i,=4,外力=1&芋猜想（4）*）=/+1【命題意圖】本題以數(shù)列為背景，通過新定義考察學(xué)生的自學(xué)自汕、創(chuàng)新能力、探究能力，屬難題.一26 .已知數(shù)列an滿足：ai=1,a2=x(xwN*)，4卡=,若前2010項(xiàng)中恰好含有666項(xiàng)為0,則x的值為14、8或9解：必然存在一個(gè)

14、nowN*,當(dāng)n之no時(shí)，數(shù)歹Uan為0,1,1,0,1,10,1,1,0,1,1，右 a2010=0, a2009則 a2010_665>3 = a15 = 0 ,a2 = 9 = x ；修 a2010右a2010=1啟2009=1,a2008=0,a2=1,不成立；=1,a2009=0,a2009_665於aa14=0>a2=8=x;27 .已知數(shù)列an滿足a1=33,an.an=2n,則免的最小值為n一21【答案】212【命題立意】本題考查了遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解以及構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,查了同學(xué)們綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。所以包工33 n -1n n33設(shè) f

15、(n) = + n1,令 f(n) = n【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=21+2+(n-1)+33=33+n2-nW3+1>0,則f(n)在(J33,y)上是單調(diào)遞增，在(0,733)n上是遞減的，因?yàn)閚CN+,所以當(dāng)n=5或6時(shí)f(n)有最小值。a553a66321.ana621又因?yàn)?所以，的取小值為=55662n62100，,28.數(shù)列an滿足下列條件：a1=1,且對(duì)于任意的正整數(shù)n，恒有a2n=an+n,則a2的值為c495014.2x29.設(shè)函數(shù)f(x)=x(1)+，A0為坐標(biāo)原點(diǎn)，An為函數(shù)y=f(x)圖象上橫坐標(biāo)為n(neN

16、)2x1nn的點(diǎn)，向量an=EAkAk,向量i=(1,0),設(shè)a為向量an與向量i的夾角，則滿足工tan4<-3kakW3的最大整數(shù)n是13.3t -k -1、，L單調(diào)遞增,、n1 c 12.一、4'、AkjAkk 4二 n,n,2，又呼n 12-1n = 1,2,3 時(shí) 2 I21 - ,是關(guān)于n的單調(diào)遞減函數(shù)，5 .一 一、<5 ,滿足題意，當(dāng)n =435 一， ,15-,從而當(dāng)n24時(shí)2 n5,一一，一5的最大整數(shù)n是3.330.設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列,|q |>1,令 bn = an +1(n = 1,2,|H)若數(shù)列 (bn有連續(xù)四項(xiàng)在集合；-53,-2

17、3,19,37,82)中，則6q【解析】將各數(shù)按照絕對(duì)值從小到大排列，各數(shù)減1,觀察即可得解31.設(shè)首項(xiàng)不為零的等差數(shù)列an前n項(xiàng)之和是2Sn ,右不等式anS 2 - -n-2之Ka1對(duì)任息an和正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)人的最大值為112.一5解：由不等式得an2 +；n(a +a2)2一 22*a12- - 一 , a1245 an1 <5由于a1#0,所以九W943)2a132.在數(shù)列4中，a=11,且3%+=34-2(n=N*),則該數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)乘積的最小值33一從等腰直角三角形紙片ABC上，按圖示方式剪下兩個(gè)正方形，其中BC=2,/A=90°,則這兩個(gè)正方形的面積之和

18、的最小值為13.634、已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上恒不為0的單調(diào)函數(shù)，對(duì)任意的f(x)f(y)=f(x+y)成立.若數(shù)列an的n項(xiàng)和為Sn,且滿足a1=f(0),1 .一f(%+)=-n(nwN沖)，則Sn=.f3n1-2anon214、Sn=5父2n+12335 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若(a21)+2010(a21)=1,3(a2009-1)3十2010(a20091)=1,則下列四個(gè)命題中真命題的序號(hào)為.S2009=2009；S2010=2010；a2009<a2；S2009136.數(shù)列an滿足a=1,an*、1+4=1(nwN拓)，記Sn=a2+a；+a2,若；

