數(shù)學(xué)江蘇專用新設(shè)計(jì)大一輪講義+習(xí)題：第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第5講

1、第5講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題回顧教夯實(shí)基礎(chǔ)I知識(shí)衍化你驗(yàn)I知識(shí)梳理1 .三次函數(shù)的零點(diǎn)分布三次函數(shù)在存在兩個(gè)極值點(diǎn)的情況下，由于當(dāng)X-oo時(shí)，函數(shù)值也趨向oo,只要按照極值與零的大小關(guān)系確定其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可.存在兩個(gè)極值點(diǎn)X1,X2且X1<X2的函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(aw0)的零點(diǎn)分布情況如下：a的符號(hào)零點(diǎn)個(gè)數(shù)充要條件a>0(f(x1)為極大值,f(x2)為極小值)一個(gè)f(x1)<0或f(x2)>0兩個(gè)f(x1)=0或f(x2)=0三個(gè)f(x1)>0且f(x2)<0a<0(f(x1)為極小值,f(x2)為極大值)一個(gè)f(x2)

2、<0或f(x1)>0兩個(gè)f(x1)=0或f(x2)=0三個(gè)f(x1)<0且f(x2)>02 .(1)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題或方程根問(wèn)題的思路和方法研究函數(shù)圖象的交點(diǎn)、方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)，歸根到底還是研究函數(shù)的圖象，如單調(diào)性、值域、與x軸的交點(diǎn)等，其常用解法如下：轉(zhuǎn)化為形如f(x1)f(x2)<0的不等式：若y=f(x)滿足f(a)f(b)<0,則f(x)在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域：零點(diǎn)及兩函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題即是方程g(x)=0有解問(wèn)題，將方程分離參數(shù)后(a=f(x)轉(zhuǎn)化為求y=f(x)的值域問(wèn)題；數(shù)形結(jié)合：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=f(x)與y=g(x)

3、的交點(diǎn)問(wèn)題，利用函數(shù)圖象位置關(guān)系解決問(wèn)題.(2)研究?jī)蓷l曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的基本方法數(shù)形結(jié)合法，通過(guò)畫出兩個(gè)函數(shù)圖象，研究圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出答案.函數(shù)與方程法，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)得出兩曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù).診斷自測(cè)1.方程x36x2+9x10=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為.解析設(shè)f(x)=x36x2+9x10,fx)=3x212x+9=3(x1)(x3),由此可知函數(shù)的極大值為f(1)=6<0,極小值為f(3)=10<0,所以方程x3-6x2+9x10=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為1.答案12.已知函數(shù)f(x)=ax33x2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x°,且x°>0,則實(shí)數(shù)a的

4、取值范圍是.解析f(x)有唯一正零點(diǎn)x0,等價(jià)于方程ax33x2+1=0有唯一正根xO,即a=§x1，八一，一一了有唯一正根x0.x313(1-x)(1+x)令g(x)=1g'x)=x4,xxxg(x)在(8,1)上遞減，(1,0)上遞增，(0,1)上遞增，(1,+8)上遞減.又g(1)=2,g(1)=2,且當(dāng)x<1時(shí)，g(x)<0,當(dāng)x>1時(shí)，g(x)>0,.g(x)的大致圖象如圖：直線y=a與y=g(x)有唯一交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)x0>0,只需a<g(1)=2.答案(一?-2)3.已知函數(shù)f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a1

5、,b*1).、門1(1)設(shè)a=2,b=2.求方程f(x)=2的根；若對(duì)任意xCR,不等式f(2x)mf(x)6包成立，求實(shí)數(shù)m的最大值；(2)若0<a<1,b>1,函數(shù)g(x)=f(x)2有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求ab的值.1x解(1)由已知可得2x+i-J=2,一.1即2x+2.(2x)222x+1=0,解得2x=1，.二x=0.f(x)=2x+g"2x+2x,令t=2x+2x,則t>2.又f(2x)=22x+22x=t2_2,故f(2x)>mf(x)6可化為t2-2>mt6,4一一4一4即m<t+p又t>2,t+->2a/tt=4.

