圓柱與圓錐題庫教師版doc

1、圓柱與圓錐例題精講圓柱、圓錐常用的表面積、體積公式立體圖形表面積體積圓柱圓錐注：是母線，即從頂點到底面圓上的線段長板塊一 圓柱與圓錐【例 1】 如圖，用高都是米，底面半徑分別為米、米和米的個圓柱組成一個物體問這個物體的表面積是多少平方米？(取)【解析】 從上面看到圖形是右上圖，所以上下底面積和為(立方米)，側(cè)面積為(立方米)，所以該物體的表面積是(立方米)【例 2】 有一個圓柱體的零件，高厘米，底面直徑是厘米，零件的一端有一個圓柱形的圓孔，圓孔的直徑是厘米，孔深厘米(見右圖)如果將這個零件接觸空氣的部分涂上防銹漆，那么一共要涂多少平方厘米？【解析】 涂漆的面積等于大圓柱表面積與小圓柱側(cè)面積之和

2、，為(平方厘米)【例 3】 (第四屆希望杯2試試題)圓柱體的側(cè)面展開，放平，是邊長分別為10厘米和12厘米的長方形，那么這個圓柱體的體積是_立方厘米(結(jié)果用表示)【解析】 當(dāng)圓柱的高是12厘米時體積為(立方厘米)當(dāng)圓柱的高是12厘米時體積為(立方厘米)所以圓柱體的體積為立方厘米或立方厘米【例 4】 如右圖，是一個長方形鐵皮，利用圖中的陰影部分，剛好能做成一個油桶(接頭處忽略不計)，求這個油桶的容積()【解析】 圓的直徑為：(米)，而油桶的高為2個直徑長，即為：，故體積為立方米【鞏固】如圖，有一張長方形鐵皮，剪下圖中兩個圓及一塊長方形，正好可以做成1個圓柱體，這個圓柱體的底面半徑為10厘米，那么

3、原來長方形鐵皮的面積是多少平方厘米？()【解析】 做成的圓柱體的側(cè)面是由中間的長方形卷成的，可見這個長方形的長與旁邊的圓的周長相等，則剪下的長方形的長，即圓柱體底面圓的周長為：(厘米)，原來的長方形的面積為：(平方厘米)【例 5】 把一個高是8厘米的圓柱體，沿水平方向鋸去2厘米后，剩下的圓柱體的表面積比原來的圓柱體表面積減少平方厘米原來的圓柱體的體積是多少立方厘米？【解析】 沿水平方向鋸去2厘米后，剩下的圓柱體的表面積比原來的圓柱體表面積減少的部分為減掉的2厘米圓柱體的側(cè)面積，所以原來圓柱體的底面周長為厘米，底面半徑為厘米，所以原來的圓柱體的體積是(立方厘米)【鞏固】一個圓柱體底面周長和高相等

4、如果高縮短4厘米，表面積就減少平方厘米求這個圓柱體的表面積是多少？【解析】 圓柱體底面周長和高相等，說明圓柱體側(cè)面展開是一個正方形高縮短厘米，表面積就減少平方厘米陰影部分的面積為圓柱體表面積減少部分，值是平方厘米，所以底面周長是(厘米)，側(cè)面積是：(平方厘米)，兩個底面積是：(平方厘米)所以表面積為：(平方厘米)【例 6】 (2008年第二屆兩岸四地”華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)精英邀請賽)一個圓柱體形狀的木棒，沿著底面直徑豎直切成兩部分已知這兩部分的表面積之和比圓柱體的表面積大，則這個圓柱體木棒的側(cè)面積是_(取)【解析】 根據(jù)題意可知，切開后表面積增加的就是兩個長方形縱切面設(shè)圓柱體底面半徑為，高為，

