垂直平分線與角平分線典型題

1、線段的垂直平分線與角平分線(1)知識(shí)要點(diǎn)詳解1、線段垂直平分線的性質(zhì)（1）垂直平分線性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等. 定理的數(shù)學(xué)表示：如圖1，已知直線m與線段AB垂直相交于點(diǎn)D，且ADBD，若點(diǎn)C在直線m上，則ACBC.定理的作用：證明兩條線段相等（2）線段關(guān)于它的垂直平分線對(duì)稱.課堂筆記：2、線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理（1）線段垂直平分線的逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上. 定理的數(shù)學(xué)表示：如圖2，已知直線m與線段AB垂直相交于點(diǎn)D，且ADBD，若ACBC，則點(diǎn)C在直線m上.定理的作用：證明一個(gè)點(diǎn)在某線段的垂直平分線上.課堂筆記：

2、3、關(guān)于三角形三邊垂直平分線的定理（1）關(guān)于三角形三邊垂直平分線的定理：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.定理的數(shù)學(xué)表示：如圖3，若直線分別是ABC三邊AB、BC、CA的垂直平分線，則直線相交于一點(diǎn)O，且OAOBOC.定理的作用：證明三角形內(nèi)的線段相等.（2）三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)位置與三角形形狀的關(guān)系：若三角形是銳角三角形，則它三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部；若三角形是直角三角形，則它三邊垂直平分線的交點(diǎn)是其斜邊的中點(diǎn)；若三角形是鈍角三角形，則它三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形外部.反之，三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部，則該三角形是銳角三角形；三角形

3、三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形的邊上，則該三角形是直角三角形；三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形外部，則該三角形是鈍角三角形.經(jīng)典例題：例1如圖1，在ABC中，BC8cm，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，BCE的周長(zhǎng)等于18cm，則AC的長(zhǎng)等于（）A6cm B8cmC10cm D12cm課堂筆記：B針對(duì)性練習(xí)：AD已知：1)如圖，AB=AC=14cm,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn) E，如果EBC的周長(zhǎng)是24cm，那么BC= 2) 如圖，AB=AC=14cm,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，如果BC=8cm，那么EBC的周長(zhǎng)是 E3） 如圖，AB=AC,AB的

4、垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，如果A=28 度，那么EBC是 CB 例2. 已知： AB=AC，DB=DC，E是AD上一點(diǎn)，求證：BE=CE。課堂筆記：B針對(duì)性練習(xí)：已知：在ABC中，ON是AB的垂直平分線,OA=OC 求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線NA OCB例3. 在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與邊AC所在的直線相交所成銳角為50°，ABC的底角B的大小為_。課堂筆記：B針對(duì)性練習(xí)：1. 在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在直線相交所得的銳角為40°，則底角B的大小為_。例4、如圖8，已知AD是ABC的BC邊上的高，且C2B，求證：BDAC

5、CD.證明：在BD上取一點(diǎn)E，使DEDC，連接AE，則AEAC，課堂筆記：課堂練習(xí)：1.如圖，AC=AD，BC=BD，則（ ）A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD C.CD平分ACB D.以上結(jié)論均不對(duì)2.如果三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn)在三角形的外部，那么，這個(gè)三角形是（ ）A.直角三角形B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.等邊三角形3.下列命題中正確的命題有（ ）線段垂直平分線上任一點(diǎn)到線段兩端距離相等；線段上任一點(diǎn)到垂直平分線兩端距離相等；經(jīng)過線段中點(diǎn)的直線只有一條；點(diǎn)P在線段AB外且PA=PB，過P作直線MN，則MN是線段AB的垂直平分線；過線段上任一點(diǎn)可以作這條線段的中垂線.A.

6、1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)4.ABC中，AB的垂直平分線交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么DBC的周長(zhǎng)是（ ）A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm5.已知如圖，在ABC中，AB=AC，O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且OB=OC，求證：AOBC.6.如圖，在ABC中，AB=AC，A=120°，AB的垂直平分線MN分別交BC、AB于點(diǎn)M、N. 求證：CM=2BM. 課后作業(yè)：1. 如圖7，在ABC中，AC23，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，ACE的周長(zhǎng)為50，求BC邊的長(zhǎng).2. 已知：如圖所示，ACB，ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一點(diǎn)，求證

7、：CP=DP。線段的垂直平分線與角平分線（2）知識(shí)要點(diǎn)詳解4、角平分線的性質(zhì)定理：角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等. 定理的數(shù)學(xué)表示：如圖4，已知OE是AOB的平分線，F(xiàn)是OE上一點(diǎn)，若CFOA于點(diǎn)C，DFOB于點(diǎn)D，則CFDF. 定理的作用：證明兩條線段相等；用于幾何作圖問題；角是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是角平分線所在的直線.課堂筆記：5、角平分線性質(zhì)定理的逆定理：角平分線性質(zhì)定理的逆定理：在角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上. 定理的數(shù)學(xué)表示：如圖5，已知點(diǎn)P在AOB的內(nèi)部，且PCOA于C，PDOB于D，若PCPD，則點(diǎn)P在AOB的平分線上.

8、 定理的作用：用于證明兩個(gè)角相等或證明一條射線是一個(gè)角的角平分線 注意角平分線的性質(zhì)定理與逆定理的區(qū)別和聯(lián)系.課堂筆記：6、關(guān)于三角形三條角平分線的定理：（1）關(guān)于三角形三條角平分線交點(diǎn)的定理：三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.定理的數(shù)學(xué)表示：如圖6，如果AP、BQ、CR分別是ABC的內(nèi)角BAC、ABC、ACB的平分線，那么： AP、BQ、CR相交于一點(diǎn)I； 若ID、IE、IF分別垂直于BC、CA、AB于點(diǎn)D、E、F，則DIEIFI. 定理的作用：用于證明三角形內(nèi)的線段相等；用于實(shí)際中的幾何作圖問題.（2）三角形三條角平分線的交點(diǎn)位置與三角形形狀的關(guān)系：三角形三個(gè)內(nèi)角角

9、平分線的交點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部.7、關(guān)于線段的垂直平分線和角平分線的作圖：（1）會(huì)作已知線段的垂直平分線； （2）會(huì)作已知角的角平分線；（3）會(huì)作與線段垂直平分線和角平分線有關(guān)的簡(jiǎn)單綜合問題的圖形.課堂筆記：經(jīng)典例題：例1、 已知：如圖，點(diǎn)B、C在A的兩邊上，且AB=AC，P為A內(nèi)一點(diǎn)，PB=PC， PEAB，PFAC，垂足分別是E、F。求證：PE=PF課堂筆記：B針對(duì)性練習(xí)：已知： PA、PC分別是ABC外角MAC和NCA平分線，它們交于P，PDBM于D，PFBN于F，求證：BP為MBN的平分線。例2、如圖10，已知在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，E為BC中點(diǎn)，連接AE、DE，DE平分ADC，求證：AE平分BAD.課堂筆記：B針對(duì)性練習(xí)：如圖所示，AB=AC，BD=CD，DEAB于E，DFAC于F，求證：DE=DF。例3、如圖11-1，已知在四邊形ABCD中，對(duì)角線BD平分ABC，且BAD與BCD互補(bǔ)，求證：ADCD. 課堂練習(xí)：1. ABC中，AB=AC，AC的中垂線交AB于E，EBC的周長(zhǎng)為20cm，AB=2BC，則腰長(zhǎng)為_。2. 如圖所示，AB/CD，O為A、C的平分線的交點(diǎn)，OEAC于E，且OE=2，則AB與CD之間的距離等于_。已知：如圖，B=C=900，DM平分ADC， A