增強模型意識口算解立體幾何

1、增強模型意識，口算解題不再是夢想新課標教材對高中立體幾何的教學分成了兩套思路。一套是傳統(tǒng)思路，以歐式幾何中的公理、定理及推論作為一條主線，靈活添加輔助線，數(shù)形結合求得題解；另一套則是借助空間直角坐標系，將立體圖形坐標化，從而將幾何問題完全轉化成代數(shù)問題，再通過方程來解決問題。在此，我愿意另辟蹊徑，用模型的意識來看待立體幾何問題，利用補形法，力爭將高考立體幾何大題變?yōu)榭谒泐}！為了實現(xiàn)這一目標，我們先來熟悉一下幾個模型：1、 長方體的“一角”模型在三棱錐中，且. 三棱錐的高證明：設直線AH交BC于D點，由于H點一定在ABC內(nèi)部，所以D點一定在BC上，連結PD. 在PAD中：的平面角分別是：.例1、

2、四棱錐中，底面是邊長為的正方形，求的大小. 分析：考慮三棱錐，它就是模型1長方體的“一個角”.本來我們可以利用結論解：設二面角的大小為.則：，故我們看到象例1這樣本來是高考中大題目，可是抓到了長方體“一角”，做起來就變得很輕松了.例2、直二面角中，ABCD是邊長為2的正方形（見圖）AEBE，求B點到面ACE的距離.分析：這是一道高考中的大題.因為DABE是直二面角，BC面ABE，當然面ABCD面ABE，又因為ABCD是正方形，BC要垂直于面ABE. 在ABE中，AE就是面內(nèi)的一條線，而BE就是BF在該面內(nèi)的射影，而AE是垂直于BF，這是因為BF垂直面ACE的，所以AE是垂直于面ACE的.所以A

3、E垂直于BF，又有AEBE，所以ABE是等腰直角三角形.這一小段是熟悉幾何環(huán)境的過程.圖形中特殊的位置關系約束ABE的形狀.補充圖形，在正方體看問題.在這里看直二面角的局部圖形.問題就轉化為：求D到面ACE的距離，就是求O點到面AB1C的距離.因為O，B到面ACB1的距離相等，所以只須求B到面ACB1的距離即可，考慮三棱錐BACB1，它是模型2.所以，D到面ACE的距離為.點評：比起高考評分標準給的答案那要簡單得多了.這兒要注意：一個是把局部的直二面角根據(jù)它的AEB是以E為直角的等腰直角三角形和ABCD是正方形的圖形特征，補足正方體，這就是一種擴大的幾何環(huán)境，而正方體也就是長方體模型，另一方面

4、又抓到這正方體的一個角BACB1，那么這個角的模型更高，這就使我們在運算過程中得以簡化.所以說一道看起來很復雜的幾何題，用典型幾何模型做就顯得輕松.例3底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截，AB4，BC2，CC13，BE1（見圖），求C點到面AEC1F的距離.分析：這也是一道高考題，在評分標準中給出了很多的輔助線.現(xiàn)在我們用典型的空間模型，再對這道題解解看.解：延長C1E交CB延長線于M，延長CD，交C1F延長線于N，CC1NM是模型2.因為同理.所以，C到面C1MN的距離為：.2、公式的幾何模型AB是PB在內(nèi)的射影，BC是內(nèi)一條直線則有.AAD大家要注意搞清楚那個是，那個是，那個是，實

5、際上只要搞清那個是，另外兩個就是.特別的，內(nèi)的直線不一定過B，如上面的右圖所示：在直線AB上有一點D，過D在畫一直線DC，則是直線PB與DC所成的角，則那么這樣的有可能利用這樣的模型計算出異面直線成角.PB和DC的成角.例4EA面ABCD，ABCD是邊長為的正方形，EA1，在AC上是否存在P點，使PE、BC成角.E分析：即所以.可見AC中點即是要找的點P例5長方體中，AB2，AA11，BD與面AA1B1B成30°角.AEBD于E，F(xiàn)為A1B1的中點，求AE，BF成角.解：所以AE，BF成角為.這樣的一個題目，最重要的是位.在高考評分標準中，都要有很長的解題過程中.這些結論在高考中，教

6、材中有的可以直接用，有的可以先用，然后把結論來源說明.這樣可以減少思考的時間與計算量.這就相當于電腦中的集成塊一樣，減少空間.3、雙垂四面體模型如圖3，四面體ABCD，AB面BCD，CD面BCA，這種四面體構成許多簡單多面體的基本圖形，不妨稱為雙垂四面體，主要性質(zhì)：；以BD、BC和AC為棱的二面角都是直二面角，以AB、BC為棱的二面角的平面角，分別是與以AD為棱的二面角為，則；對棱AB與CD垂直，且BC是它們的公垂線；對棱AD與BC為異面直線，它們夾角為，則例3如圖4，ABCD是上下底長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸OO1拆成直二面角，如圖5. （1）證明：ACBO1；（2）求二面

7、角OACO1的大小.解：（1）略（2）平面AOO1平面OO1C，又AOO1C，AO平面OO1C，同理CO1平面AOO1，四面體AOO1C是一個雙垂四面體，若二面角OACO1的平面角為，則，根據(jù)條件，從圖5中可知AO3，OC2，CO11，即可自得.例4如圖6，直二面角DABE中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AEEB，F(xiàn)為CE上的點，且BF平面ACE. （1）求證：AE平面BCE；（2）求二面角BACE的大??；（3）求點D到平面ACE的距離.分析：當（1）證明后，我們很容易識別四面體AEBC是一個雙垂四面體，若二面角BACE的平面角為，則，由條件可以計算出ABCB=2,AE=，.值得注意的是

8、此題的（3）并不需要用等積變換，根據(jù)平面斜線上兩點到平面的距離等于它們的斜線長的比，點D到平面ACE的距離等于B點到平面ACE的距離，也就是線段BF的長為利用典型立體幾何模型解高考題1（本小題滿分13分）如圖，已知三棱錐的側棱兩兩垂直，且，是的中點（1）求點到面的距離；（2）求異面直線與所成的角；（3）求二面角的大小 解：顯然三棱錐和都是長方體一腳模型，（1）設點到面的距離為，則由結論1， （2）設與所成的角為，則由模型二，由勾股定理，所以， 故， （3）設二面角、的大小分別為，則，由結論1， ， 所以2、（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PD底面ABCD，E

9、是AB上一點，PEEC. 已知求二面角EPCD的大小.解：過E點作，則顯然三棱錐是長方體一角模型，設二面角EPCD的大小為，則由結論1可知：，下面就只剩下計算問題了因為PD底面，故PDDE，又因ECPE，且DE是PE在面ABCD內(nèi)的射影，故由三垂直線定理的逆定理知：ECDE，設DE=x，因為DAECED，故（負根舍去）.從而DE=1，故有勾股定理，又因為，所以，故，二面角EPCD的大小為3、（本小題滿分13分）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB側面BB1C1C，E為棱CC1上異于C、C1的一點，EAEB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，BCC1=，求： （）異面直線AB與EB1的距離； （）二面角AEB1A1的平面角的正切值.解（）顯然四面體是雙垂四面體模型 由結論3，BE是異面直線AB與EB1的公垂線在平行四邊形BCC1B1中，設EB=x，則EB1=，作BDCC1，交CC1于D，則BD=BC·在BEB1中，由面積關系得.（負根舍去）解之得CE=2，故此時E與C1重合，由題意舍去.因此x=1，即異