5、那么切成的兩部分比原來的圓柱題表面積大：，所以，所以，圓柱體側(cè)面積為：【鞏固】已知圓柱體的高是厘米，由底面圓心垂直切開，把圓柱分成相等的兩半，表面積增加了平方厘米，求圓柱體的體積()【解析】 圓柱切開后表面積增加的是兩個長方形的縱切面，長方形的長等于圓柱體的高為10厘米，寬為圓柱底面的直徑，設(shè)為，則，(厘米)圓柱體積為：(立方厘米)【例 7】 一個圓柱體的體積是立方厘米，底面半徑是2厘米將它的底面平均分成若干個扇形后，再截開拼成一個和它等底等高的長方體，表面積增加了多少平方厘米？()【解析】 從圖中可以看出，拼成的長方體的底面積與原來圓柱體的底面積相同，長方體的前后兩個側(cè)面面積與原來圓柱體的側(cè)

6、面面積相等，所以增加的表面積就是長方體左右兩個側(cè)面的面積(法1)這兩個側(cè)面都是長方形，且長等于原來圓柱體的高，寬等于圓柱體底面半徑可知，圓柱體的高為(厘米)，所以增加的表面積為(平方厘米)；(法2)根據(jù)長方體的體積公式推導(dǎo)增加的兩個面是長方體的側(cè)面，側(cè)面面積與長方體的長的乘積就是長方體的體積由于長方體的體積與圓柱體的體積相等，為立方厘米，而拼成的長方體的長等于圓柱體底面周長的一半，為厘米，所以側(cè)面長方形的面積為平方厘米，所以增加的表面積為平方厘米【例 8】 右圖是一個零件的直觀圖下部是一個棱長為40cm的正方體，上部是圓柱體的一半求這個零件的表面積和體積【解析】 這是一個半圓柱體與長方體的組合

7、圖形，通過分割平移法可求得表面積和體積分別為：11768平方厘米，89120立方厘米【例 9】 輸液100毫升，每分鐘輸毫升如圖，請你觀察第12分鐘時圖中的數(shù)據(jù)，問：整個吊瓶的容積是多少毫升？【解析】 100毫升的吊瓶在正放時，液體在100毫升線下方，上方是空的，容積是多少不好算但倒過來后，變成圓柱體，根據(jù)標(biāo)示的格子就可以算出來由于每分鐘輸毫升，12分鐘已輸液(毫升)，因此開始輸液時液面應(yīng)與50毫升的格線平齊，上面空的部分是50毫升的容積所以整個吊瓶的容積是(毫升)【例 10】 (2008年”希望杯”五年級第2試)一個擰緊瓶蓋的瓶子里面裝著一些水(如圖)，由圖中的數(shù)據(jù)可推知瓶子的容積是_ 立方

8、厘米(取)【解析】 由于瓶子倒立過來后其中水的體積不變，所以空氣部分的體積也不變，從圖中可以看出，瓶中的水構(gòu)成高為厘米的圓柱，空氣部分構(gòu)成高為厘米的圓柱，瓶子的容積為這兩部分之和，所以瓶子的容積為：(立方厘米)【鞏固】一個酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形(不包括瓶頸)，如圖已知它的容積為立方厘米當(dāng)瓶子正放時，瓶內(nèi)的酒精的液面高為6厘米；瓶子倒放時，空余部分的高為2厘米問：瓶內(nèi)酒精的體積是多少立方厘米？合多少升？【解析】 由題意，液體的體積是不變的，瓶內(nèi)空余部分的體積也是不變的，因此可知液體體積是空余部分體積的倍所以酒精的體積為立方厘米，而立方厘米毫升升【鞏固】一個酒瓶里面深，底面內(nèi)直徑是，瓶里酒深把酒

9、瓶塞緊后使其瓶口向下倒立這時酒深酒瓶的容積是多少？(取3)【解析】 觀察前后，酒瓶中酒的總量沒變，即瓶中液體體積不變當(dāng)酒瓶倒過來時酒深，因為酒瓶深，這樣所?？臻g為高的圓柱，再加上原來高的酒即為酒瓶的容積酒的體積：瓶中剩余空間的體積酒瓶容積：【鞏固】一個蓋著瓶蓋的瓶子里面裝著一些水，瓶底面積為平方厘米，(如下圖所示)，請你根據(jù)圖中標(biāo)明的數(shù)據(jù)，計算瓶子的容積是【解析】 由已知條件知，第二個圖上部空白部分的高為，從而水與空著的部分的比為，由圖1知水的體積為，所以總的容積為立方厘米【鞏固】一個透明的封閉盛水容器，由一個圓柱體和一個圓錐體組成，圓柱體的底面直徑和高都是12厘米其內(nèi)有一些水，正放時水面離容