19、anS2n+-Sn<m對(duì)nWN”恒成立，則正整數(shù)m的最小值為3018.1037、等比數(shù)列QJ中，a=芯，a=3石,函數(shù)f(x)=x(xa1)(xa2)lll(xa6)，則f0=38、設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若m=n,Sm=m2,Sn=n2,則Sm而=、解答題1、已知函數(shù)f(x)=log3(ax+b)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)和B(5,2),記an=3f(n),nwN(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;、一a(2)設(shè)bn=U,Tn="+b2+bn，右<m(m=Z),求m的最小值；2n(3)求使不等式(1+工)(1+1)(1+工)之py2n+1對(duì)一切MN*均成立的最大實(shí)數(shù)p.a

20、1a2a。1og3(2a+b)=1'a=2解：(1)由題意得，解得3,Jog3(5a+b)=2、b=-1.f(x)-log3(2x-1)an=3l0g3(2n4)=2n-1,nN(2)由(1)得 bn2n -12n ，T_!2A-2n-32n-1n-2122232n2n113lH2n-52n-32n-1Tn=-2-3HInr-222222小令陽1122,222n-1-得_t(X ju (21222n 22門)2n -12n 1312n-1n 1n： ：11 2n -12n 3, Tn =3 -2n -2 = 3一-2'n-，設(shè) f (n) =2n-3,n N*,則由 Wn+D2

21、f (n)2n 5-2-2n 5111 1=+ < + < 12n 3 2(2n 3)2 2n 3 2 52n2n2122232nl2n2n12n3付f(n)=n,n=N隨n的增大而減小，當(dāng)nT"時(shí)，Tnt3又Tn<m(mwZ)恒成立，二mm=3(3)由題意得p<1(1+)(1+2)(1+工)對(duì)nWN*恒成立2n1a1a2an、_1111、記F(n)=(1+)(1+)(1+一),則2n1aa?an11111一八一寸(1-)(1-)(1-)(1)八F(n1)2n3a1a2anan1_2n2_2(n1)F(n)1(11)(1±)(1±)(2n1

22、)(2n3)4(n1)2-12n1a1a2an2(n1)=12(n1):F(n)a0,，F(xiàn)(n+1)>F(n),即F(n)是隨n的增大而增大2-22一F(n)的最小值為F(1)="3,二p<-<3,即Pmax=Q.3332、設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)一切nwN*,點(diǎn)Sn.在函數(shù)f(x)=x+_an的圖象n2x上.(i)求a1，a2,a3的值，猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；(n)將數(shù)列an依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6),(a7,%,a9,a1o);(an),(a2,a13),(現(xiàn)4,a15,a16)，(

23、a”,a18,a19,a?。)；(a2i),，分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為bn,求b5+b100的值；an 32a(m)設(shè)An為數(shù)列(an-1'的前n項(xiàng)積，是否存在實(shí)數(shù)a,使得不等式人向書f(a)an'n對(duì)一切nwN都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：(I)因?yàn)辄c(diǎn)1n,Sn-低函數(shù)f(x)=x+a的圖象上，n2x故Sn=n+曳，所以Sn=n2+1an.n2n21令n=1,付現(xiàn)=1+現(xiàn)，所以a1=2；21令n=2,付a1+a2=4+a2,所以a2=4；21一一令n=3,付a,+22+%=9+%，所以a3=6.2由此

24、猜想：an=2n.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： 當(dāng)n=1時(shí)，有上面的求解知，猜想成立. 假設(shè)n=k(k±1)時(shí)猜想成立，即ak=2k成立，21則當(dāng)n=k+1時(shí)，注意到Sn=n2+1an(nWN),一一21-21故&噂=(k+1)+2ak+，Sk=k+2ak.11兩式相減，得ak+=2k+1+-ak+ak,所以ak4=4k+2ak.22由歸納假設(shè)得，ak=2k,故ak+=4k+2ak=4k+22k=2(k+1).這說明n=k+1時(shí)，猜想也成立.t，一.tt.i*由知，對(duì)一切nuN,an=2n成立.(n)因?yàn)閍n=2n(nwn),所以數(shù)列Qn依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為(2)