6、(當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)等號(hào)成立).4-m&t+7L=4.tmin即m的最大值為4.(2)/0<a<i,b>i,ina<0,inb>0.g(x)=f(x)2=ax+bx2.g'x)=axlna+bxlnb且g'x)為單調(diào)遞增，值域?yàn)镽的函數(shù). .g'x)一定存在唯一的變號(hào)零點(diǎn). .g(x)為先減后增且有唯一極值點(diǎn).由題意g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).則g(x)的極值一定為0,而g(0)=a0+b02=0,故極值點(diǎn)為0. g'(0)0,即Ina+lnb=0.；ab=1.I考點(diǎn)聚焦突破I分類講練簫睽例求法，考點(diǎn)一利用圖象研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

7、【例1】(2018蘇州期末)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+3x+3aex(a為非零實(shí)數(shù))，若f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為.2,x+3x+3解析令f(x)=0,可得"x=a,e(2x+ 3) ex- ex(x2 + 3x+3)x (x+ 1)/ x、 2(e)2x+3x+3令g(x)=7，則g'x)=e令g'xl>0,可得xC(1,0),令g'x)<0,可得xC(oo,1)u(0,+00),所以g(x)在(1,0)上單調(diào)遞增，在(8,1)和(0,+oo)上單調(diào)遞減.由題意知函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=a有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合y=g(x)&a

8、mp;y=a的圖象可得aC(0,e)U(3,+卻.答案(0,e)U(3,+oo)規(guī)律方法含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)，若能分離參數(shù)，可將參數(shù)分離出來(lái)，用含x的函數(shù)表示參數(shù)，作出該函數(shù)圖象，根據(jù)圖象特征求出參數(shù)的范圍.【訓(xùn)練11已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,4,部分對(duì)應(yīng)值如下表:x-10234f(x)12020f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'x)的圖象如圖所示.當(dāng)1<a<2時(shí)，函數(shù)y=f(x)a的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解析根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象知2是函數(shù)的極小值點(diǎn)，函數(shù)v=f(x)的大致圖象如圖所示由于f(0)=f(3)=2,1<a<2,所以y=f(x)a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.答案

9、4考點(diǎn)二利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題例2已知函數(shù)f(x)=exax2.(1)若a=1,證明：當(dāng)x0時(shí)，f(x)>1；若f(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.(1)證明當(dāng)a=1時(shí)，f(x)1等價(jià)于(x2+1)exK0.設(shè)函數(shù)g(x)=(x2+1)ex-1,則gx)=(x22x+1)ex=(x-1)2ex.當(dāng)x*1時(shí)，g'x)<0,所以g(x)在(0,+00)單調(diào)遞減.而g(0)=0,故當(dāng)x0時(shí)，g(x)<0,即f(x)>1.解設(shè)函數(shù)h(x)=1-ax2ex.f(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn).(i)當(dāng)a00時(shí),h(x

10、)>0,h(x)沒(méi)有零點(diǎn);(ii)當(dāng)a>0時(shí)，h'邸=ax(x2)ex.當(dāng)xC(0,2)時(shí)，h'x)<0；當(dāng)xC(2,+8)時(shí)，hx)>0.所以h(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+8)單調(diào)遞增.故h(2)=1詈是h(x)在0,+8)的最小值.2若h(2)>0,即a<彳,h(x)在(0,+)沒(méi)有零點(diǎn);2若h(2)=0,即a=4,h(x)在(0,+°°)只有一個(gè)零點(diǎn)；2e若h(2)<0,即a>e4,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一個(gè)零點(diǎn).由知，當(dāng)x>0時(shí)，ex>x2,所以一3一3一31

11、6a316a316a31h(4a)=1一言=1-飛寧>1-E"=1a>0.故h(x)在(2,4a)有一個(gè)零點(diǎn).因此h(x)在(0,+oo)有兩個(gè)零點(diǎn).e2綜上，f(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a=z.規(guī)律方法研究方程的根(或函數(shù)零點(diǎn))的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，并借助函數(shù)的大致圖象判斷方程根(函數(shù)零點(diǎn))的情況，這是導(dǎo)數(shù)這一工具在研究方程中的重要應(yīng)用.【訓(xùn)練2】(2019南通調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=exax2bx1,其中a,bCR,e=2.71828為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上的

12、最小值；(2)若f(1)=0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn).證明：e-2<a<1.(1)解由f(x)=exax2bx1,有g(shù)(x)=f'x)=ex2ax-b.所以g'x)=ex2a.當(dāng)xC0,1時(shí),g'x)C12a,e-2a.,1_,當(dāng)a02時(shí)，gx)>0,所以g(x)在0,1上單調(diào)遞增，因止匕g(x)在0,1上的最小值是g(0)=1b;e,當(dāng)a2時(shí)，gx)<0,所以g(x)在0,1上單調(diào)遞減，因止匕g(x)在0,1上的最小值是g(1)=e2ab;,1e,*當(dāng)2<a<2時(shí)，令gx)=0,得x=ln(2a)C(0,1).所以函數(shù)

