數(shù)學實驗教程實驗9(級數(shù))

1、實驗9級數(shù)實驗目的1 .理解哥級數(shù)的概念，并會用軟件將函數(shù)展開成哥級數(shù)2 .理解Fourier級數(shù)的概念，并將函數(shù)展開成Fourier級數(shù)實驗準備1 .數(shù)項級數(shù)、哥級數(shù)的收斂性判斷;2 .哥級數(shù)的展開、級數(shù)求和;3 .Fourier級數(shù)的概念、展開方法;實驗內(nèi)容1 .函數(shù)的哥級數(shù)展開2 .收斂級數(shù)的和3 .Fourier級數(shù)展開軟件命令表9-1Matlab級數(shù)操作命令函數(shù)名稱調(diào)用格式說明symssyms變量名1,變量名2,定義符號變量symsym(x,)定義符號變量taylortaylor()哥級數(shù)展開symsumsymsum(s,v,a,b)級數(shù)求和subssubs(s,old,new)替換

2、求值plotplot(x1,y1,options,x2,y2,options,)繪制散點圖實驗示例【例9.1級數(shù)觀察觀察下列級數(shù)的部分和序列的變化趨勢，并求和。2.n 1工（-1）n。Step1 :計算部分和;Step2 :描點觀察。clcclearclfsum(1/k)圖9-1部分和序列收斂性觀察forn=1:100fork=1:np1(k)=1/k;p2(k)=(-1)Ak/k;ends1(n尸sum(p1);s2(n尸sum(p2);endplot(s1)plot(s2)symsi;symsum(1/i,i,1,inf)symsum(-1)Ai/i,i,l,inf)【輸出】:級數(shù)(1)發(fā)

3、散；調(diào)和級數(shù)(2)收斂，收斂于ln2?！纠?.2調(diào)和級數(shù)實驗一歐拉常數(shù)、一n1記H(n)=,C(n)=H(n)-lnn,研究C(n)的極限值是否存在。i1i【程序】：洞形觀察h(1)=1;fori=2:10A5h(i)=h(i-1)+double(1/i);c(i)=h(i)-log(i);endplot(c)%求極限symsknlimit(symsum(1/k,k,1,n)-log(n),n,inf)【例9.3函數(shù)的哥級數(shù)展開將下列函數(shù)在指定點處展開成哥級數(shù)，并計算近似值，至少保留三位小數(shù)。1. -f(x)=3/1+x,X0=1,我；2. 一、1X/13. f(x)=arctan,x0=1,

4、arctan一；1x24. f(x)=sin(x+1),x0=0,sin1?！静襟E】:Step1：利用函數(shù)taylor(f,n,v,a)將函數(shù)f(x)在指定點處展開;Step2：利用函數(shù)subs(s)求出近似值?！据敵觥浚郝??！纠?.4級數(shù)求和求下列哥級數(shù)的和函數(shù)。二 x2n 11. Z (積分)；n 二 2n 1n - nxn 4 n(n 1)(微分)oO;3.工 n(n + 1)xn (積分)。n 1Stepl:定義通項f(n);Step2：利用symsum(f,n,1,inf)求級數(shù)的和。【程序】:clearclcsyms n x;f1=xA(2*n-1)/(2*n-1);【輸出】:s1

5、=symsum(f1,n,1,inf);f2=xAn/(n*(n+1);s2=symsum(f2,n,1,inf);f3=n*(n+1)*xAn;s3=symsum(f3,n,1,inf);s1=1/2*log(1+x)/(1-x)s2=1-(x-1)/x*log(1-x)s3=-2*x/(x-1)A3【例9.5Fourier級數(shù)展開及其和函數(shù)的逼近設(shè)f(x)是以為周期，振幅為1的方波函數(shù)，它在-%n上的表達式為11,一二三x:0f(x)=1,0：x_二試將f(x)展開成Fourier級數(shù)，并畫出圖形觀察該函數(shù)的部分和逼近f(x)的情形?！驹怼浚阂詾橹芷诘暮瘮?shù)f(x)的Fourier級數(shù)為f

6、(x):曳+(ancosn-x+bnsinn-x),2ndnlnl.一1.n二x一一一11一.n二x.一其中an=1(f(x)cosdx,n=0,1,2,，bnJf(x)sindx,n=1,2；【步驟】:Step1:求出f(x)的Fourier系數(shù)；由于函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，由Fourier系數(shù)的公式知道，an=0,因此它的Fourier級數(shù)2(1-(-1)n),n =1,2,只含有正弦項，又因為f(x)sin(nx)為偶函數(shù)，故級數(shù)中的系數(shù).2二,bn=f(x)sin(nx)dx三0Step2:繪制逼近圖形【程序】：參見Exm09Demo05.m【輸出】：如下圖。0 n=5 n=92005級數(shù)逼近圖 9-2 Fourier實驗練習1.求下列級數(shù)的和:(1):(-1尸x2nnmn(2n-1)(提示：微分，2xarctanxln(1+x2),|x|M1)；(2)Z(2n1)x2T(提示：積分,nd2n2x2(2-x2)2,|x|wV2)；(3)Z2n(提示：考慮哥級數(shù)z,qn,n4。ndnnx3)。22.求下列函數(shù)在指定點處的哥級數(shù)展開式:(1) f(x)=.1一nx(x 3),x0=1;參考：一乙(-1)(13n=0(2)f(x)=gtcostdt,X0=0；參考：nz0(