25、,學(xué)習(xí)好資料歡迎下載(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20);(22),(24,26),(28,30,32),(34,36,38,40);(42),.每一次循環(huán)記為一組.由于每一個(gè)循環(huán)含有4個(gè)括號(hào)，故Doo是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和.由分組規(guī)律知，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第1個(gè)數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20.同理，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第2個(gè)數(shù)、所有第3個(gè)數(shù)、所有第4個(gè)數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差均為20.故各組第4個(gè)括號(hào)中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80.注意到第一組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和是68,所以b100=68+24乂80=1988.又b5=22,

26、所以b5+匕00=2010.a -1(m)因?yàn)閍- an.1,1=1 一一，故 An = 1ana1a22an所以 A. , an 1 ;1-1a11a2 1 ' UT HI 1 1 J2n +1 - an J1-1a1設(shè) g(n) = 1M'1an J12 1r一* .V2n+1 <a-對(duì)一切nWN都成立.2a%1a2III 11一 j2n+1 ，則只而g(n)max <a an )32a即可.Pan3ana33又f(a)a=a2a2a2a2a-a32a故人Jan+1<f(a)-n：一對(duì)一切n匚N都成立，就是由于g(n+1)_'；_1J2n+32n+

27、1也n+314n2+8n+3<1g(n)max = g(1) = fg(n)、an.JJ2n+12n+2,2n+1J4n2+8n+4所以g(n+1)<g(n),故g(n)是單調(diào)遞減，于是人,33(a-：；3)(2a.3)3、一令<a-,即>0,解得<a<0,或-aJ3.22aa2tt、r、At.>tt-，A»，.r、.rr.一*綜上所述，使得所給不等式對(duì)一切n=N都成立白實(shí)數(shù)a存在，a的取值范圍是(-,0)U(6f23、已知點(diǎn)列An(Xn，0)滿足：A0AnAAn+=a1，其中nN,又已知x0=1,X1=1,a1.學(xué)習(xí)好資料歡迎下載(1)若x

28、n41=f(xn。WN*),求f(x)的表達(dá)式；(2)已知點(diǎn)B(點(diǎn)0),記an=BAn(nwN*),且an書<an成立，試求a的取值范圍;設(shè)(2)中的數(shù)列%的前n項(xiàng)和為Sn,試求：Sn婦二。2-a解：(1)A0(_1,0),A(1,0),AAAAn書=(xn+1)(xn¥1)，x+axaf(x)=x1xn -v'a .(2) BAn=(xn4a,0),an=xi7a=f(xn)-axn+a:(wa1)I,l一，八va=；1xn%1a<(%a1),xnwa=(、a1)anxn+1|xn+1，要使an由<an成立，只要ja1<1,即1<a£

29、4aw(1,4為所求.(3) =an由<(VO'-1)xn-Ma|<(Ja-1)2，xn4-Ja<,"<(Va-1)n兇一甸=(-1)n中,an：(.a-1)nSn=4a2-an<(a-1)(.a-1)2(a-1)n=(.a-1)1-(a-1)n12-a.-1<a<4,0<Va-11,0<(Va-1)nW1學(xué)習(xí)好資料歡迎下載4、已知f(x)在(1,1)上有定義，f(l)=i且滿足x,yw(1,1)時(shí)有f(x)_f(y)=f(2二X，21-xy'若數(shù)列4滿足x1=1,4平=30。21xn(1)求f(0)的值，并證明f