13、g(x)在區(qū)間0,ln(2a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ln(2a),1上單調(diào)遞增.于是，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)=2a2aln(2a)b.1,綜上所述，當(dāng)a01時(shí)，g(x)在0,1上的最小值是g(0)=1b；,1e1,當(dāng)2<a<e時(shí)，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)=2a2aln(2a)b；一e一.當(dāng)a2時(shí)，g(x)在0,1上的取小值是g(1)=e2ab.(2)證明設(shè)X0為f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，則由f(0)=f(x0)=0可知f(x)在區(qū)間(0,x。)上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減.則g(x)不可能恒為正，也不可能包為負(fù)，故g(x)在

14、區(qū)間(0,x°)內(nèi)存在零點(diǎn)x1.同理g(x)在區(qū)間(xO,1)內(nèi)存在零點(diǎn)x2.所以g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn).1_由(1)知，當(dāng)a02時(shí)，g(x)在0,1上單調(diào)遞增，故g(x)在(0,1)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn).e.當(dāng)a2時(shí)，g(x)在0,1上單調(diào)遞減，故g(x)在(0,1)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn).一1e所以2<a<e.此時(shí)g(x)在區(qū)間0,ln(2a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ln(2a),1上單調(diào)遞增.因此x1C(0,ln(2a),x2C(ln(2a),1),必有g(shù)(0)=1b>0,g(1)=e2a-b>0.由f(1)=0有a+b=e1<2,由g(0)=

15、ae+2>0,g(1)=1a>0.解得e-2<a<1.所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)，e-2<a<1.考點(diǎn)三利用構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題角度1構(gòu)造法研究?jī)汕€的交點(diǎn)問(wèn)題【例31】已知函數(shù)f(x)=x33x2+ax+2,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一2.(1)求a；(2)證明：當(dāng)k<1時(shí)，曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn).，一2(1)解fx)=3x-6x+a,f(0)a.曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為y=ax+2.2由題設(shè)得一2=2,所以a=1.a(2)證明由(1)知，f(x)=

16、x33x2+x+2.設(shè)g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4.由題設(shè)知1k>0.當(dāng)x00時(shí)，g'x)=3x26x+1-k>0,g(x)單調(diào)遞增，g(1)=k1<0,g(0)=4,所以g(x)=0在(一oo,0上有唯一實(shí)根.當(dāng)x>0時(shí)，令h(x)=x33x2+4,則g(x)=h(x)+(1k)x>h(x).h'x)=3x26x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+oo)上單調(diào)遞增，所以g(x)>h(x)>h(2)=0.所以g(x)=0在(0,+8)上沒(méi)有實(shí)根.綜上，g(x)=0在R上有唯一實(shí)根，

17、即曲線y=f(x)與直線y=kx2只有一個(gè)交點(diǎn).角度2函數(shù)中的雙元問(wèn)題【例32】已知函數(shù)f(x)=(x2)ex+a(x1)2有兩個(gè)零點(diǎn).求a的取值范圍；(2)設(shè)xi,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：xi+x2<2.解(1)f'x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).設(shè)a=0,則f(x)=(x2)ex,f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)a>0,則當(dāng)x(一fi)時(shí)，fAk。；當(dāng)xC(1,+oo)時(shí)，f&)>0,所以f(x)在(8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+OO)上單調(diào)遞增.又f(1)=e,f(2)=a,取b滿足b<0且b<ln1,則f(b

18、)>|(b2)+a(b1)2=ap3b,0,故f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn).設(shè)a<0,由f'x=0得x=1或x=ln(2a).，一e若a>e,則ln(2a)01,故當(dāng)xC(1,+oo)時(shí)，f&)>0,因此f(x)在(1,+oo)上單調(diào)遞增.又當(dāng)x01時(shí)，f(x)<0,所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).，一e右a<2,貝ln(-2a)>1,故當(dāng)xC(1,ln(2a)時(shí)，fx)<0;當(dāng)x(ln(-2a),+8)時(shí),fx)>0,因此f(x)在(1,ln(2a)上單調(diào)遞減,在(ln(2a),+oo)上單調(diào)遞增.又當(dāng)x01時(shí)，f(x)<0,所