10、器頂厘米，倒放時水面離頂部5厘米，那么這個容器的容積是多少立方厘米？()【解析】 設(shè)圓錐的高為厘米由于兩次放置瓶中空氣部分的體積不變，有：，解得，所以容器的容積為：(立方厘米)【例 11】 (第四屆希望杯2試試題)如圖，底面積為50平方厘米的圓柱形容器中裝有水，水面上漂浮著一塊棱長為5厘米的正方體木塊，木塊浮出水面的高度是2厘米若將木塊從容器中取出，水面將下降_厘米【解析】 在水中的木塊體積為(立方厘米)，拿出后水面下降的高度為(厘米)【例 12】 有兩個棱長為厘米的正方體盒子，盒中放入直徑為厘米、高為8厘米的圓柱體鐵塊一個，盒中放入直徑為4厘米、高為8厘米的圓柱體鐵塊4個，現(xiàn)在盒注滿水，把盒

11、的水倒入盒，使盒也注滿水，問盒余下的水是多少立方厘米？【解析】 將圓柱體分別放入盒、盒后，兩個盒子的底面被圓柱體占據(jù)的部分面積相等，所以兩個盒子的底面剩余部分面積也相等，那么兩個盒子的剩余空間的體積是相等的，也就是說盒中裝的水恰好可以注滿盒而無剩余，所以盒余下的水是0立方厘米【例 13】 蘭州來的馬師傅擅長做拉面，拉出的面條很細(xì)很細(xì)，他每次做拉面的步驟是這樣的：將一個面團先搓成圓柱形面棍，長米然后對折，拉長到米；再對折，拉長到米照此繼續(xù)進行下去，最后拉出的面條粗細(xì)(直徑)僅有原先面棍的問：最后馬師傅拉出的這些細(xì)面條的總長有多少米？(假設(shè)馬師傅拉面的過程中面條始終保持為粗細(xì)均勻的圓柱形，而且沒有

12、任何浪費)【解析】 最后拉出的面條直徑是原先面棍的，則截面積是原先面棍的，細(xì)面條的總長為：(米)注意運用比例思想【例 14】 一個圓柱形容器內(nèi)放有一個長方形鐵塊現(xiàn)打開水龍頭往容器中灌水3分鐘時水面恰好沒過長方體的頂面再過18分鐘水灌滿容器已知容器的高為50厘米，長方體的高為20厘米，求長方體底面面積與容器底面面積之比【解析】 因為18分鐘水面升高：(厘米)所以圓柱中沒有鐵塊的情形下水面升高20厘米需要的時間是：(分鐘)，實際上只用了3分鐘，說明容器底面沒被長方體底面蓋住的部分只占容器底面積的，所以長方體底面面積與容器底面面積之比為【例 15】 一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是80平方厘米，高

13、是厘米，水深8厘米現(xiàn)將一個底面積是16平方厘米，高為厘米的長方體鐵塊豎放在水中后現(xiàn)在水深多少厘米？【解析】 根據(jù)等積變化原理：用水的體積除以水的底面積就是水的高度(法1)：(厘米)；(法2)：設(shè)水面上升了厘米根據(jù)上升部分的體積=浸入水中鐵塊的體積列方程為：，解得：，(厘米)(提問”圓柱高是厘米”，和”高為厘米的長方體鐵塊”這兩個條件給的是否多余？)【鞏固】一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是80平方厘米，高是厘米，水深厘米現(xiàn)將一個底面積是16平方厘米，高為厘米的長方體鐵塊豎放在水中后現(xiàn)在水深多少厘米？【解析】 ，因為，所以此時水已淹沒過鐵塊，所以現(xiàn)在水深為厘米【鞏固】一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底