30、(x)在(1,1)上為奇函數(shù)；(2)探索f(%書)與f(%)的關(guān)系式，并求f(xn)的表達(dá)式；(3)是否存在自然數(shù)m,使得對(duì)于任意的nwN*,有1/141力“a1.m-8恒成立?若存在，求出m的最小值，若不存在，f(x1)f(x2)f(x3)111f(xn)"4請(qǐng)說明理由。(1)令x=y=f(0)=0,0一v令x=0=f(0)-f(y)=fQc)=f(y)1-0y.f(-y)=-f(y),f(x)在(-11)上為奇函數(shù).(2)'.'f(xn+)=f(告)=f廣一(H)=f(xn)f(xn)=2f(xn)1 xn1-xn(-xn)j.Ux生=2(常數(shù))J.f(xn)為等

31、比數(shù)列，f(xn)一1又f(X)=f()=1,q=22.f(xn)=2n，(3)假使存在自然數(shù)m滿足題設(shè)，則nun-=11d2-iinii(1)n±f(xjf(x2)gf(xn)222=2-(L)"<m=8對(duì)于任意的nEN*成立，2 48-m>16-對(duì)于任息的nuN*成立,m>16即m的最小值為16.5、數(shù)列(an滿足31=-,an噂=-1一.22-3n(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；n2(n)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,證明Sn<n-ln(-).、.1a-1解：(I)萬法一：an+-1=1=-,2-an2-an所以=n=1an1-1an-1an-11一

32、、，一.、，.所以1是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列.an-1an1所以=-n-1,所以an-1方法二：a24, , na4=5'猜測(cè)an二為下用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.1當(dāng)n=1時(shí)，由題目已知可知Q=萬,命題成立;k假設(shè)當(dāng)n=k(k21,kwN)時(shí)成立，即ak=,那么k111當(dāng)n=k+1,ak+=k12-ak2_A_k1也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.綜上所述，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(n)設(shè)F(x)=ln(x+1)x(x>0)則 F (x)=：0(x0)函數(shù)F(x)為(0,收)上的減函數(shù)，所以F(x)<F(0)=0,即ln(x+1)<x(x>0)11,1:二1

33、一ln(1),n1n1：二17n(n2)ln(n1),Sn：二(1ln31n2)(1ln4In3)11ln(n2)ln(n1)n2、Snn-ln()26、已知二次函數(shù)f(x)=x2ax+a(xwR)同時(shí)滿足：不等式f(x)w0的解集有且只有的前個(gè)元素；在定義域內(nèi)存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)af(x2)成立，設(shè)數(shù)列ann項(xiàng)和Sn=f(n).(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;(2)設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列bn中，所有?t足b-bi4<0的整數(shù)i的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列bnan(3)設(shè)數(shù)列 cn滿足：cn =£的變號(hào)數(shù)，令bn=1一(nwN"),求數(shù)列bn的變號(hào)數(shù)

34、;an1,試探允數(shù)列cn是否存在最小項(xiàng)？若存在,i 1 ai ai 1求出該項(xiàng)，若不存在，說明理由.解(1).不等式f(x)<0的解集有且只有一個(gè)元素=a24a=0解得a=0或a=4當(dāng)a=0時(shí)函數(shù)f(x)=x2在(0,)遞增，不滿足條件當(dāng)a=4時(shí)函數(shù)f(x)=x24x+4在(0,2)上遞減，滿足條件綜上得a=4,即f(x)=x24x+4.22(2)由(1)知Sn=n-4n4=(n-2)當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1當(dāng)n>2時(shí)an=Sn-SnJ1=(n-2)2(n-3)2=2n5 an =1,(n=1)2n -5.(n -2)-3,(n=1)由題設(shè)可得bn二41-.(n-2),2n-5-

35、b1=-3<0,b2=1+4=5>0,b3=3<0,i=1,i=2都滿足bbi由c0.當(dāng)n>3時(shí)，bnbn=_=8>02n-52n-3(2n-5)(2n-3)即當(dāng)n>3時(shí)，數(shù)列bn遞增，,1八一4-b4=一一<0,由1>0=n之5,可知i=4滿足bibi由<032n-5，數(shù)列bn的變號(hào)數(shù)為3，一、n11111,一,1(3)-cn=£=+川+,由(2)可得:Taia13132a2a3a3a4an11111.1一一1(一1)/一3)(3一5)山(212n -3)3/遁。、1_c1“1、4-3n_-2(2n-3)"93-2+(