19、以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上，a的取值范圍為(0,+00).不妨設(shè)X1<X2.由(1)知，xi(-00,1),X2(1,+00),2X26(00,1),f(x)在(一8,1)上單調(diào)遞減，所以X+X2<2等價(jià)于f(X1)>f(2X2),即f(2X2)<0.22由于f(2X2)=X2e2X2+a(X21),而f(X2)=(X22)eX2+a(X21)=0,所以f(22)=一X2e2X2(X22)eX2.設(shè)g(X)=Xe2X(X-2)eX,則g'x)=(x1)(e2XeX),所以當(dāng)X>1時(shí)，g'X)<0,而g(1)=0,故當(dāng)x>1時(shí)，g(x

20、)<0,從而g(X2)=f(2X2)<0,故X1+X2<2.規(guī)律方法1.含參數(shù)的兩函數(shù)V=f(x)與y=g(x)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題，若不能作出兩函數(shù)圖象，常轉(zhuǎn)化為函數(shù)h(x)=f(x)g(x)的零點(diǎn)問(wèn)題.2.函數(shù)中的雙元問(wèn)題常需消元，把雙元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單元問(wèn)題，常需找雙元的關(guān)系消元，或換元法消元(如£=t).X2【訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)=xlnx+ax+bx-e,點(diǎn)(1,f(1)處的切線與直線y=x平行，且函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)a的值和實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)記函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為X1,X2,求證：X1+X2>2e(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

21、解(1)由f(x)=xlnx+ax+b,xIe,十建fx)=lnx+1+a,由f'(分a+1=1?a=2.進(jìn)而得f(x)=xlnx2x+b,f'x)=lnx1.故當(dāng)x1,eM,f'x)<0;1_e/當(dāng)xC(e,十°°)時(shí)，fx)>0,71所以函數(shù)f(x)在Ie,e"單調(diào)遞減，在(e,+8)上單調(diào)遞增，71要使函數(shù)f(x)在Ie,+00。有兩個(gè)零點(diǎn)，則需f(e)=e2e+b<0,elne-2xe+b2eee733解得bCb，ej_二1、.(2)證明由(1)知，不妨設(shè)xiC匕，e!,X2C(e,十0°),欲證xi+x

22、2>2e,即證x2>2exi>e,又函數(shù)f(x)在(e,+00)上單調(diào)遞增，即證f(x2)>f(2exi).由題設(shè)得f(xi)=f(x2),從而只需證f(xi)>f(2exi).一一i、記函數(shù)F(x)=f(x)f(2ex),xe,ej,則F(x)=xlnx-2x-(2e刈n(2e-x)+2(2e-x)=xlnx(2ex)ln(2ex)4x+4e,則F'x)=lnx+ln(2e-x)-2,ii2e2x記g(x)=Fx),得gx)=-.s/yxx2e-xx(2ex)一.F、因?yàn)閤Ce,ej,所以gx)>0包成立，71即Fx)在e,e”單調(diào)遞增.7i又F&

23、#39;(e)0,所以F，x)<0在葭e，:包成立，一.二i、即F(x)在e,e廣單調(diào)遞減，所以當(dāng)x匕e|寸，F(xiàn)(x)>F(e)=0,1_e/即f(xi)>f(2exi),從而得xi+x2>2e.I分層限時(shí)訓(xùn)練分層訓(xùn)練，提升能力一、必做題2x3+3x2+m,0<x<i,i.已知函數(shù)f(x)=，若函數(shù)f(x)的圖象與x軸有且只有兩L.mx+5,x>i.個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.解析當(dāng)0&X01時(shí)，f(x)=2x3+3x2+m,f'x)=6x2+6x>0,所以f(x)在0,1'f(0)<0,上單調(diào)遞增，其圖象與

24、x軸只能有一個(gè)交點(diǎn)，從而彳要使函數(shù)f(x)的J(1)>0,m+5>0,圖象與x軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則需滿足彳從而可得mC(5,m<0,0).答案(5,0)x+2x,x<0,2.(2019昆山中學(xué)調(diào)研)若函數(shù)f(x)=在其定義域上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，、axlnx,x>0則正實(shí)數(shù)a的值為.解析易知函數(shù)f(x)在(-巴0上有一個(gè)零點(diǎn)，所以由題意得方程ax-lnx=0在(0,十)上恰好有一解，lnx即a=I1在(0,+°°)上恰有一解.xlnx1-lnx令g(x)=(x>0),g'x)=-2一=0,得x=e.xx當(dāng)xC(0,e)時(shí)，g(x