14、面積是80平方厘米，高是厘米，水深厘米現(xiàn)將一個底面積是16平方厘米，高為厘米的長方體鐵塊豎放在水中后現(xiàn)在水深多少厘米？【解析】 玻璃杯剩余部分的體積為立方厘米，鐵塊體積為立方厘米，因為，所以水會溢出玻璃杯，所以現(xiàn)在水深就為玻璃杯的高度厘米【總結(jié)】鐵塊放入玻璃杯會出現(xiàn)三種情況：放入鐵塊后，水深不及鐵塊高；放入鐵塊后，水深比鐵塊高但未溢出玻璃杯；水有溢出玻璃杯【說明】教師可以在此穿插一個關(guān)于阿基米德測量黃金頭冠的體積的故事一天國王讓工匠做了一頂黃金的頭冠，不知道工匠有沒有摻假，必須知道黃金頭冠的體積是多少，可是又沒有辦法來測量(如果知道體積，就可以稱一下純黃金相應(yīng)體積的重量，再稱一下黃金頭冠的重量

15、，就能知道是否摻假的結(jié)果了)于是，國王就把測量頭冠體積的任務(wù)交給他的大臣阿基米德(小朋友們，你們能幫阿基米德解決難題嗎？)阿基米德苦思冥想不得其解，就連晚上沐浴時還在思考這個問題當(dāng)他坐進水桶里，看到水在往外滿溢時，突然靈感迸發(fā)，大叫一聲：”我找到方法了”，就急忙跑出去告訴別人，大家看到了一個還光著身子的阿基米德他的方法是：把水桶裝滿水，當(dāng)把黃金頭冠放進水桶，浸沒在水中時，所收集的溢出來的水的體積正是頭冠的體積【例 16】 一個圓柱形玻璃杯內(nèi)盛有水，水面高厘米，玻璃杯內(nèi)側(cè)的底面積是72平方厘米在這個杯中放進棱長6厘米的正方體鐵塊后，水面沒有淹沒鐵塊這時水面高多少厘米？【解析】 把放入鐵塊后的玻璃

16、杯看作一個底面如右圖的新容器，底面積是7266=36(平方厘米)水的體積是(立方厘米)后來水面的高為18036=5(厘米)【例 17】 一個盛有水的圓柱形容器，底面內(nèi)半徑為5厘米，深20厘米，水深15厘米今將一個底面半徑為2厘米，高為17厘米的鐵圓柱垂直放入容器中求這時容器的水深是多少厘米？【解析】 若圓柱體能完全浸入水中，則水深與容器底面面積的乘積應(yīng)等于原有水的體積與圓柱體在水中體積之和，因而水深為：(厘米)它比圓柱體的高度要大，可見圓柱體可以完全浸入水中于是所求的水深便是厘米【例 18】 有甲、乙兩只圓柱形玻璃杯，其內(nèi)直徑依次是10厘米、20厘米，杯中盛有適量的水甲杯中沉沒著一鐵塊，當(dāng)取出

17、此鐵塊后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后將鐵塊沉沒于乙杯，且乙杯中的水未外溢問：這時乙杯中的水位上升了多少厘米？【解析】 兩個圓柱直徑的比是，所以底面面積的比是鐵塊在兩個杯中排開的水的體積相同，所以乙杯中水升高的高度應(yīng)當(dāng)是甲杯中下降的高度的，即(厘米)【鞏固】有一只底面半徑是20厘米的圓柱形水桶，里面有一段半徑是5厘米的圓柱體鋼材浸在水中鋼材從水桶里取出后，桶里的水下降了6厘米這段鋼材有多長？【解析】 根據(jù)題意可知，圓柱形鋼材的體積等于桶里下降部分水的體積，因為鋼材底面半徑是水桶底面半徑的，即，鋼材底面積就是水桶底面積的根據(jù)體積一定，圓柱體的底面積與高成反比例可知，鋼材的長是水面下降高度的16

18、倍6()=96(厘米)，(法2)：314206(3145)=96(厘米)【例 19】 一個圓錐形容器高24厘米，其中裝滿水，如果把這些水倒入和圓錐底面直徑相等的圓柱形容器中，水面高多少厘米？【解析】 設(shè)圓錐形容器底面積為，圓柱體內(nèi)水面的高為，根據(jù)題意有：，可得厘米【例 20】 (2009年”希望杯”一試六年級)如圖，圓錐形容器中裝有水50升，水面高度是圓錐高度的一半，這個容器最多能裝水升【解析】 圓錐容器的底面積是現(xiàn)在裝水時底面積的4倍，圓錐容器的高是現(xiàn)在裝水時圓錐高的2倍，所以容器容積是水的體積的8倍，即升【例 21】 如圖，甲、乙兩容器相同，甲容器中水的高度是錐高的，乙容器中水的高度是錐高