36、1)=一一2-二12(2n-3)當(dāng)n *2時(shí)數(shù)列 cn遞增，當(dāng)n之2時(shí),C2 = -2最小,又 G = -1 AC2 ,數(shù)列 cn存在最小項(xiàng)c2 =-2n 1或; 5 =£ = L+L+L+川i 1 4 ai 1 a1a2 a2a3 aaa4+一，由(2 )anan 1可得:111 1.= -1+(-1)V1-3)+(3-5)+lll+(12n -512n -3) =1-2 -(1-214-3n)二2n -32n -322n-32n-32n-32對(duì)于函數(shù)y=二=-3(3-2(4-明1,02x-3(2x-3)2(2x-3)23.函數(shù)y=1_2x在(萬，依)上為增函數(shù)，當(dāng)n之2時(shí)數(shù)列cn

37、遞增,，當(dāng)n之2時(shí)，C2=2最小，又C1=一1>c2,，數(shù)列cn存在最小項(xiàng)C2=-27、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn =a -1(an -1) (a 為常數(shù)，且 a#0,a¥1).(I)求an的通項(xiàng)公式;(n)設(shè)bn=2Sn+1,若數(shù)列bn為等比數(shù)列，求a的值;an(出)在滿足條件(n)的情形下，設(shè)cn數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn.1an1"an11求證：Tn>2n.3解：(I)TS1=a-(a11),，a1=a,a1當(dāng)“/時(shí),w-aL=a,即an是等比數(shù)列.an=aan'=an；an12 -(an -1)(n)由(i)知，bn =a 1a則有 b2

38、 =b1b3,而 b1 =3,b2 = a(3a 1)an 2a,若bn為等比數(shù)列, an(a -1)2-3a 2a 2. 3a 23a2 2a 2故()2 =32，解得aa1a 二一3再將a所以a1C=-代入得bn =3n成立, 31 =-.3(III )證明：由(n)知 an1 n -=()n ,所以3cn11 (1)n311-(1)n133n 3n 13n 13n 1 -13n 1-13+-3n 11=2 _(n-31,11由:-, 3n13n所以cn =2 -(n 1 -1 13n 1 -1)13n 1 -11二11 13n 11+ -r3n 1 -1/曰1>1 得3n 13n

39、13n+13可1)>2一(?一尹),3n1 -1 ： 3n1111.1從而Gc2川 cn2-(3-32)2 -與 -/皿2 -陛1111,1=2n -(- - -) (23) '' ( n3 3232 333nrr1即 Tn >2n-.3)=2n-q-B2n 二 3 33_3n7) 318、已知 f (x)=-d4 T數(shù)列an的前 x1n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)Pn(an,-)在曲線y=f(x)上an 1_ *(n = N )且 a1 =1, an >0.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為且Tn滿足Tn 12 an=?+16n2 8n3,設(shè)定b1的值使得數(shù)

40、列bn an 1是等差數(shù)列；（3）求證：SnJJ4n:11,nwN*.2解：一_L=f(an)=一%十二且an>0an1an12 an 11=4(nN*)an11、,數(shù)列y是等差數(shù)列，首項(xiàng)2=1公差d=4anan=1+4(n-1)an2=-1an24n-31-an>°an=J”N*)an-3(2)由an=,1-,=16n2-8n-3,：4n-3an得(4n-3)Tn1=(4n1)(4n-3)(4n1)T"-Tn=1n-=T1+n-14n14n-34n-3Tn=(4n-3)(T1n-1)若bn為等差數(shù)列,則T1=0,T=1即b1=1bn=8n-7nN*an1,4n

41、 -3224n1-4n-3=，-A-,-=n2.4n-34n-3>4n12.Sn=&a2an1(-1)(9-<5)2114+(.4n1-,4n-3)=2、.4n-1-1.-J4n1=1n三N*9、已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,1,且同時(shí)滿足：對(duì)任意xw0,1,總有f(x)22,f(1)=3；若x1至0,X2之0且x1+X2E1,則有f(X+X2)>f(x1)十f(X2)-2.(1)求f(0)的值；(2)試求f(x)的最大值；1(3)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a1=1,Sn=-(an-3)nWN*,3-1求證：f(a1)f。)"f(an)-2n：-y.