25、)單調(diào)遞增；當(dāng)xC(e,+oo)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減.1所以a=g(e)=£e1答案一e3 .已知函數(shù)f(x)=；x3+，ax2axa(xR,其中a>0).若函數(shù)f(x)在區(qū)間(一2,320)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是.解析f'x1=x2+(1a)xa=(x+1)(xa).由f'x)=0,得x=1或a(a>0).當(dāng)x變化時(shí)f'x)與f(x)的變化情況如表：x(一oo,1)-1(1,a)a(a,+00)fx)十0一0十f(x)極大值極小值故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(8,1),(a,+00)；單調(diào)遞減區(qū)間是(一1,a).可知函數(shù)f(x)在區(qū)間

26、(2,1)內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間(一1,0)內(nèi)單調(diào)遞減.從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，葉(-2)<0,1當(dāng)且僅當(dāng)f(1)>0,解得0<a<3.If(0)<0,所以a的取值范圍是0,1)答案0,3Iex-1,x>0,4 .(2018南通、揚(yáng)州等六市調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)=$2(其中e為自然對(duì)、x33mx2,x<0數(shù)的底數(shù))有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.解析若e-x2=0得乂=ln2>0,函數(shù)f(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即方程x33mx22-2=0,x<0有兩個(gè)不等的頭根，當(dāng)x=0時(shí)方程不成乂，則方程3m=x:，x一人一心人

27、22-,22(x3+1)、,，x<0有2個(gè)不等的實(shí)根，令g(x)=x2x,x<0,則g'x)=2x+x2=x2，當(dāng)x(8,1)時(shí)，g'x)<0,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xC(1,0)時(shí)，g'x)>0,g(x)單調(diào)遞增，則3m>g(1)=3,解得m>1.答案(1,+oo)5 .已知函數(shù)f(x)=ax+x2xlna(a>0,a*1).當(dāng)a>1時(shí)，求證：函數(shù)f(x)在(0,+°°)上單調(diào)遞增;(2)若函數(shù)y=|f(x)1|1有三個(gè)零點(diǎn)，求t的值.(1)證明f'x)=axlna+2xIna=2x+(ax-1

28、)lna.由于a>1,故當(dāng)x(0,+oo)時(shí)，lna>0,ax1>0,所以f'x)>0,故函數(shù)f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增.解當(dāng)a>0,awl時(shí)，因?yàn)閒'(0)0,且f'(x)在R上單調(diào)遞增,故f'x)=0有唯一解x=0,列表如下：x(一00,0)0(0,+00)f'x)一0十f(x)極小值又函數(shù)y=|f(x)1|1有三個(gè)零點(diǎn)，所以方程f(x)=t由有三個(gè)根.而t+1>t1,所以t1=f(x)min=f(0)=1,解得t=2.6 .已知f(x)=ax；g(x)=2lnx,若方程f(x)=g(x)在區(qū)間、/2,e上

29、有兩個(gè)不等解,試求a的取值范圍.解原式等價(jià)于方程a=2n2x在區(qū)間亞，e上有兩個(gè)不等解.x令Mx)=2nx，由小'x)=2x(1：21nx)易知,Mx)在h/2,&)上為增函數(shù)，在(F，xxe)上為減函數(shù)，1則”x)max=小(加)=一,e、2/-1n2而Me)=e2,(KV2)=.21n24eIn2由Me)一代2)=-2-=2e7.設(shè)函數(shù) f(x)=x2kln x, k>0.求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1,加上僅有一個(gè)零點(diǎn)Ine4In2e2=2e<0.所以除)<怖/2).所以Mx)min=Ke),如圖可知(|

30、(x) = a有兩個(gè)不等解時(shí)，需1n22&a<1.即 f(x)=g(x)在 pJ2, e上有兩個(gè) e e不等解時(shí)a的取值范圍為(1)解函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8).2X由f(x)=2klnx(k>0)得kx2-kf-X=丁由f'x)=0解得x=，k(負(fù)值舍去).f(x)與fx)在區(qū)間(0,+8)上的變化情況如下表:X(0,的Vk5，+°°)f'x)一0十f(x)k(1Ink)2所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,小),單調(diào)遞增區(qū)間是(冊(cè)，+8).g)在x=出處取得極小值L=k(12n/lk11-Ink)(2)證明由(1)知，f(x)在區(qū)間(