19、的，比較甲、乙兩容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的幾倍？【解析】 設(shè)圓錐容器的底面半徑為，高為，則甲、乙容器中水面半徑均為，則有，即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的倍【例 22】 (2008年仁華考題)如圖，有一卷緊緊纏繞在一起的塑料薄膜，薄膜的直徑為20厘米，中間有一直徑為8厘米的卷軸，已知薄膜的厚度為厘米，則薄膜展開后的面積是平方米【解析】 纏繞在一起時塑料薄膜的體積為：(立方厘米)，薄膜展開后為一個長方體，體積保持不變，而厚度為厘米，所以薄膜展開后的面積為平方厘米平方米另解：也可以先求出展開后薄膜的長度，再求其面積由于展開前后薄膜的側(cè)面的面積不變，展開前為(平方厘米)，展

20、開后為一個長方形，寬為厘米，所以長為厘米，所以展開后薄膜的面積為平方厘米平方米【鞏固】圖為一卷緊繞成的牛皮紙，紙卷直徑為20厘米，中間有一直徑為6厘米的卷軸已知紙的厚度為毫米，問：這卷紙展開后大約有多長？【解析】 將這卷紙展開后，它的側(cè)面可以近似的看成一個長方形，它的長度就等于面積除以寬這里的寬就是紙的厚度，而面積就是一個圓環(huán)的面積因此，紙的長度 ：(厘米)所以，這卷紙展開后大約米【鞏固】如圖，厚度為毫米的銅版紙被卷成一個空心圓柱(紙卷得很緊，沒有空隙)，它的外直徑是180厘米，內(nèi)直徑是50厘米這卷銅版紙的總長是多少米？【解析】 卷在一起時銅版紙的橫截面的面積為(平方厘米)，如果將其展開，展開

21、后橫截面的面積不變，形狀為一個長方形，寬為毫米(即厘米)，所以長為厘米米所以這卷銅版紙的總長是米本題也可設(shè)空心圓柱的高為，根據(jù)展開前后銅版紙的總體積不變進行求解，其中在計算過程將會消掉【例 23】 (人大附中分班考試題目)如圖，在一個正方體的兩對側(cè)面的中心各打通一個長方體的洞，在上下底面的中心打通一個圓柱形的洞已知正方體邊長為10厘米，側(cè)面上的洞口是邊長為4厘米的正方形，上下底面的洞口是直徑為4厘米的圓，求此立體圖形的表面積和體積【解析】 先求表面積表面積可分為外側(cè)表面積和內(nèi)側(cè)表面積外側(cè)為6個邊長10厘米的正方形挖去4個邊長4厘米的正方形及2個直徑4厘米的圓，所以，外側(cè)表面積為：(平方厘米)；

22、內(nèi)側(cè)表面積則為右上圖所示的立體圖形的表面積，需要注意的是這個圖形的上下兩個圓形底面和前后左右4個正方形面不能計算在內(nèi)，所以內(nèi)側(cè)表面積為：(平方厘米)，所以，總表面積為：(平方厘米)再求體積計算體積時將挖空部分的立體圖形取出，如右上圖，只要求出這個幾何體的體積，用原立方體的體積減去這個體積即可挖出的幾何體體積為：(立方厘米)；所求幾何體體積為：(立方厘米)板塊二 旋轉(zhuǎn)問題【例 24】 如圖，是直角三角形，、的長分別是3和4將繞旋轉(zhuǎn)一周，求掃出的立體圖形的體積()【解析】 如右上圖所示，掃出的立體圖形是一個圓錐，這個圓錐的底面半徑為3，高為4，體積為：【例 25】 已知直角三角形的三條邊長分別為，分別以這三邊軸，旋轉(zhuǎn)一周，所形