42、223n解：(1)令X=x2=0,則f(0)W2,又由題意，有f(0)之2.f(0)=2(2)任取且x1<x2,貝U0<x2x1<1,f(x2-x1)>2f(x2)=f(x2-x1x1)_f(x2-x1)f(x1)-2_f(x1)二f(x)的最大值為f(1)=31 1,由a1=1,Sn=-一(an-3)nN*=Sn=-一-3)n二22 21,c、又由an=Sn-Sn3(n-2)=an=an(n-2)311.數(shù)列an為首項(xiàng)為1,公比為一的等比數(shù)列，二an=一口33n31當(dāng)n=1時(shí)，f(a1)=f(1)=3=+2二，不等式成立，223，.一1當(dāng)n=2時(shí)，f(a2)=f(-)

43、31111111一，1、.f(1)=f(-+-+-)f(-)+f(-+o)-23f(-)-4,二f仁)33333333，f(a1)+f(a2)=f(1)+f(-)<3+-=且+2父2匚不等式成立332232假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立。即f(a-)f(a2)f(ak)<32k223k則當(dāng)n=k+1時(shí)，11111f(ak1)=f(-)=f(-rq尸)-3f(用)-43333311141114f(正):f(R：”正)-小亨):k：1,2,3,4,33333333111411444.f(”3f(F)3一川亍叼尸“仁3721_2223k3k43k31131f(a-)f(a2)f(ak1)-2k

44、-22(k1)-k2233223即n=k時(shí)，不等式成立故XnwN*,原不等式成立。10、已知函數(shù)y=1的圖象按向量m=（2,1）平移后便得到函數(shù)f（x）的圖象，數(shù)列an滿x2*、足an=f（an）（n>2,nWN）.(I)若a13,數(shù)列bn滿足bn =5an 1,求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列;(H)若a13-，數(shù)列an中否存在取大項(xiàng)與取小項(xiàng)，右存在，求出取大項(xiàng)與取小項(xiàng)，右 5不存在，說明理由;（出）若1 <a1 <2,試證明:1 < an 1 :二 an解：f(x)=1 1一+1=2-,貝ux -2 2 xa =2-nand*.(n>2, nwN) . bnT= .

45、an -12 一一 -1an Ian 11 bn -bn 1 =一an A _ 1 an A -1ai , bnan二一1*、=1 (n>2, n=N)，數(shù)列bn是等差數(shù)列.（II）由（I）知，數(shù)列 b是等差數(shù)列，首項(xiàng)b1 =a1 - 1，57則其通項(xiàng)公式bn=-一+(n-1)1=n-一,22由bn =得an Tan1=1 =1bnL-,故7 n2an =132n -7構(gòu)造函數(shù)y =1 二一，則 y 2x -7(2x-7)2<0.27、7函數(shù)y=1+在區(qū)間（-°°,）（一，+叼上為減函數(shù).2x-722,.72一，7.當(dāng)x<時(shí)，y=+-<1,且在（應(yīng),一）上遞減，故當(dāng)n=3時(shí)，bn取最小值b3=-1；22x-72.72一，7當(dāng)x>時(shí)，yM+->1,且在（鼻,也）上遞減，故當(dāng)n=4時(shí)，bn取最大值b4=3.故存在.（出）先用數(shù)學(xué)歸納法證明1<an<2,再證明an+<an.當(dāng)n=1時(shí)，1<a<2成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即1<ak<2,一一，1113則當(dāng)n=k+1時(shí)，<一父1,ak+=2(1-),貝U