31、0,+oo)上的最小值為f(祖)=一一因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn)，所以k(1"lnk)<0,從而k>e,當(dāng)k=e時(shí)，f(x)在區(qū)間(1,加)上單調(diào)遞減，且f(，e)=0,所以x=qe是f(x)在區(qū)間(1,#上的唯一零點(diǎn).1 -ek當(dāng)k>e時(shí)，f(x)在區(qū)間(0,疵)上單調(diào)遞減，且f(1)=2>0,f(4e)=-2-<0,所以f(x)在區(qū)間(1,加上僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上可知，若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1,、/e上僅有一個(gè)零點(diǎn).8 .已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a2)exx.討論f(x)的單調(diào)性；若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.解(1)由于f(x

32、)=ae2x+(a2)exx,故fx)=2ae2x+(a-2)ex1=(aex-1)(2ex+1),當(dāng)a00時(shí)，aex1<0,2ex+1>0.從而f'x)<0何成立.f(x)在R上單調(diào)遞減.當(dāng)a>0時(shí)，令f'x)=0,從而aex1=0,得x=lna.x(0°, in a)fx)一f(x)單調(diào)遞減in a(in a, +00)0十極小值單調(diào)遞增綜上，當(dāng)a00時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(一0°,ina)上單調(diào)遞減，在(ina,十°°)上單調(diào)遞增.(2)由知,當(dāng)a00時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞

33、減，故f(x)在R上至多一個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件當(dāng)a>0時(shí)，f(x)min=f(ina)=11+lna.a1令g(a)=1&+ina(a>0),，11則ga)=-2+->0,aa從而g(a)在(0,+8)上單調(diào)遞增，而g(1)=0,故當(dāng)0<a<1時(shí)，g(a)<0.當(dāng)a=1時(shí)，g(a)=0.當(dāng)a>1時(shí)，g(a)>0.若a>1,貝Uf(x)min=1-1+ina=g(a)>0,a故f(x)>0包成立，從而f(x)無(wú)零點(diǎn)，不滿足條件若a=1,貝Uf(x)min=11+lna=0,a故f(x)=0僅有一個(gè)實(shí)根x=ina=0,不滿足條

34、件.若0<a<1,貝f(x)min=11+ina<0,a注意到一ina>0,f(1)=*+號(hào)+11。.3且 fina-1= ein 3 1 ia故f(x)在(一1,ina)上有一個(gè)實(shí)根，而又in1>in1=ina.=ein1iaein1!+a2iin1iaaa=g-1Ing-1>0.aa故f(x)在Ina,In1J)上有一個(gè)實(shí)根.又f(x)在(一oo,ina)上單調(diào)遞減，在(ina,十°°)單調(diào)遞增，故f(x)在R上至多兩個(gè)實(shí)根.又f(x)在(一1,一ina)及ina,in1J上均至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故f(x)在R上恰有兩個(gè)實(shí)根,綜上,0&

35、lt;a<1.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1).二、選做題9 .已知函數(shù)f(x)=ex,g(x)=ax+b,a,bCR.(1)若g(1)=0,且函數(shù)g(x)的圖象是函數(shù)f(x)圖象的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若不等式f(x)>x2+m對(duì)任意xC(0,+00)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若對(duì)任意實(shí)數(shù)a,函數(shù)F(x)=f(x)g(x)在(0,+oo)上總有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.解(1)由g(1)=0知,g(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(一1,0).設(shè)函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)f(x)的圖象切于點(diǎn)T(x0,y0).由f'x)=ex得切線方程是y-ex0=ex0(xxO),此直線過(guò)點(diǎn)

36、(1,0),故0ex0=ex0(1x0),解得x0=0,所以a=f'(0)e0=1.(2)由題意得m<ex-x2,xC(0,+oo)何成立.令h(x)=exx2,xC(0,+00),則h，x)=ex2x,再令n(x)=h'x)=ex2x,則n'x)=ex2,故當(dāng)xC(0,in2)時(shí)，n'x)<0,n(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xC(in2,+00)時(shí)，n'x)>0,n(x)單調(diào)遞增，從而n(x)在(0,+8)上有最小值n(in2)=22in2>0,即有h'x)>0在(0,+8)上包成立，所以h(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故h(x)>h(0)=e002=1,所以m01.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是i1.(3)若a<0,F(x)=f(x)g(x)=exaxb在(0,十)上單調(diào)遞增,故F(x)=f(x)g(x)在(0,+8)上總有零點(diǎn)的必要條件是F(0)<0,即b>1.以下證明當(dāng)b